第35講、平面向量的概念與坐標(biāo)運(yùn)算（學(xué)生版）

第35講平面向量的概念與坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一．向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．知識(shí)點(diǎn)二．向量的線性運(yùn)算和向量共線定理（1）向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，【注意】（1）向量表達(dá)式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，．知識(shí)點(diǎn)三．平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．2、平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個(gè)線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．推論1：若，則．推論2：若，則．3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB4、三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．5、中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB知識(shí)點(diǎn)四．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)五．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，，．，【解題方法總結(jié)】（1）向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．即．（2），當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．（3）特別地：或當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)或者兩向量共線時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．（4）減法公式：，常用于向量式的化簡(jiǎn)．（5）、、三點(diǎn)共線，這是直線的向量式方程．必考題型全歸納題型一：平面向量的基本概念例1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對(duì)于任意向量，必有D．若滿足且與同向，則例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出如下命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．C．與的方向相反 D．若，則變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則不是共線向量變式2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則A，B，C，D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③若，則；④若，，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式3．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若，則，，（

）A．都是非零向量時(shí)也可能無法構(gòu)成一個(gè)三角形B．一定不可能構(gòu)成三角形C．都是非零向量時(shí)能構(gòu)成三角形D．一定可構(gòu)成三角形【解題方法總結(jié)】準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個(gè)向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長(zhǎng)度無關(guān)，兩個(gè)向量方向相同且長(zhǎng)度相等，就是相等向量．共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無關(guān)．題型二：平面向量的線性表示例4．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在上且.記，則（

）A． B． C． D．例5．（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知等腰梯形滿足，與交于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．例6．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B．C． D．變式4．（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．變式5．（2024·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．變式6．（2024·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．變式7．（2024·山東濱州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，點(diǎn)E為的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．變式9．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中點(diǎn)為E，則（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】（1）兩向量共線問題用向量的加法和減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標(biāo)向量即可，而此類問題又以“爪子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．（2）進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．題型三：向量共線的運(yùn)用例7．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．例8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9例9．（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，D是BC邊中點(diǎn)，CP的延長(zhǎng)線與AB交于AN，則（

）A． B． C． D．變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)x＝，y＝，則的值為（

）A．3 B．4C．5 D．6變式11．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在中，為上一點(diǎn)，為線段上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值是（

）A．8 B．10 C．13 D．16變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線上有三點(diǎn)，，，為外一點(diǎn)，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．3 C． D．變式14．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線．(1)若，，求證三點(diǎn)共線．(2)試確定實(shí)數(shù)，使和共線．變式15．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，.(1)用表示；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【解題方法總結(jié)】要證明A，B，C三點(diǎn)共線，只需證明與共線，即證=（）．若已知A，B，C三點(diǎn)共線，則必有與共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得=．題型四：平面向量基本定理及應(yīng)用例10．（2024·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和例11．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（

）A． B．C． D．例12．（2024·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，則（

）A．0 B． C． D．變式16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點(diǎn)Q，且，則（

）A． B． C． D．變式17．（2024·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．變式18．（2024·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，，則（

）A． B． C．1 D．變式19．（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（

）

A． B．C． D．變式20．（2024·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點(diǎn)，且，，連接，交于P點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．變式21．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．變式22．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．變式23．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，，若，則（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止．（2）將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三點(diǎn)共線定理：A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，O為AB外一點(diǎn)．題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算例13．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）為平行四邊形的對(duì)角線，，則____．例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，，且，則_____.例15．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為______.變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中與和的夾角分別為和，且，，若，則________．變式25．（2024·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______．變式26．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知向量．若實(shí)數(shù)k與向量滿足，則可以是（

）A． B．C． D．變式27．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點(diǎn)M滿足，則（

）A．1 B． C． D．變式28．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（

）

A． B．2 C．3 D．6變式29．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【解題方法總結(jié)】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．（2）解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方