第47講、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（學(xué)生版）

第47講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一．四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論③：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．知識(shí)點(diǎn)二．直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號(hào)a∥b公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)知識(shí)點(diǎn)三．直線與平面的位置關(guān)系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號(hào)∥公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)10知識(shí)點(diǎn)四．平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況．位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號(hào)∥，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上知識(shí)點(diǎn)五．等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．必考題型全歸納題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”例1．（2024·山西大同·高一校考期中）如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點(diǎn)共面；(2)與的交點(diǎn)在直線上．例2．（2024·陜西西安·高一校考期中）（1）已知直線，直線與，都相交，求證：過(guò)，，有且只有一個(gè)平面；（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是邊，上的點(diǎn)，且.求證：直線，，相交于一點(diǎn).

例3．（2024·河南信陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且.

(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)設(shè)，證明：A，O，D三點(diǎn)共線.變式1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且.求證：(1)E?F?G?H四點(diǎn)共面；(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.變式2．（2024·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱臺(tái)中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，AB，BC的中點(diǎn)．

(1)證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)證明GE，F(xiàn)H，相交于一點(diǎn)．變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．(1)求證：三線交于點(diǎn)P；(2)在（1）的結(jié)論中，G是上一點(diǎn)，若FG交平面ABCD于點(diǎn)H，求證：P，E，H三點(diǎn)共線．【解題方法總結(jié)】共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明（1）證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)．（2）證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．（3）證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．題型二：截面問(wèn)題例4．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）

A． B． C． D．例5．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），

①異面直線與AF所成角可以為②當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使直線與平面AEF平行③當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，平面AEF截正方體所得的截面面積為④存在點(diǎn)G，使點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等則上述結(jié)論正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④例6．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，M，N分別為AD，的中點(diǎn)，過(guò)M，N，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面形狀為（

）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形變式4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）①平面；②；③直線與所成角的余弦值為④過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為梯形A．1 B．2 C．3 D．4變式5．（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)校考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，對(duì)于如下命題：①異面直線與所成角的余弦值為；②點(diǎn)P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，DP的最小值為；③過(guò)點(diǎn)，E，F(xiàn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為；④當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上時(shí)，球O的體積為．則正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式6．（2024·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的截面把正方體分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為（

）A． B． C． D．變式7．（2024·新疆·校聯(lián)考二模）已知在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，，，如圖所示，若過(guò)A、E、F三點(diǎn)的平面作該直三棱柱的截面，則所得截面的面積為（

）A． B． C． D．變式8．（2024·新疆阿克蘇·?？家荒＃┮阎?，是正方體的棱，，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形變式9．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┰诶忾L(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)Р是側(cè)面上的點(diǎn)，且點(diǎn)Р到棱與到棱AD的距離均為1，用過(guò)點(diǎn)Р且與垂直的平面去截該正方體，則截面在正方體底面ABCD的投影多邊形的面積是（

）A． B．5 C． D．8【解題方法總結(jié)】（1）作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．題型三：異面直線的判定例7．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關(guān)系是（

）A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，則下列命題中假命題為（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．直線始終與直線異面D．直線始終與直線異面例9．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在底面半徑為1的圓柱中，過(guò)旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則（）A．AE=CF，AC與EF是共面直線B．，AC與EF是共面直線C．AE=CF，AC與EF是異面直線D．，AC與EF是異面直線變式10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）已知正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是（

）A． B． C． D．變式11．（2024·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)P、M、N分別為棱、AB、的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)N出發(fā)向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以下結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線CP可能相交 B．直線與直線CP始終異面C．直線與直線CP可能垂直 D．直線與直線BP不可能垂直變式12．（2024·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在底面為正方形的棱臺(tái)中，、、、分別為棱，，，的中點(diǎn)，對(duì)空間任意兩點(diǎn)、，若線段與線段、都不相交，則稱點(diǎn)與點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：（1）直接法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線是異面直線．（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．題型四：異面直線所成的角例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖,在正方體中,點(diǎn)E,F分別是棱AD,的中點(diǎn),則異面直線與BF所成角的大小為．例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的大小為．例12．（2024·新疆喀什·高三統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，下列說(shuō)法中，正確的序號(hào)是.（1）直線與直線相交；（2）直線與直線平行；（3）直線與直線是異面直線；（4）直線與直線成角.變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一小塊，八個(gè)頂點(diǎn)共截去八小塊，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線與所成角的大小是變式14．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）線段的兩端分別在直二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且與這兩個(gè)面都成角，則直線與所成的角等于．變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形沿對(duì)角線翻折，得到空間四邊形，若，則直線與所成角的大小可能為.（寫出一個(gè)值即可）【解題方法總結(jié)】（1）點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長(zhǎng)方體、正方體）模型來(lái)判斷，常借助正方體為模型．（2）求異面直線所成的角的三個(gè)步驟一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．二證：證明作出的角是異面直線所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．題型五：平面的基本性質(zhì)例13．（多選題）（2024·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，且，則B．若A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，，，則C．若且，則直線D．若直線，直線，則a與b為異面直線例14．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有下列命題：①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．其中正確命題是（

）A．① B．② C．③ D．④例15．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個(gè)真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)變式16．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B．三角形一定是平面圖形C．若A，，，既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則平面和平面重合D．四條邊都相等的四邊形是平面圖形變式17．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)，，，分別是正方體中棱，，，的中點(diǎn)，則（

）A． B．C．直線，是異面直線 D．直線，是相交直線變式18．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．線段上存在點(diǎn)E、F使得 B．平面ABCDC．的面積與的面積相等 D．三棱錐A-BEF的體積為定值題型六：等角定理例16．（2024·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)均相等的四面體中，為棱不含端點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的平面與平面平行若平面與平面，平面的交線分別為，，則，所成角的正弦值的最大值為．例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)正方體的頂點(diǎn)在空間作直線，使與平面和直線所成的角都等于，則這樣的直線共有條．例18．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）若空間兩個(gè)角與的兩邊對(duì)應(yīng)平行，當(dāng)時(shí)，則