第51講、立體幾何中的截面問題（學(xué)生版）

第51講立體幾何中的截面問題知識梳理解決立體幾何截面問題的解題策略．1、坐標(biāo)法所謂坐標(biāo)法就是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，為解決立體幾何問題增添了一種代數(shù)計(jì)算方法．2、基底法所謂基底法是不需要建立空間直角坐標(biāo)系，而是利用平面向量及空間向量基本定理作為依托，其理論依據(jù)是：若四點(diǎn)E、F、G、H共面，為空間任意點(diǎn)，則有：結(jié)論1：若與不共線，那么；結(jié)論2：．3、幾何法從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定定理以及平面幾何相關(guān)定理、結(jié)論，通過論證，精準(zhǔn)找到該截面與相關(guān)線、面的交點(diǎn)位置、依次連接這些點(diǎn)，從而得到過三點(diǎn)的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明．必考題型全歸納題型一：截面作圖例1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為6，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.作出過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；例2．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，棱長為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；(2)求平面與平面的距離.例3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）（1）如圖，棱長為2的正方體中，，是棱，的中點(diǎn)，在圖中畫出過底面中的心且與平面平行的平面在正方體中的截面，并求出截面多邊形的周長為：______；（2）作出平面與四棱錐的截面，截面多邊形的邊數(shù)為______．變式1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖①，正方體的棱長為，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)、、的平面截該正方體所得的截面記為.

（1）若，請?jiān)趫D①中作出截面（保留尺規(guī)作圖痕跡）；（2）若（如圖②），試求截面將正方體分割所成的上半部分的體積與下半部分的體積之比.變式2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正方體，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面.(2)證明：.(3)在圖中作出平面截正方體所得的截面圖形(如需用到其它點(diǎn)，需用字母標(biāo)記并說明位置)，并說明理由.變式3．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知正方體是棱長為1的正方體，M是棱的中點(diǎn)，過C、、M三點(diǎn)作正方體的截面，作出這個(gè)截面圖并求出截面的面積．題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）

①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)滿足；④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；A．1 B．2 C．3 D．4例5．（2024·四川成都·高二雙流中學(xué)校考期中）已知正方體的棱長為,為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截該正方體的截面記為，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)且時(shí)，為等腰梯形；②當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為；③當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，與的交點(diǎn)為，滿足；④當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，為五邊形.A．1 B．2 C．3 D．4例6．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖正方體，棱長為1，P為中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，為四邊形 B．當(dāng)時(shí)，為等腰梯形C．當(dāng)時(shí)，為六邊形 D．當(dāng)時(shí)，的面積為變式4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，則由點(diǎn)、、確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于．

變式5．（2024·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）在一次通用技術(shù)實(shí)踐課上，木工小組需要將正方體木塊截去一角，要求截面經(jīng)過面對角線上的點(diǎn)（如圖），且與平面平行，已知，，則截面面積等于.變式6．（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)校考階段練習(xí)）正方體的棱長是，其中是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則過點(diǎn)的截面面積是．變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的側(cè)棱長為2，，，過，的中點(diǎn)，作平面與平面垂直，則所得截面周長為．變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）棱長為1的正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則過，，三點(diǎn)的平面截正方體的截面周長為．變式9．（2024·四川瀘州·四川省瀘縣第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體，中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則過點(diǎn)C且與垂直的平面被正方體截得的截面周長為．題型三：截面切割幾何體的體積問題例7．（2024·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）在棱長為a的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一個(gè)截面，該截面將正方體分成兩個(gè)多面體，則體積較小的多面體的體積為.例8．（2024·遼寧錦州·?？家荒＃┰谡睦忮F中，為的中點(diǎn)，過作截面將該四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，則的最大值是.例9．（2024·浙江·高二競賽）在正四棱錐中，M在棱上且滿足.過作截面將此四棱錐分成上，下兩部分，記上，下兩部分的體積分別為，，則的最大值為.變式10．（2024·上海·高二專題練習(xí)）如圖，正方體，中，E?F分別是棱AB?BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)?E?F的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為，記，則.變式11．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，用截面截下一個(gè)三棱錐，則三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.變式12．（2024·貴州貴陽·貴陽六中?？家荒＃┰谌庵?，底面，，點(diǎn)P是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為.變式13．（2024·廣東揭陽·高一普寧市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體中，E?F分別是棱?的中點(diǎn)，則正方體被截面BEFC分成兩部分的體積之比.題型四：球與截面問題例10．（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（

）

A． B． C． D．例11．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（

）A． B． C． D．例12．（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知某球的體積為，該球的某截面圓的面積為，則球面上的點(diǎn)到該截面圓圓心的最大距離為（

）A．1 B．3 C． D．變式14．（2024·江西南昌·江西師大附中校考三模）已知正方體的棱長為，為棱上的一點(diǎn)，且滿足平面平面，則平面截四面體的外接球所得截面的面積為（

）A． B． C． D．變式15．（2024·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．變式16．（2024·福建廈門·廈門外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知半徑為4的球，被兩個(gè)平面截得圓，記兩圓的公共弦為，且，若二面角的大小為，則四面體的體積的最大值為（

）A． B． C． D．變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知球和正四面體，點(diǎn)在球面上，底面過球心，棱分別交球面于，若球的半徑，則所得多面體的體積為（

）A． B． C． D．變式18．（2024·天津紅橋·統(tǒng)考二模）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（

）A． B．C． D．題型五：截面圖形的個(gè)數(shù)問題例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過正四面體的頂點(diǎn)P作平面，若與直線，，所成角都相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)為（

）個(gè)A．3 B．4 C．5 D．6例14．（2024·陜西榆林·陜西省榆林中學(xué)?？既＃┻^正方體的頂點(diǎn)作平面，使得正方體的各棱與平面所成的角都相等，則滿足條件的平面的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形,用平面去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面A．有無數(shù)多個(gè) B．恰有個(gè) C．只有個(gè) D．不存在變式19．（2024·浙江·模擬預(yù)測）過正四面體ABCD的頂點(diǎn)A作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面BCD所成的角為，這樣的截面有（

）A．6個(gè) B．12個(gè) C．16個(gè) D．18個(gè)變式20．（2024·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？计谥校┛臻g給定不共面的A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個(gè)點(diǎn)到的距離相同，另一個(gè)點(diǎn)到的距離是前三個(gè)點(diǎn)到的距離的2倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)是___________個(gè)題型六：平面截圓錐問題例16．（多選題）（2024·廣東·高二統(tǒng)考期末）圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名？因?yàn)樗梢詮膱A錐中截取獲得.我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與和圓錐軸截面半頂角有如下關(guān)系；當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線：當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線.（如左圖）現(xiàn)有一定線段AB與平面夾角（如上右圖），B為斜足，上一動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)P點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)軌跡是，則（）A．當(dāng)，時(shí)，是橢圓 B．當(dāng)，時(shí)，是雙曲線C．當(dāng)，時(shí)，是拋物線 D．當(dāng)，時(shí)，是橢圓例17．（2024·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測）比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林(GerminalDandelin)發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切的球使得它們與圓錐的側(cè)面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截線是橢圓．這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個(gè)高為20，底面半徑為4的圓柱體內(nèi)放兩個(gè)球，球與圓柱底面及側(cè)面均相切．若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切，則此平面截圓柱側(cè)面所得的截線為一個(gè)橢圓，則該橢圓的短軸長為（

）A． B． C． D．例18．（2024·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃?如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，截面分別與球，球切于點(diǎn)，，（，是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．變式21．（2024·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個(gè)問題進(jìn)行過研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面?截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.如圖②，一個(gè)半徑為的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．變式22．（2024·全國·高三對口高考）如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且．那么，動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（

）

A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)變式23．（2024·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知空間中兩條直線、異面且垂直，平面且，若點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線變式24．（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知線段垂直于定圓所在的平面，是圓上的兩點(diǎn)，是點(diǎn)在上的射影，當(dāng)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡（

）A．是圓 B．是橢圓 C．是拋物線 D．不是平面圖形變式25．（2024·四川廣安·高二廣安二中校考期中）美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學(xué).素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)索描的重要一步.某同學(xué)在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個(gè)橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是一個(gè)底角為60°的直角梯形，設(shè)圓柱半徑，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成角的大小為.若，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線變式27．（2024·四川廣安·高二統(tǒng)考期末）已知四棱錐，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓 B．橢圓的一部分 C．圓 D．不完整的圓變式28．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．已知某圓錐的軸截面是正三角形，平面與該圓錐的底而所成的銳二面角為，則平面截該圓錐所得橢圓的離心率為．題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題例19．（2024·西藏林芝·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，，平面經(jīng)過的中點(diǎn)E，并且與BC垂直，當(dāng)α截此三棱錐所得的截面面積最大時(shí)，此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例20．（2024·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖的中心角為，則過圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大值為（

）A．1 B． C．2 D．例21．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若球是正三棱錐的外接球，，點(diǎn)在線段上，，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（

）A． B． C． D．變式29．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，，平面平面，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，分別在線段上運(yùn)動(dòng)（端點(diǎn)除外），.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．變式30．（2024·江西·高一寧岡中學(xué)?？计谀├忾L為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn)，則經(jīng)過E，F(xiàn)球的截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．變式31．（2024·全國·高三對口高考）如圖，正方體的棱長為，動(dòng)點(diǎn)P在對角線上，過點(diǎn)P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）

A． B． C． D．變式32．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，給出下列命題：①四棱錐的體積恒為定值；②四邊形是平行四邊形；③當(dāng)截面四邊形的周長取得最小值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)至少有兩個(gè)；④直線與直線交于點(diǎn)，直