第53講、傳統(tǒng)方法求角度與距離（學(xué)生版）

第53講傳統(tǒng)方法求角度與距離知識(shí)點(diǎn)1：線(xiàn)與線(xiàn)的夾角（1）位置關(guān)系的分類(lèi)：（2）異面直線(xiàn)所成的角①定義：設(shè)是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作直線(xiàn)，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)與所成的角（或夾角）．②范圍：=3\*GB3③求法：平移法：將異面直線(xiàn)平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．知識(shí)點(diǎn)2：線(xiàn)與面的夾角①定義：平面上的一條斜線(xiàn)與它在平面的射影所成的銳角即為斜線(xiàn)與平面的線(xiàn)面角．②范圍：=3\*GB3③求法：常規(guī)法：過(guò)平面外一點(diǎn)做平面，交平面于點(diǎn)；連接，則即為直線(xiàn)與平面的夾角．接下來(lái)在中解三角形．即（其中即點(diǎn)到面的距離，可以采用等體積法求，斜線(xiàn)長(zhǎng)即為線(xiàn)段的長(zhǎng)度）；知識(shí)點(diǎn)3：二面角（1）二面角定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱(chēng)為二面角，這條直線(xiàn)稱(chēng)為二面角的棱，這兩個(gè)平面稱(chēng)為二面角的面．（二面角或者是二面角）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍．（3）二面角的求法法一：定義法在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線(xiàn)與棱垂直，這兩條垂線(xiàn)所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)和，則射線(xiàn)和所成的角稱(chēng)為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線(xiàn)的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線(xiàn)的夾角即可）．法二：三垂線(xiàn)法在面或面內(nèi)找一合適的點(diǎn)，作于，過(guò)作于，則為斜線(xiàn)在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：①找點(diǎn)做面的垂線(xiàn)；即過(guò)點(diǎn)，作于；②過(guò)點(diǎn)（與①中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線(xiàn)的垂線(xiàn)；即過(guò)作于，連接；③計(jì)算：為二面角的平面角，在中解三角形．圖1圖2圖3法三：射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大?。环ㄋ模貉a(bǔ)棱法當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線(xiàn)時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線(xiàn)（稱(chēng)為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線(xiàn)法解題．當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線(xiàn)時(shí)，也可直接用法三的攝影面積法解題．法五：垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角，就是二面角的平面角．例如：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)作于，作于，面交棱于點(diǎn)，則就是二面角的平面角．如圖3．此法實(shí)際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了．知識(shí)點(diǎn)4：空間中的距離求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解．必考題型全歸納題型一：異面直線(xiàn)所成角例1．（2024·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)?？级＃┤鐖D，圓柱的軸截面為矩形，點(diǎn)，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．例2．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．例3．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，二面角的大小為，且與交線(xiàn)所成的角為，則直線(xiàn)所成的角的正切值的最小值為（

）

A． B． C． D．變式1．（2024·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）兩條異面直線(xiàn)a、b所成角為一條直線(xiàn)l與a、b成角都等于，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱臺(tái)中，，其體積為為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．變式4．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┱庵睦忾L(zhǎng)均相等，E是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．題型二：線(xiàn)面角例4．（2024·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）如圖，在直三棱柱中，，，則與平面所成角的正弦值等于（

）

A． B． C． D．例5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，，.(1)求的長(zhǎng)度；(2)求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值.例6．（2024·廣東陽(yáng)江·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在正三棱臺(tái)中，，，為中點(diǎn)，在上，.

(1)請(qǐng)作出與平面的交點(diǎn)，并寫(xiě)出與的比值（在圖中保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出畫(huà)法和理由）；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.變式5．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┤鐖D，在多面體中，平面平面，底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是正方形，平面，且，.

(1)證明：．(2)若是的中點(diǎn)，平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．變式6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，平面平面，且.

(1)證明：；(2)若是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成的角的正切值最大值.變式7．（2024·湖南邵陽(yáng)·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與交于點(diǎn)，面，且.

(1)求證平面.；(2)求與平面所成角的大?。兪?．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．變式9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體ABCDE中，平面平面，平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，．

(1)點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．變式10．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.變式11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面，且，，分別為，的中點(diǎn)．(1)證明：．(2)求與平面所成角的正弦值．變式12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．題型三：二面角例7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長(zhǎng)；(2)若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.例8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，.

(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.例9．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，.(1)證明：平面平面ABCD；(2)若，，求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.變式13．（2024·四川成都·高三川大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓所在平面上的射影恰是圓上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：；(2)求二面角平面角的余弦值.變式14．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知在四棱錐中，，，，，，E為CD的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面PAE；(2)若直線(xiàn)PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值.變式15．（2024·廣東廣州·高三廣州市第六十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在五面體中，平面ABC，，，.

(1)問(wèn)：在線(xiàn)段CD上是否存在點(diǎn)P，使得平面ACD?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若，，，求平面ECD與平面ABC夾角的余弦值.變式16．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的范圍.變式17．（2024·吉林·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線(xiàn)平面分別是的中點(diǎn)．

(1)記平面與平面的交線(xiàn)為，證明：平面；(2)設(shè)（1）中的直線(xiàn)與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿(mǎn)足．記直線(xiàn)與平面所成的角為，異面直線(xiàn)與所成的角為，二面角的大小為，求證：．變式18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.變式19．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．

(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．變式20．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面平面.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，求平面與平面所夾角的余弦值.變式21．（2024·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．變式22．（2024·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且，平面，垂足為平面，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).

(1)求二面角的余弦值；(2)在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得平面，說(shuō)明作法及理由，并求四面體PDEF的體積.變式23．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知四棱錐的底面為梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

(1)判斷直線(xiàn)和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)到平面的距離為，請(qǐng)從下列①②中選出一個(gè)作為已知條件，求二面角余弦值大小．①；②為二面角的平面角．題型四：距離問(wèn)題例10．（2024·山東濱州·高三山東省北鎮(zhèn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的斜三棱柱中，是正方形，且點(diǎn)在平面上的射影恰是AB的中點(diǎn)H，M是的中點(diǎn)．(1)判斷HM與面的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求斜三棱柱兩底面間的距離．例11．（2024·北京海淀·高三海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，在三棱柱中，平面平面，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：面(2)請(qǐng)?jiān)購(gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在題干中，完成題目所給的問(wèn)題.①直線(xiàn)與平面所成角的大小為；②三棱錐的體積為；③.若選擇條件___________.求（i）求二面角的余弦值；（ii）求直線(xiàn)與平面的距離.例12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，滿(mǎn)足，且面面ABC．(1)證明：面POD；(2)若點(diǎn)E為PB中點(diǎn)，問(wèn)：直線(xiàn)AC上是否存在點(diǎn)F，使得面POD，若存在，求出FC的長(zhǎng)及EF到面POD的距離；若不存在，說(shuō)明理由．變式24．（2024·廣東河源·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在長(zhǎng)方體中，，，，為，的中點(diǎn)，在上，且.過(guò)，，三點(diǎn)的平面與長(zhǎng)方體的六個(gè)面相交得到六邊形，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.變式25．（2024·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰趫A臺(tái)中，是其軸截面，，過(guò)與軸截面垂直的平面交下底面于，若點(diǎn)到平面的距離是，則圓臺(tái)的體積等于.變式26．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知AB，CM分別為圓柱上、下底面的直徑，且AB＝2，圓柱的高為，，則點(diǎn)M到平面ABC的距離為.變式27．（2024·湖北武漢·高三武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四面體中，，與所在的直線(xiàn)間的距離為3，且與所成的角為，則四面體的體積為.變式28．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在正三棱錐中，，設(shè)分別是棱的中點(diǎn)，是三棱錐的外接球的球心，若，則到平面的