第65講、雙曲線及其性質(zhì)（學(xué)生版）

第65講雙曲線及其性質(zhì)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）．用集合表示為．注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形A2A2焦點(diǎn)坐標(biāo)，，對(duì)稱性關(guān)于，軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)，，范圍實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為離心率漸近線方程令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系共焦點(diǎn)的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點(diǎn)為切點(diǎn)切線方程對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．切點(diǎn)弦所在直線方程為雙曲線外一點(diǎn)為雙曲線外一點(diǎn)點(diǎn)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，．則弦長(zhǎng)，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．通徑通徑（過焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為焦點(diǎn)三角形雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形，設(shè)，，，則，，焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．【解題方法總結(jié)】（1）雙曲線的通徑過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長(zhǎng)為．（2）點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系對(duì)于雙曲線，點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于．點(diǎn)在雙曲線外部，等價(jià)于結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來分析．（3）雙曲線常考性質(zhì)性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（4）雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）（5）雙曲線的切線點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．若點(diǎn)在雙曲線外，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為必考題型全歸納題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是離心率為2的雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)，，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例2．（2024·山東臨沂·高二?？计谀┮阎p曲線：（，），矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在上，，的中點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．例3．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為．變式1．（2024·貴州貴陽(yáng)·高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）漸近線方程為且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為．變式2．（2024·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．變式3．（2024·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？计谥校╇p曲線經(jīng)過兩點(diǎn)，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．變式4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M是雙曲線C的右支上一點(diǎn)，雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，與的夾角為，，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.變式5．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，四點(diǎn)、、、中恰有三點(diǎn)在上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．變式6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（1）若雙曲線過點(diǎn)，離心率，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）若雙曲線過點(diǎn)，漸近線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為．【解題方法總結(jié)】求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)，，，即利用待定系數(shù)法求方程．（2）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足的條件，來確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法求方程．題型二：雙曲線方程的充要條件例4．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若曲線表示雙曲線，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．例5．（2024·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則變式8．（2024·四川南充·統(tǒng)考三模）設(shè)，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：．題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題例7．（2024·廣東揭陽(yáng)·高三?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的方程可以為（

）A． B．C． D．例8．（2024·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6例9．（2024·福建漳州·高三漳州三中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．變式9．（2024·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，且到漸近線的距離為1，過的直線與C的左、右兩支曲線分別交于兩點(diǎn)，且，則下列說法正確的為（

）A．的面積為2 B．雙曲線C的離心率為C． D．變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，且焦距為，P是C上一點(diǎn)，滿足，，則的周長(zhǎng)為．變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是?，過的弦AB與其右支交于A?B兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．變式12．（2024·云南保山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是離心率等于的雙曲線的左右焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)20，則等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是該雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線上，下列說法正確的是（

）A．若為直角三角形，則的周長(zhǎng)是B．若為直角三角形，則的面積是6C．若為銳角三角形，則的取值范圍是D．若為鈍角三角形，則的取值范圍是變式15．（2024·吉林四平·高三雙遼市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別、，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，則的面積與的面積之差為（

）A． B． C． D．變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上一點(diǎn)P使得，求的面積（

）A． B． C． D．變式17．（2024·上海浦東新·統(tǒng)考三模）設(shè)為雙曲線（）的上一點(diǎn)，，（為左、右焦點(diǎn)），則的面積等于（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】對(duì)于題中涉及雙曲線上點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)距離問題常用定義，即，在焦點(diǎn)三角形面積問題中若已知角，則用，及余弦定理等知識(shí)；若未知角，則用．題型四：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問題例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．3例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線上一點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，與的內(nèi)切圓切于點(diǎn)，則的最小值為

A． B． C． D．例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是．變式18．（2024·河北衡水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，其右焦點(diǎn)為，為其上一點(diǎn)，點(diǎn)滿足=1，，則的最小值為(

)A．3 B． C．2 D．變式19．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若M是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．12 B．6 C．16 D．8變式20．（2024·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)向的角平分線作垂線，垂足為點(diǎn)Q，則點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．4【解題方法總結(jié)】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題例13．（2024·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．例14．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在其右支上，點(diǎn)，三角形的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．例15．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8變式21．（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．12 B．11 C．10 D．9變式22．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，（

）A． B． C． D．變式23．（2024·福建寧德·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線，點(diǎn)F是C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C左支上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到C的一條漸近線的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．10變式24．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．變式25．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，M?N分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．14變式26．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是右焦點(diǎn)為的雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的最小值是.變式27．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．8變式28．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知雙曲線是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8變式29．（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中學(xué)?？计谥校┮阎请p曲線的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線左支上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式30．（2024·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓：和圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．題型六：離心率的值及取值范圍方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換例16．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，分別為雙曲線Ε：的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交E于點(diǎn)C，若，，則雙曲線E的離心率為（

）A． B．2 C． D．例17．（2024·陜西西安·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．1例18．（2024·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在上存在點(diǎn)不是頂點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式31．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，，四邊形的面積等于，則的離心率等于（

）A． B． C．2 D．變式32．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長(zhǎng)線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為，則的離心率為（

）

A． B． C．2 D．3方向2：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式變式33．（2024·四川成都·四川省成都列五中學(xué)校考三模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．變式34．（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線的左、右兩支于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．變式35．（2024·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，為的虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線垂直于的一條漸近線，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式36．（2024·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，一條漸近線與圓在第一象限交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B．2C． D．變式37．（2024·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線為左焦點(diǎn)，分別為左?左頂點(diǎn)，為右支上的點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線與以線段為直徑的圓相交，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式38．（2024·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．方向3：利用，其中為焦距長(zhǎng)，變式39．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，斜率為的直線過，交的右支于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式40．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段恰被軸平分，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3變式41．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是的左、右焦點(diǎn)，若的角平分線與直線交于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．變式42．（2024·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且，那么雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．方向4：坐標(biāo)法變式43．（2024·上海嘉定·?？既＃┮阎p曲線的離心率為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則（

）A． B．C． D．變式44．（2024·江西·江西師大附中?？既＃┮阎请p曲線C：的左焦點(diǎn)，，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．變式45．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃﹫A（為原點(diǎn)）是半徑為的圓分別與軸負(fù)半軸?雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)（在第一象限），若的另一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．變式46．（2024·寧夏吳忠·高三吳忠中學(xué)校考開學(xué)考試）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C的右支上位于第一象限的點(diǎn)，且軸.若直線PB與直線PA的斜率之比為3，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．3變式47．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，且在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）

A． B．C． D．變式48．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)過原點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線C：的左，右支分別交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，若三角形的面積大于，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理變式49．（2024·河南鄭州·三模）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．變式50．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，的周長(zhǎng)為8a，則C的離心率為（

）A． B．C． D．變式51．（2024·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知分別為雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)．若是等邊三角形，則雙曲線E的離心率為（

）A． B．3 C． D．變式52．（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓O：與雙曲線C：的右支交于點(diǎn)A，B，若，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．變式53．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．變式54．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線C在第一象限的右支上一點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作雙曲線C的切線交x軸于點(diǎn)B，若，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．變式55．（2024·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn).現(xiàn)將所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，且若，則的離心率為（

）

A． B． C． D．變式56．（2024·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，，，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理變式57．（多選題）（2024·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2變式58．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式59．（2024·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知、分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)P滿足，且，則該雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．方向7：利用基本不等式變式60．（2024·四川成都·高三開學(xué)考試（文））已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作軸交雙曲線于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，連接AB，BF，當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率為______．變式61．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、，若該雙曲線上存在點(diǎn)，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為__________．變式62．（2024·四川·高三開學(xué)考試（理））如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線上存在點(diǎn)P，使得直線PA，PB（點(diǎn)A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為______．方向8：利用漸近線的斜率求離心率變式63．（2024·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過C的右焦點(diǎn)F作C的一條漸近線的平行線交C的另一條漸近線于點(diǎn)Q，若，則C的離心率為（

）A． B．3 C． D．變式64．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，（不重合），的垂直平分線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．變式65．（2024·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A． B． C． D．變式66．（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝3|OP|，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．變式67．（2024·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)O），若恒成立，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式68．（2024·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．或C． D．或變式69．（2024·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．變式70．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的方程為，斜率為的直線與圓相切于M，與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B，且M為AB中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．變式71．（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)在雙曲線上，到兩漸近線的距離為，，若恒成立，則的離心率的最大值為（

）A． B． C．2 D．方向9：利用雙曲線第三定義變式72．（多選題）（2024·云南·羅平縣第一中學(xué)高二期中）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作的一條漸近線的平行線交于點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn).若，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積為D．為坐標(biāo)原點(diǎn)，則變式73．（2024·湖南郴州·高二期末）雙曲線的左右頂點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_________．變式74．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為上不同于的一點(diǎn)，直線的斜率分別為，若的離心率為，則（

）A．3 B．1 C．2 D．變式75．（2024·江西南昌·統(tǒng)考三模）不與x軸重合的直線l經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．方向10：利用對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)焦半徑的取值范圍變式76．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.變式77．（2024·吉林長(zhǎng)春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是A． B． C． D．變式78．（2024·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式79．（2024·山西·朔州市朔城區(qū)第一中學(xué)校高二開學(xué)考試）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為?，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式80．（2024·湖南·衡陽(yáng)市八中一模（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為（

）A． B． C． D．變式81．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍．具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法．題型七：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題例19．（2024·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）等軸雙曲線的焦距為.例20．（2024·四川自貢·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于B點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的半徑為．例21．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過雙曲線上一點(diǎn)（）的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，則.變式82．（2024·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，存在過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且為正三角形．試寫出一個(gè)滿足上述條件的雙曲線的方程：．變式83．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的焦距為4，焦點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為1，則C的漸近線方程為變式84．（2024·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的一條漸近線恰好平分第一、三象限，若的虛軸長(zhǎng)為4，則的實(shí)軸長(zhǎng)為.變式85．（2024·河北唐山·統(tǒng)考二模）已知直線：過雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，且與的一條漸近線平行，則的實(shí)軸長(zhǎng)為．變式86．（2024·北京房山·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，則.【解題方法總結(jié)】處理雙曲線的問題的時(shí)候，如果需要畫圖，注意作圖規(guī)范，結(jié)合圖象分析，另外因?yàn)殡p曲線有兩條漸近線，所以要分清楚，到底是點(diǎn)在雙曲線上還是漸近線上，切勿搞混．題型八：利用第一定義求解軌跡例22．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)，且與圓外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為.例23．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為．例24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.變式87．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的平分線，過作的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為．變式88．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程是.變式89．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若動(dòng)圓與兩定圓及都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.變式90．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：和圓：，動(dòng)圓M同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為.變式91．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A(－5，0)，B(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，8成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為.變式92．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，動(dòng)圓與直線切于點(diǎn)，分別過點(diǎn)且與圓相切的兩條直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為.變式93．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若動(dòng)圓過定點(diǎn)且和定圓：外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.變式94．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足下列條件：①，②，則點(diǎn)的軌跡方程為.變式95．（2024·河北張家口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓：和點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是.變式96．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，(a