第55講、立體幾何中的壓軸小題（學(xué)生版）

第55講立體幾何中的壓軸小題必考題型全歸納題型一：球與截面面積問題例1．（2024·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校考開學(xué)考試）已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，，是邊長為的正三角形，，，，過點(diǎn)E作球O的截面，截面面積最小值為（

）A． B． C． D．例2．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2；②四面體ABCD的體積為；③過作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4.則上述說法正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例3．（2024·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知球是正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．變式1．（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）2022年第三十二屆足球世界杯在卡塔爾舉行，第一屆世界杯是1930年舉辦的，而早在戰(zhàn)國中期，中國就有過類似的體育運(yùn)動項(xiàng)目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知半徑為的某鞠（球）的表面上有四個點(diǎn)，，，，，，，則該鞠（球）被平面所截的截面圓面積為（

）A． B． C． D．變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，該正方體的外接球?yàn)榍颍瑒t平面截球得到的截面圓的面積為（

）A． B． C． D．變式3．（2024·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知球O內(nèi)切于正方體，P，Q，M，N分別是的中點(diǎn)，則該正方體及其內(nèi)切球被平面所截得的截面面積之比為（

）A． B． C． D．變式4．（2024·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三棱錐P-ABC的棱長均為6，且四個頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，點(diǎn)E在AB上，，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題例4．（2024·福建三明·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動點(diǎn)，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)例5．（2024·四川成都·?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱柱中，底面為正方形，底面，，?分別是棱?上的動點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線可能異面B．三棱錐的體積保持不變C．直線與直線所成角的大小與點(diǎn)的位置有關(guān)D．直線與直線所成角的最大值為例6．（多選題）（2024·福建三明·統(tǒng)考三模）如圖，正方體的棱長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（

）

A．當(dāng)在上時，三棱錐的體積為定值B．與所成角正弦的最小值為C．過作垂直于的平面截正方體所得截面圖形的周長為D．當(dāng)時，面積的最小值為變式5．（多選題）（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知正方體的棱長為2，為四邊形的中心，為線段上的一個動點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若三棱錐的體積為定值，則（

）A． B．C． D．變式6．（多選題）（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點(diǎn)，且，以下結(jié)論正確的有（

）

A．B．C．正方體的體積是三棱錐的體積的12倍D．異面直線所成的角為定值變式7．（多選題）（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谀┮阎庵鵄BC﹣A1B1C1的底面邊長為1，AA1=1，點(diǎn)P滿足，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列選項(xiàng)正確的是（

）

A．當(dāng)λ=1時，△AB1P的周長為定值B．當(dāng)μ=1時，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值C．當(dāng)時，有且僅有兩個點(diǎn)P，使得A1P⊥BPD．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P變式8．（多選題）（2024·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)滿足，其中，則（

）A．B．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得D．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值變式9．（多選題）（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，為正方體.任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則（

）

A．S為定值 B．S不為定值 C．l為定值 D．l不為定值變式10．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知三棱錐，，為棱上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作平行于直線和的平面，分別交棱于．下列說法正確的是（

）

A．四邊形為矩形B．四邊形的周長為定值C．四邊形的面積為定值D．當(dāng)時，平面分三棱錐所得的兩部分體積相等變式11．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，平面B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，△PBD的面積為定值D．當(dāng)時，直線與所成角的取值范圍為題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題例7．（2024·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個正方形框架的邊長均為2，活動彈子在線段上移動（包含端點(diǎn)），彈子分別固定在線段的中點(diǎn)處，且平面，則當(dāng)取最大值時，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．例8．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（

）A．18 B． C． D．27例9．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為是正方形（含邊界）內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于，則兩點(diǎn)間距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．變式12．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）點(diǎn)是圓柱上底面圓周上一動點(diǎn)，是圓柱下底面圓的內(nèi)接三角形，已知在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，三棱錐的體積最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式13．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）如圖，是半球的直徑，為球心，為此半球大圓弧上的任意一點(diǎn)（異于在水平大圓面內(nèi)的射影為，過作于，連接，若二面角的大小為，則三棱錐的體積的最大值為（

）

A． B． C． D．變式14．（2024·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）圓錐的底面半徑為，母線長為，是圓錐的軸截面，是的中點(diǎn)，為底面圓周上的一個動點(diǎn)（異于、兩點(diǎn)），則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐體積最大值為 D．三棱錐體積最大值為變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長為，高為1，P?Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)．有以下三個結(jié)論：①三角形SPQ面積的最大值為2；②三棱錐體積的最大值為；③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為．以上所有正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式16．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正四面體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為球心的球上運(yùn)動，，且恒有，已知三棱錐的體積的最大值為，則正四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．變式17．（2024·湖北恩施·校考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿AE向上翻折，使點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論不正確的是（

）

A．存在點(diǎn)P，使得B．存在點(diǎn)P，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時，三棱錐外接球表面積為4π變式18．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，圓臺的上、下底面圓半徑分別為1、2，高，點(diǎn)S、A分別為其上、下底面圓周上一點(diǎn)，則下列說法中錯誤的是（

）

A．該圓臺的體積為B．直線SA與直線所成角最大值為C．該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為D．直線與平面所成角正切值的最大值為變式19．（2024·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）正四棱柱中，，為底面的中心，是棱的中點(diǎn)，正四棱柱的高，點(diǎn)到平面的距離的最大值為（

）A． B． C． D．變式20．（2024·湖南長沙·長沙一中校考模擬預(yù)測）已知A，B，C，D是體積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且三棱錐A－BCD的體積為，則線段CD長度的最大值為（

）A． B． C． D．變式21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點(diǎn)重合于點(diǎn)），則此四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．變式22．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考二模）如圖1，將一塊邊長為20的正方形紙片剪去四個全等的等腰三角形，，再將剩下的部分沿虛線折成一個正四棱錐，使與重合，與重合，與重合，與重合，點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖2.則正四棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓形紙片的圓心為，半徑為5，該紙片上的正方形的中心為．，，，為圓上的點(diǎn)，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，使得，，，重合于一點(diǎn)，記為，得到四棱錐．當(dāng)?shù)酌娴倪呴L變化時，四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．題型四：立體幾何中的交線問題例10．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體是半徑為的球的內(nèi)接正方體（八個頂點(diǎn)全部在球面上），則正方體六個面所在的平面與球面的交線總長度是（

）A． B． C． D．例11．（2024·上海·高三專題練習(xí)）直三棱柱中，，，，，設(shè)平面與平面的交線為，則與的距離為（

）．A．1 B． C．17 D．2.6例12．（2024·浙江·校聯(lián)考三模）正四面體，為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的平行平面，該平面與平面、平面的交線分別為，則所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是棱，的中點(diǎn)若經(jīng)過點(diǎn)的平面與平面的交線為，則與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為2的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)過，，的截面與面，以及面的交線分別為，，則，所成的角為（

）A． B． C． D．變式26．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）在正方體中，為中點(diǎn)，過的截面與平面的交線為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在圓臺OO1中，，點(diǎn)C是底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（

）

A． B． C． D．變式28．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正三棱錐P-ABC中，，BC＝6，M，N，Q，D分別是AP，BC，AC，PC的中點(diǎn)，平面MQN與平面PBC的交線為l，則直線QD與直線l所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．變式29．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考期末）在正方體中，為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，，，，點(diǎn)?分別為棱?的中點(diǎn)，則平面與直四棱柱各側(cè)面矩形的交線所圍成的圖形的面積為（

）A． B．C． D．題型五：空間線段以及線段之和最值問題例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，如圖正三棱錐中，側(cè)棱長為，底面邊長為2，D為AC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，M是PD上的動點(diǎn)，N是平面PCE上的動點(diǎn)，則最小值是（

）A． B． C． D．例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，是上的動點(diǎn)，是上的動點(diǎn)，則長度的最小值為（

）A． B． C． D．變式31．（2024·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，是線段上的一動點(diǎn)，則最小值為（

）

A． B． C． D．變式32．（2024·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，，在底面上的投影為的中點(diǎn)，.有下列結(jié)論：①三棱錐的三條側(cè)棱長均相等；②的取值范圍是；③若三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的體積為；④若，是線段上一動點(diǎn)，則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④變式33．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，底面為正方形，．點(diǎn)分別為平面，平面和平面內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．1變式34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，，且分別為和的中點(diǎn)，為線段（包括端點(diǎn)）上一動點(diǎn)，為側(cè)面上一動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．題型六：空間角問題例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．例17．（2024·浙江·高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．例18．（2024·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．變式35．（2024·浙江溫州·高二溫州中學(xué)?？计谀┬比庵?，底面是正三角形，側(cè)面是矩形，是線段上的動點(diǎn)，記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A．， B．，C．， D．，變式36．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）斜三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)面是矩形，且，是的中點(diǎn)，記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A．， B．，C．， D．，變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知等邊，點(diǎn)分別是邊上的動點(diǎn)，且滿足，將沿著翻折至點(diǎn)處，如圖所示，記二面角的平面角為，二面角的平面角為，直線與平面所成角為，則（

）A． B． C． D．變式38．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）正四面體中，是側(cè)棱上（端點(diǎn)除外）的一點(diǎn)，若異面直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B．C． D．變式39．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點(diǎn)為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．可能值為D．當(dāng)取值最大時，變式40．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是正方體上底面上的一個動點(diǎn)，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．變式41．（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四面體中，棱，所在直線所成角為，且，，，面和面所成的銳二面角為，面和面所成的銳二面角為，當(dāng)四面體的體積取得最大值時（

）.A． B． C． D．不能確定變式42．（2024·浙江·校聯(lián)考二模）已知三棱柱的所有棱長均相等，側(cè)棱平面，過作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個角的大小關(guān)系為A． B．C． D．題型七：立體幾何裝液體問題例19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知一個放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現(xiàn)將該棱柱繞旋轉(zhuǎn)至圖2.在旋轉(zhuǎn)過程中，以下命題中正確的個數(shù)是（

）①液面剛好同時經(jīng)過，，三點(diǎn)；②當(dāng)平面與液面成直二面角時，液面與水平桌面的距離為；③當(dāng)液面與水平桌面的距離為時，與液面所成角的正弦值為.A．0 B．1 C．2 D．3例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為1，如果任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為（

）A． B． C． D．例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為2，如果任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體的體積的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式43．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知某圓柱形容器的軸截面是邊長為2的正方形，容器中裝滿液體，現(xiàn)向此容器中放入一個實(shí)心小球，使得小球完全被液體淹沒，則此時容器中所余液體的最小容量為（

）A． B． C． D．變式44．（多選題）（2024·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）如圖，玻璃制成的長方體容器內(nèi)部灌進(jìn)一多半水后封閉，僅讓底面棱BC位于水平地面