第11講、函數(shù)的圖像（教師版）

[在此處鍵入]第11講函數(shù)的圖像知識(shí)梳理一、掌握基本初等函數(shù)的圖像（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)；（4）指數(shù)函數(shù)；（5）對(duì)數(shù)函數(shù)；（6）三角函數(shù)．二、函數(shù)圖像作法1、直接畫①確定定義域；②化簡(jiǎn)解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性（或其他對(duì)稱性）、單調(diào)性、周期性、凹凸性；④特殊點(diǎn)、極值點(diǎn)、與橫/縱坐標(biāo)交點(diǎn)；⑤特殊線（對(duì)稱軸、漸近線等）．2、圖像的變換（1）平移變換①函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向左平移個(gè)單位得到的；②函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向右平移個(gè)單位得到的；③函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向上平移個(gè)單位得到的；④函數(shù)的圖像是把函數(shù)的圖像沿軸向下平移個(gè)單位得到的；（2）對(duì)稱變換①函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意都有或（實(shí)質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即為常數(shù)）；若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意都有③的圖像是將函數(shù)的圖像保留軸上方的部分不變，將軸下方的部分關(guān)于軸對(duì)稱翻折上來(lái)得到的（如圖（a）和圖（b））所示④的圖像是將函數(shù)的圖像只保留軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于軸對(duì)稱得到函數(shù)左邊的圖像即函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)（如圖（c）所示）．注：的圖像先保留原來(lái)在軸上方的圖像，做出軸下方的圖像關(guān)于軸對(duì)稱圖形，然后擦去軸下方的圖像得到；而的圖像是先保留在軸右方的圖像，擦去軸左方的圖像，然后做出軸右方的圖像關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到．這兩變換又叫翻折變換．⑤函數(shù)與的圖像關(guān)于對(duì)稱．（3）伸縮變換①的圖像，可將的圖像上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的倍得到．②的圖像，可將的圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的倍得到．【解題方法總結(jié)】（1）若恒成立，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．（2）設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．（3）若，對(duì)任意恒成立，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．（4）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．（5）函數(shù)....與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．（6）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．（7）函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減”．必考題型全歸納題型一：由解析式選圖（識(shí)圖）【例1】（2024·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得，所以為偶函數(shù)，故排除BD.當(dāng)時(shí)，，排除A.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】因?yàn)?，令，則，即，解得，或，解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以排除AD；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以B正確；故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)校考二模）函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由解析式可得，，排除A；觀察C、D選項(xiàng)，其圖象關(guān)于縱軸對(duì)稱，而，說(shuō)明不是偶函數(shù)，即其函數(shù)圖象不關(guān)于縱軸對(duì)稱，排除C、D；顯然選項(xiàng)B符合題意.故選：B【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖像為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】因?yàn)?，其定義域?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，排除選項(xiàng)A，D，又因?yàn)?，因?yàn)椋裕?，排除選項(xiàng)C.故選：B.【解題方法總結(jié)】利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點(diǎn)等）排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而篩選出正確答案題型二：由圖象選表達(dá)式【例2】（2024·四川遂寧·統(tǒng)考二模）數(shù)學(xué)與音樂(lè)有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音一般來(lái)說(shuō)并不是純音，而是由多種波疊加而成的復(fù)合音．如圖為某段樂(lè)音的圖像，則該段樂(lè)音對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可以為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，又，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，又，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)，，故D錯(cuò)誤，故選：A．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的圖像如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題圖，知函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故排除A；對(duì)于B，，雖然函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，但，與圖像不吻合，排除B；對(duì)于D，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，但，與圖像不吻合，排除D；對(duì)于C，函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，下面只分析y軸右側(cè)部分．當(dāng)時(shí)，，，令，求導(dǎo)，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得最大值．又因?yàn)椋?，，所以，使得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，與圖像吻合.故選：C．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，有兩個(gè)不等的實(shí)根，故有兩個(gè)極值點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B選項(xiàng)，，；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，依次類推可知函數(shù)值有正有負(fù)；顯然不單調(diào)；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以有多個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)?，所以，所以既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，以上均符合，故B正確.故選：B．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·貴州遵義·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的大致圖象如下所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)為偶函數(shù)，選項(xiàng)D中函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，排除D；又選項(xiàng)C中函數(shù)滿足，與圖象不符，排除C；選項(xiàng)A中函數(shù)滿足，與圖象不符，排除A，只有B可選．故選：B．【解題方法總結(jié)】1、從定義域值域判斷圖像位置；2、從奇偶性判斷對(duì)稱性；3、從周期性判斷循環(huán)往復(fù)；4、從單調(diào)性判斷變化趨勢(shì)；5、從特征點(diǎn)排除錯(cuò)誤選項(xiàng)．題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問(wèn)題【例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，，且的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在和上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·山東濱州·統(tǒng)考二模）函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【解析】由圖象觀察可得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以得：，故C錯(cuò)誤；由圖象可知，故D錯(cuò)誤；因?yàn)槎x域不連續(xù)，所以有兩個(gè)根可得，即異號(hào)，，即B錯(cuò)誤，A正確.故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，排除A，C；又因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn),所以，解得．故選：D【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖象知，的兩根為2，4，且過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，所以，故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】本題通過(guò)討論的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減，則函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減，D選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增，則函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.綜上，選D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在,上的大致圖像可能為（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】①當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)為奇函數(shù)，由時(shí)，時(shí)等性質(zhì)可知A選項(xiàng)符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，作出兩函數(shù)的大致圖象，由圖象可知在內(nèi)必有一交點(diǎn)，記橫坐標(biāo)為，此時(shí)，故排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，若在內(nèi)無(wú)交點(diǎn)，則在恒成立，則圖象如C選項(xiàng)所示，故C選項(xiàng)符合題意；若在內(nèi)有兩交點(diǎn)，同理得B選項(xiàng)符合題意.故選：ABC.【解題方法總結(jié)】根據(jù)函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)的圖象，其中解答中熟記指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及分類討論思想的應(yīng)用．題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題【例4】（2024·北京·高三專題練習(xí)）高為、滿缸水量為的魚缸的軸截面如圖所示，現(xiàn)底部有一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為時(shí)水的體積為，則函數(shù)的大致圖像是A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意知，函數(shù)的自變量為水深，函數(shù)值為魚缸中水的體積，所以當(dāng)時(shí)，體積，所以函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)，故排除A、C；再根據(jù)魚缸的形狀，下邊較細(xì)，中間較粗，上邊較細(xì)，所以隨著水深的增加，體積的變化速度是先慢后快再慢的，故選B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖為某無(wú)人機(jī)飛行時(shí)，從某時(shí)刻開(kāi)始15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系．若定義“速度差函數(shù)”為無(wú)人機(jī)在時(shí)間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng)，，“速度差函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻速運(yùn)動(dòng)，，“速度差函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng)，，“速度差函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻減速運(yùn)動(dòng)，“速度差函數(shù)”，結(jié)合選項(xiàng)C滿足“速度差函數(shù)”解析式，故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）青花瓷，又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，是中國(guó)瓷器的主流品種之一.如圖，這是景德鎮(zhèn)青花瓷，現(xiàn)往該青花瓷中勻速注水，則水的高度與時(shí)間的函數(shù)圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖可知該青花瓷上?下細(xì)，中間粗，則在勻速注水的過(guò)程中，水的高度先一直增高，且開(kāi)始時(shí)水的高度增高的速度越來(lái)越慢，到達(dá)瓷瓶最粗處之后，水的高度增高的速度越來(lái)越快，直到注滿水，結(jié)合選項(xiàng)所給圖像，只有先慢后快的趨勢(shì)的C選項(xiàng)符合.故選：C【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）列車從地出發(fā)直達(dá)外的地，途中要經(jīng)過(guò)離地的地，假設(shè)列車勻速前進(jìn)，后從地到達(dá)地，則列車與地距離（單位：與行駛時(shí)間（單位：）的函數(shù)圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可知列車的運(yùn)行速度為，列車到達(dá)地的時(shí)間為，故當(dāng)時(shí)，.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊AC，CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，記∠ADP＝x．函數(shù)f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，則y＝f（x）的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．在區(qū)間（0，）上，P在邊AC上，|PB|＞|PA|，則f（x）＞0，排除C；在區(qū)間（，π）上，P在邊BC上，|PB|＜|PA|，則f（x）＜0，排除B，又由當(dāng)x1+x2＝π時(shí)，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，排除D，故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）勻速地向一底面朝上的圓錐形容器注水，則該容器盛水的高度h關(guān)于注水時(shí)間t的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐PO底面圓半徑r，高H，注水時(shí)間為t時(shí)水面與軸PO交于點(diǎn)，水面半徑，此時(shí)水面高度，如圖：由垂直于圓錐軸的截面性質(zhì)知，，即，則注入水的體積為，令水勻速注入的速度為，則注水時(shí)間為t時(shí)的水的體積為，于是得，而都是常數(shù)，即是常數(shù)，所以盛水的高度h與注水時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式是，，，函數(shù)圖象是曲線且是上升的，隨t值的增加，函數(shù)h值增加的幅度減小，即圖象是先陡再緩，A選項(xiàng)的圖象與其圖象大致一樣，B，C，D三個(gè)選項(xiàng)與其圖象都不同.故選：A【解題方法總結(jié)】（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．題型五：函數(shù)圖象的變換【例5】（2024·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圖1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)圖象知，當(dāng)時(shí)，所求函數(shù)圖象與已知函數(shù)相同，當(dāng)時(shí)，所求函數(shù)圖象與時(shí)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即所求函數(shù)為偶函數(shù)且時(shí)與相同，故BD不符合要求，當(dāng)時(shí)，，，故A正確，C錯(cuò)誤.故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】①關(guān)于y軸對(duì)稱②向右平移1個(gè)單位③縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列圖象錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，表示一條線段，且線段經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，表示一段曲線．函數(shù)的圖象如圖所示．的圖象可由的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故A正確；的圖象可由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱后得到，故B正確；由于的值域?yàn)椋?，故的圖象與的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中的圖象不正確．故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位的大致圖像為()A． B．C． D．【答案】C【解析】先作出函數(shù)的圖像，再向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得解.如圖所示：故答案為C【解題方法總結(jié)】熟悉函數(shù)三種變換：（1）平移變換；（2）對(duì)稱變換；（3）伸縮變換.題型六：函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用【例6】（2024·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】

如圖，顯然.當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性得，方程有且僅有一解.因此當(dāng)時(shí)，方程也恰有一解.即為函數(shù)的切線，，令得，故當(dāng)時(shí)，，得，即從而.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)__________.【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則與的圖象大致如下，則對(duì)應(yīng)的2個(gè)根為，此時(shí)方程均無(wú)解，即方程無(wú)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則與的圖象大致如下，則則對(duì)應(yīng)的2個(gè)根為，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則與函數(shù)的圖象共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖象共有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示