第5講、一元二次不等式與其它不等式解法（教師版）

[在此處鍵入]第5講一元二次不等式與其它不等式解法知識梳理1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當時，二次函數(shù)圖象開口向上．（2）=1\*GB3①若，解集為．=2\*GB3②若，解集為．=3\*GB3③若，解集為．（2）當時，二次函數(shù)圖象開口向下．=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、絕對值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解【解題方法總結(jié)】1、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．2、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．3、已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．必考題型全歸納題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法【解題總結(jié)】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標在軸上，結(jié)合圖象，寫出其解集例1．（2024·上海金山·統(tǒng)考二模）若實數(shù)滿足不等式，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】不等式，即，解得，則的取值范圍是.故答案為：.例2．（2024·高三課時練習）不等式的解集為______．【答案】【解析】解:由題知不等式為,即,即,解得,所以解集為.故答案為:例3．（2024·高三課時練習）函數(shù)的定義域為______．【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.例4．（2024·高三課時練習）不等式的解集為______．【答案】【解析】不等式即，的根為，故的解集為，即不等式的解集為，故答案為：題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法【解題總結(jié)】1、數(shù)形結(jié)合處理．2、含參時注意分類討論．例5．（2024·全國·高三專題練習）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要條件，，當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，，若，則需；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：A.例6．（2024·全國·高三專題練習）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】不等式即，當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，這四個整數(shù)只能是3,4,5,6，故，當時，不等式解集為，此時不符合題意；當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，這四個整數(shù)只能是，故，，故實數(shù)m的取值范圍為，故選：C例7．（2024·全國·高三專題練習）解下列關(guān)于的不等式．【解析】方程：且解得方程兩根：；當時，原不等式的解集為：當時，原不等式的解集為：綜上所述,當時，原不等式的解集為：當時，原不等式的解集為：例8．（2024·全國·高三專題練習）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可以轉(zhuǎn)化為：，當時，可知，對應(yīng)的方程的兩根為1，，根據(jù)一元二次不等式的解集的特點，可知不等式的解集為：.故選：A.題型三：一元二次不等式與韋達定理及判別式【解題總結(jié)】1、一定要牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)．2、含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進行代換．例9．（2024·全國·高三專題練習）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為【答案】B【解析】因為關(guān)于的不等式的解集為或，所以，所以選項A錯誤；由題得，所以為.所以選項B正確；設(shè)，則，所以選項C錯誤；不等式為，所以選項D錯誤.故選：B例10．（2024·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可得：，.由，，設(shè)，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故選：A.例11．（2024·全國·高三專題練習）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的解集是，，得，則不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.故選：D例12．（2024·北京海淀·101中學校考模擬預測）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則下列四個結(jié)論中錯誤的是（

）A．B．C．若關(guān)于x的不等式的解集為，則D．若關(guān)于x的不等式的解集為，且，則【答案】C【解析】由題意，所以正確;對于:，當且僅當，即時成立,所以正確;對于,由韋達定理，可知，所以錯誤;對于,由韋達定理，可知，則，解得，所以正確,故選：.例13．（2024·全國·高三專題練習）已知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A．－2 B．1 C．2 D．8【答案】C【解析】由題意可知，方程的兩個根為m，，則，解得：，故，，所以，當且僅當，即時取等號，則，所以，當且僅當，即時取等號，故的最小值為2.故選：C.題型四：其他不等式解法【解題總結(jié)】1、分式不等式化為二次或高次不等式處理．2、根式不等式絕對值不等式平方處理．例14．（2024·北京海淀·統(tǒng)考一模）不等式的解集為_________．【答案】或【解析】根據(jù)分式不等式解法可知等價于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集為或.故答案為：或例15．（2024·全國·高三專題練習）不等式的的解集是______【答案】：【解析】則或【考點定位】本題考查將分式不等式等價轉(zhuǎn)化為高次不等式、考查高次不等式的解法例16．（2024·上海·高三專題練習）若不等式，則x的取值范圍是____________．【答案】【解析】∵，則，解得，∴x的取值范圍是.故答案為：.例17．（2024·上海浦東新·統(tǒng)考三模）不等式的解集是__________．【答案】【解析】當時，，解得，此時解集為空集，當時，，即，符合要求，此時解集為，當時，，解得，此時解集為空集，綜上：不等式的解集為.故答案為：例18．（2024·上海楊浦·高三復旦附中校考階段練習）已知集合，則___________．【答案】【解析】，.故.故答案為：題型五：二次函數(shù)根的分布問題【解題總結(jié)】解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數(shù)值的正負，所對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向．例19．（2024·全國·高三專題練習）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，的取值范圍為__．【答案】【解析】令，圖象恒過點，方程0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，，解得.故答案為：例20．（2024·全國·高三專題練習）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】.【解析】方程

方程兩根為，若要滿足題意，則，解得，故答案為：.例21．（2024·全國·高三專題練習）若方程有兩個不相等的實根，則可取的最大整數(shù)值是______.【答案】1【解析】方程化為，由，解得，所以最大整數(shù)值是.故答案為：1.例22．（2024·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍為________.【答案】【解析】，故，，，將看成方程的兩根，則，即，故，解得.故答案為：題型六：一元二次不等式恒成立問題【解題總結(jié)】恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略（1）弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式，一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．例23．（2024·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】原不等式可化為對恒成立．（1）當時，若不等式對恒成立，只需，解得；（2）當時，若該二次不等式恒成立，只需，解得，所以；綜上：.故答案為：例24．（2024·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是____________．【答案】【解析】由不等式對恒成立，可轉(zhuǎn)化為對恒成立，即，而，當時，有最大值，所以，故答案為：．例25．（2024·全國·高三專題練習）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】因為，所以由得，因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以只需小于等于的最大值，當時，，當時，，當且僅當時，等號成立，故的最大值為1，所以，即實數(shù)的取值范圍是.