第1講、集合（學(xué)生版）

[在此處鍵入]第1講集合知識梳理1、元素與集合（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號或說明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．4、集合的運算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．【解題方法總結(jié)】（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．必考題型全歸納題型一：集合的表示：列舉法、描述法例1．（2024·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（

）A．0 B．1 C．－1 D．例2．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）對于兩個非空實數(shù)集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個數(shù)為（

）例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）定義集合且.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（

）【解題總結(jié)】1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.2、描述法，注意代表元素.題型二：集合元素的三大特征例4．（2024·北京海淀·?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，若，則實數(shù)m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1例5．（2024·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2例6．（2024·北京東城·統(tǒng)考一模）已知集合，且，則a可以為（

）A．－2 B．－1 C． D．【解題方法總結(jié)】1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。2、研究兩個或者多個集合的關(guān)系時，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。題型三：元素與集合間的關(guān)系例7．（2024·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例8．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考二模）已知集合的元素只有一個，則實數(shù)a的值為（

）A． B．0 C．或0 D．無解例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則A中元素的個數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【解題方法總結(jié)】1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別．2、當(dāng)集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數(shù)，是還是．題型四：集合與集合之間的關(guān)系例10．（多選題）（2024·山東濰坊·統(tǒng)考一模）若非空集合滿足：，則（

）A． B．C． D．例11．（2024·江蘇·統(tǒng)考一模）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．例12．（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例13．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：（1）定義法進(jìn)行判斷（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷題型五：集合的交、并、補運算例14．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．例15．（2024·河北張家口·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．例16．（2024·廣東·統(tǒng)考一模）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（

）A． B．C． D．例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為________.【解題方法總結(jié)】1、注意交集與并集之間的關(guān)系2、全集和補集是不可分離的兩個概念題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B． C． D．例19．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合A，B滿足，若，且，表示兩個不同的“AB互襯對”，則滿足題意的“AB互襯對”個數(shù)為（

）A．9 B．4 C．27 D．8例20．（2024·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個數(shù)最多為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【解題方法總結(jié)】利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法題型七：集合的創(chuàng)新定義例21．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數(shù)列，則（

）A．55 B．76 C．110 D．113例22．（多選題）（2024·河南安陽·安陽一中?？寄M預(yù)測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項中，可能成立的是（

）A．是一個戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素例23．（2024·湖北·統(tǒng)考二模）已知X為包含v個元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱組成一個v階的Steiner三元系．若為一個7階的Stein