高一數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷(人教A版2019必修第二冊(cè))第八章立體幾何初步【單元測(cè)試A卷】(原卷版+解析)

第八章立體幾何初步單元檢測(cè)A卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，在三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（

）A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體2．如果直線平面，直線平面，且，則a與b（

）A．共面 B．平行C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線3．設(shè)是空間中的兩條直線，是空間中的兩個(gè)平面，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則與相交C．若，則D．若，則與沒有公共點(diǎn)4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長(zhǎng)的比滿足黃金比例，即比值約為，則它的側(cè)棱與底面所成角的正切直約為（

）A． B． C． D．5．以下四個(gè)圖中，表示直線與平行的是（

）A．B．C．D．6．祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家．祖暅原理用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．例如可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R，高為R的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等．若用垂直于半徑的平面去截半徑為R的半球，且球心到平面的距離為，則平面所截得的較小部分（陰影所示稱之為“球冠）的幾何體的體積是（

）A． B． C． D．7．在正四棱錐P-ABCD中，，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線AP與DE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．如圖，是底面為正六邊形的直棱柱，則下列直線與直線不垂直的是（

）A．AE B． C． D．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得09．圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（

）A． B．C． D．10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等11．《蝶戀花·春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看做一個(gè)平面，墻外的道路?秋千繩?秋千板簡(jiǎn)單看做是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時(shí)，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中（

）A．秋千繩與墻面始終平行 B．秋千繩與道路始終垂直C．秋千板與墻面始終垂直 D．秋千板與道路始終垂直12．（多選）下列選項(xiàng)中，正確是（）A．如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)任取兩條直線，兩直線平行B．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面平行C．如果一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行D．如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．把一個(gè)母線長(zhǎng)為10cm的圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面積的比為1∶4，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是______cm．14．如圖，若斜邊長(zhǎng)為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為________．15．在空間中，三個(gè)平面最多能把空間分成______部分．16．下面四個(gè)正方體中，點(diǎn)A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形序號(hào)是______．（寫出所有符合條件的序號(hào)）四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．如圖所示，已知M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形是平行四邊形；(2)平面．18．如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證：平面．19．如圖，平面，四邊形為矩形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動(dòng).(1)求三棱錐的體積；(2)證明：.20．如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)設(shè)為上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)到平面的距離．21．如圖，在正方體中，(1)求異面直線與所成的角的大??；(2)求二面角的大小.22．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，垂直于平面，，，，點(diǎn)、分別在線段、上，其中是中點(diǎn)，，連接．(1)當(dāng)時(shí)，證明：直線平行于平面；(2)當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積．第八章立體幾何初步單元檢測(cè)A卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，在三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（

）A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體【答案】B【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論．【詳解】三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點(diǎn)，四邊形為底面的四棱錐．故選：B．2．如果直線平面，直線平面，且，則a與b（

）A．共面 B．平行C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線【答案】D【分析】根據(jù)線面和面面的位置關(guān)系直接得出結(jié)論.【詳解】，說明a與b無公共點(diǎn)，與b可能平行也可能是異面直線．故選：D．3．設(shè)是空間中的兩條直線，是空間中的兩個(gè)平面，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則與相交C．若，則D．若，則與沒有公共點(diǎn)【答案】D【分析】ABC可舉出反例，D選項(xiàng)可利用反證法得到證明.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，或與異面，如圖1，滿足，但與不平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，則與平行或相交，如圖2，滿足，但與平行，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則，或與異面，如圖3，滿足，但不滿足，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)的分析可知：若，則，或與異面，即與沒有公共點(diǎn)，假設(shè)與有公共點(diǎn)，設(shè)公共點(diǎn)為，則，則，但，故矛盾，假設(shè)不成立，即與沒有公共點(diǎn)，D正確.故選：D4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長(zhǎng)的比滿足黃金比例，即比值約為，則它的側(cè)棱與底面所成角的正切直約為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出示意圖，然后找出側(cè)棱與底面所成角，計(jì)算其正切值即可.【詳解】畫出如圖所示示意圖，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則塔高所以側(cè)棱與底面的角的正切值為故選：A5．以下四個(gè)圖中，表示直線與平行的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系的定義結(jié)合圖形一一判斷求解.【詳解】對(duì)A，如圖，若直線與平行，則共面，與圖示矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)圖示，直線與異面，B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)三角形的相似關(guān)系可得直線與平行，C正確；對(duì)D，如圖，若直線與平行，則共面，與圖示矛盾，故D錯(cuò)誤；故選:C.6．祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家．祖暅原理用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．例如可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R，高為R的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等．若用垂直于半徑的平面去截半徑為R的半球，且球心到平面的距離為，則平面所截得的較小部分（陰影所示稱之為“球冠）的幾何體的體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得所求球冠的體積等于圓柱體積的一半減去圓臺(tái)的體積，計(jì)算求解即可.【詳解】∵，，，∴，∴．故選：A.7．在正四棱錐P-ABCD中，，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線AP與DE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線線平行可得異面直線的夾角，利用三角形的邊長(zhǎng)即可求解余弦值.【詳解】如圖，連接AC，BD相交于O，連接OE，則O為AC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，所以，所以∠DEO為異面直線AP與DE所成的角或其補(bǔ)角．又為等比三角形，且邊長(zhǎng)為2，故又，所以，所以∠EOD=，所以，故選:C8．如圖，是底面為正六邊形的直棱柱，則下列直線與直線不垂直的是（

）A．AE B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】如圖，連接，則，因?yàn)?，且，所以平面，且平面平面，所以，所以，又，所?若，則，且，則平面，顯然不成立，所以不垂直于.故選：D選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得09．圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由已知中圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，高為2cm的和圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，高為4cm，兩種情況分別由體積公式即可求解.【詳解】側(cè)面展開圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，若圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，則底面半徑，，此時(shí)圓柱的體積若圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，則底面半徑，，此時(shí)圓柱的體積故選：BD10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等【答案】BC【分析】(1)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算確定直線與直線的位置關(guān)系；(2)根據(jù)面面平行來證明線面平行；(3)先根據(jù)四點(diǎn)共面確定截面，進(jìn)而算截面面積；(4)利用等體積法思想證明求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.從而，，從而，所以直線與直線不垂直，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，取的中點(diǎn)為，連接，，則易知，又平面，平面，故平面，又，平面，平面，所以平面，又，，平面，故平面平面，又平面，從而平面，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，連接，，如圖所示，∵正方體中，∴，，，四點(diǎn)共面，∴四邊形為平面截正方體所得的截面四邊形，且截面四邊形為梯形，又由勾股定理可得，，，∴梯形為等腰梯形，高為，∴，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于，，而，，∴，即，點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的2倍，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:BC.11．《蝶戀花·春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看做一個(gè)平面，墻外的道路?秋千繩?秋千板簡(jiǎn)單看做是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時(shí)，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中（

）A．秋千繩與墻面始終平行 B．秋千繩與道路始終垂直C．秋千板與墻面始終垂直 D．秋千板與道路始終垂直【答案】ACD【分析】根據(jù)圖中秋千繩，墻面，道路的位置關(guān)系以及相關(guān)的線面，線線垂直的判定定理、性質(zhì)定理等即可判斷．【詳解】顯然，在蕩秋千的過程中，秋千繩與墻面始終平行，但與道路所成的角在變化.而秋千板始終與墻面垂直，故也與道路始終垂直．故選：ACD.12．（多選）下列選項(xiàng)中，正確是（）A．如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)任取兩條直線，兩直線平行B．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面平行C．如果一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行D．如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行【答案】BC【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面，故A不正確；對(duì)于B，如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面平行，故B正確；對(duì)于C，如果一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行，故C正確；對(duì)于D，如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行或者相交，故D不正確.故選：BC.填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．把一個(gè)母線長(zhǎng)為10cm的圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面積的比為1∶4，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是______cm．【答案】5【分析】根據(jù)圓臺(tái)的上、下底面積的比可得半徑比，利用比例可得答案.【詳解】作出圓錐的軸截面如圖，因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面積的比為1∶4，所以上、下底面圓的半徑之比為1∶2，所以；利用平行線截線段成比例，則，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為10cm，即，所以，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是.故答案為：5.14．如圖，若斜邊長(zhǎng)為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為________．【答案】【分析】還原原圖，計(jì)算面積即可.【詳解】在斜二測(cè)直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，．還原原圖形如圖：則，則，故答案為：.15．在空間中，三個(gè)平面最多能把空間分成______部分．【答案】8【分析】根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系，結(jié)合題意，從而可得到結(jié)果．【詳解】三個(gè)平面兩兩平行時(shí)，可以把空間分成4部分，如圖1；三個(gè)平面中恰有兩個(gè)平面平行時(shí)，可把空間分成6部分，如圖2；三個(gè)平面兩兩相交于一條直線時(shí)，可以把空間分成6部分，如圖3；三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，且三條直線互相平行時(shí)，可以把空間分成7部分，如圖4；三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，可以把空間分成8部分，如圖5，所以空間中的三個(gè)平面最多能把空間分成8部分．故答案為：8．16．下面四個(gè)正方體中，點(diǎn)A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形序號(hào)是______．（寫出所有符合條件的序號(hào)）【答案】①②【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)定理即可得到答案.【詳解】對(duì)于①，如圖1.因?yàn)辄c(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，所以，.又，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?同理可得平面.因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面平?又平面，所以平面，故①正確；對(duì)于②，如圖2，連結(jié).因?yàn)辄c(diǎn)M、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，所以.又，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故②正確；對(duì)于③，如圖3，連結(jié)、、.因?yàn)辄c(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，所以，.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?同理可得平面.因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面平?顯然平面，平面，所以平面，且與平面不平行，所以與平面不平行，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：如圖4，連接，因?yàn)闉樗诶獾闹悬c(diǎn)，則，故平面即為平面，由正方體可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，顯然不正確，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②.四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．如圖所示，已知M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形是平行四邊形；(2)平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用中位線性質(zhì)及平行四邊形的判定即可證結(jié)論；（2）由中位線性質(zhì)得，再應(yīng)用線面平行的判定即可證結(jié)論.【詳解】（1）由M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形.（2）由M、N分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，所以，由（1）知面，且面，故面，即平面.18．如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證：平面．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】由平面，且底面為菱形，即可得到平面內(nèi)的兩條相交直線，則可證得平面.(2)由分別為中點(diǎn)，可得到，則問題即可得以證明.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榈酌媸橇庑?，則，，平面，所以平面.（2）連接，如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面.19．如圖，平面，四邊形為矩形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動(dòng).(1)求三棱錐的體積；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）等體積法解決即可；（2）線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理相結(jié)合解決即可.【詳解】（1）平面，四邊形為矩形，，.（2）證明：平面，，又，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，，又，，，平面，又平面，，