拋物線中的?？级?jí)結(jié)論與模型【7類題型】（老師版）

更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)拋物線中的?？级?jí)結(jié)論與模型近兩年新高考中拋物線較多出現(xiàn)在多選題，從備考出發(fā)需要加深對(duì)拋物線?？级?jí)結(jié)論和模型的研究，解題思路和解題步驟相對(duì)固定，在沖刺階段的教學(xué)過程中盡量淡化解題技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法，規(guī)范解題步驟，研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．近3年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新高考II卷，第10題拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)拋物線解析式，焦點(diǎn)坐標(biāo)拋物線與圓2022年新高考I卷，第11題直線與拋物線的位置關(guān)系判斷直線與拋物線是否相切，距離公式與弦長(zhǎng)公式2022年新高考II卷，第10題拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)綜合含參拋物線的運(yùn)算2021年新高考I卷，第14題已知斜率，求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)公式2020年新高考，第13題由垂直關(guān)系求拋物線的準(zhǔn)線方程利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系總覽總覽題型解讀【題型1】拋物線焦半徑角度型公式的應(yīng)用 7【題型2】聯(lián)立韋達(dá)化處理（選填常考） 14【題型3】阿基米德三角形模型（雙切線模型） 26【題型4】拋物線與圓 36【題型5】過焦點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線相交 42【題型6】中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法） 48【題型7】最值與范圍 53模塊一模塊一高考真題再現(xiàn)1．（2023·全國(guó)·高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡(jiǎn)得，解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因?yàn)?，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

2．（2022·全國(guó)·高考真題）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因?yàn)椋?，所以，而，故D正確.故選：BCD3．（2022·全國(guó)·高考真題）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；對(duì)于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.4．（2020·山東·高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來可以利用弦長(zhǎng)公式或者利用拋物線定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，又∵直線AB過焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得，解法一：解得

所以解法二：設(shè)，則,過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：5．（2021·全國(guó)·高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為.【答案】【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.【詳解】拋物線：()的焦點(diǎn),∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,不妨設(shè),因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因?yàn)?，所?，所以的準(zhǔn)線方程為故答案為：.模塊二模塊二高考模擬·新題速遞【題型1】拋物線焦半徑角度型公式的應(yīng)用如圖，過拋物線焦點(diǎn)F的直角與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線與x軸夾角為θ，本號(hào)資#料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感則較長(zhǎng)的焦半徑，較短的焦半徑，焦點(diǎn)弦，補(bǔ)充：

【證明】：別過，作x軸的垂線，垂直為H，M，易知AHTP，BMTQ為矩形在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；在△中，由拋物線定義可得：，則，解得2024·湖南衡陽·二模已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則．【答案】【分析】根據(jù)二級(jí)結(jié)論，先求得，再求即可.【詳解】作拋物線的準(zhǔn)線，記準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過作軸的垂線，垂足分別為，如下所示：

設(shè)，在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；由題可知：，，解得；則.2024·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】首先求直線的傾斜角和直線方程，再聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，即可求解.【詳解】如圖，過點(diǎn)作，由條件可知直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，由，，所以,即

（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是.【答案】【詳解】如下圖示：

【簡(jiǎn)析】由結(jié)論可知，故已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為.【答案】16【簡(jiǎn)析】設(shè)，則則，而，乘“1”即可（多選）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的傾斜角為的直線與相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，的面積是，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和焦半徑公式求出弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合的面積求解，從而利用焦半徑公式求解，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)過焦點(diǎn)的直線方程為設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程得消元得，由韋達(dá)定理可得，，所以，又點(diǎn)到直線的距離是，所以，得，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；由知，解得，所以，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD.2024屆·遼寧大連統(tǒng)考（多選）拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的下方），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則中點(diǎn)到軸的距離為4B．弦的中點(diǎn)的軌跡為拋物線C．若，則直線的斜率D．的最小值等于9【答案】BCD【分析】根據(jù)焦半徑公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷A，設(shè)直線方程為并聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，利用中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，消去可得軌跡判斷B，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式斜率公式求解判斷C，由題可得，然后根據(jù)基本不等式求解判斷D.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，對(duì)于A，依題意，，解得，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，該點(diǎn)到軸的距離為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線：，由消去x得，，則，，，設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，消去可得，因此弦中點(diǎn)的軌跡為拋物線，B正確；本號(hào)資料全部來源于微信公#眾號(hào)#：數(shù)學(xué)第六感對(duì)于C，顯然，由，得，，由選項(xiàng)B知，有，又，則，，因此直線的斜率，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，D正確.本號(hào)資料*全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感故選：BCD(多選)如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點(diǎn)，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點(diǎn)，則（）A. B.四邊形的面積為100C. D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷A，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進(jìn)而判斷B，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷C，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷D.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于，由題可知，所以，，故A正確；如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故B錯(cuò)誤；連接，因?yàn)?，所以，所以，故，故C正確；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為，當(dāng)與重合，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，因?yàn)椋本€，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，本號(hào)資料全部來*源于微信公眾*號(hào)：數(shù)學(xué)第六感則，，所以；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，；綜上，，故D正確.【題型2】聯(lián)立韋達(dá)化處理（選填常考）一、已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)則,.二、過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式*本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感①拋物線的焦點(diǎn)為F，是過的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，則有.②一般地，如果直線恒過定點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，那么.③若恒過定點(diǎn).④以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.⑤若的中點(diǎn)為，則(梯形中位線)⑥為定值.三、一般弦長(zhǎng)設(shè)為拋物線的弦，，，（為直線的斜率，且）.（多選）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則的最大值為8B．若AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的傾斜角為C．設(shè)，則的最小值為D．若，則直線AB過定點(diǎn)【答案】ABD【分析】對(duì)于A：利用A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的位置與的關(guān)系及拋物線的定義求的最大值；對(duì)于B：利用點(diǎn)A，B在拋物線上及直線的斜率公式，將斜率轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)間的關(guān)系；對(duì)于C：利用點(diǎn)A在拋物線上及兩點(diǎn)間的距離公式，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A縱坐標(biāo)的代數(shù)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求的最小值；對(duì)于D：設(shè)直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)A，B縱坐標(biāo)的一元二次方程，結(jié)合及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解直線AB方程中的參數(shù)，確定直線AB所過的定點(diǎn)【詳解】設(shè)．對(duì)于選項(xiàng)A：若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為8，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，則，由題意可知直線AB的斜率存在，則，所以直線AB的傾斜角為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線，得，則，可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，解得，滿足，則直線AB的方程為，所以直線AB過定點(diǎn)，故D正確．2024·江蘇南通·二模設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A，過A的直線與C在第一象限的交點(diǎn)為M，N，且，則直線MN的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，通過根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的焦半徑公式，建立方程，即可求解，【詳解】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，到準(zhǔn)線距離為，到準(zhǔn)線距離為，法一：設(shè)線+韋達(dá)化處理（通法）則有，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，則，得，故，設(shè)，，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.法二：設(shè)點(diǎn)+相似比（計(jì)算?。?，設(shè),，由相似可知，代入消元得，，解得，則，而A,N,M三點(diǎn)共線，故法三：利用對(duì)稱性+焦比公式如圖，延長(zhǎng)MF，NF分別交拋物線于P，Q，則MFP三點(diǎn)共線，且NF=PF故，再結(jié)合,故∠MFH=60°補(bǔ)充證明設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A，過A的直線與C在第一象限的交點(diǎn)為M，N，延長(zhǎng)MF與拋物線交于點(diǎn)P，則P，N關(guān)于x軸對(duì)稱

證明：設(shè)，，,，故，即P，N關(guān)于x軸對(duì)稱【繼續(xù)提問】若P，N關(guān)于x軸對(duì)稱，那么M，F(xiàn)，P是否共線？解：設(shè)，， 而，故直線AM與直線PF交拋物線于同一點(diǎn)，所以P，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線2024·江蘇·一模在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn).記線段的中點(diǎn)為，若線段的中點(diǎn)在上，則的值為；的值為.【答案】25【分析】設(shè)，與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理得，，從而得到的坐標(biāo)，以及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求出的值，得到的值.【詳解】令，，，線段的中點(diǎn)為聯(lián)立，消可得，則，,所以，即，所以線段的中點(diǎn)，由于線段的中點(diǎn)在拋物線上，則，解得或（舍去），即，由于在拋物線中，，所以.2024·廣東湛江·一模（多選）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率為k，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．B．若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)F，則C．若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則D．若以線段AB為直徑的圓與x軸相切，則該圓必與拋物線C的準(zhǔn)線相切【答案】ABC【分析】聯(lián)立直線l與拋物線消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判斷A；利用韋達(dá)定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)可判斷B；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則解出，再用弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)可判斷C；由，可得無解可判斷D.【詳解】設(shè)，直線的方程為，，的中點(diǎn)為，由消去并整理得：，得，由題意，，所以，即，所以，則，故A正確；以線段為直徑的圓過點(diǎn)，所以，所以，又，所以，，解得滿足題意.由，得，所以B正確；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則，又，所以，解得：，所以，故C正確；若以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則，即，又，所以無解，所以D錯(cuò)誤.

（2024·黑龍江·二模）已知拋物線，經(jīng)過焦點(diǎn)斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則的值為.【答案】【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程后求出中垂線方程和，再求出后可求的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故.設(shè)，的中點(diǎn)為，則由可得，，又，所以，又，所以，故的中垂線的方程為：，令，則，故，所以.（多選）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于兩點(diǎn)（A在軸的上方，在軸的下方），過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)直線的斜率為1時(shí)， B．若，則直線的斜率為2C．存在直線使得 D．若，則直線的傾斜角為【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)一一計(jì)算即可.【詳解】易知，可設(shè)，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得，則，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，此時(shí)，由拋物線定義可知，故A正確；易知是直角三角形，若，則，又，所以為等邊三角形，即，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；由上可知 ，即，故C錯(cuò)誤；若，又知，所以，則，即直線的傾斜角為，故D正確.（多選）已知點(diǎn)是拋物線，直線經(jīng)過點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且為中點(diǎn)，則下面說法正確的是（

）本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六#感A． B．直線的斜率是C． D．設(shè)原點(diǎn)為，則的面積為【答案】AC【分析】由為中點(diǎn)和拋物線的定義可判斷選項(xiàng)A；將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷選項(xiàng)B；利用弦長(zhǎng)公式可判斷選項(xiàng)C和選項(xiàng)D.【詳解】

設(shè)，，，由向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，由向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，連接,，由題知，直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，聯(lián)立得，，，，對(duì)于A，為中點(diǎn)，∽，，，，，，故A正確；對(duì)于B，，，，，，，，，解得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.2024·福建·模擬預(yù)測(cè)（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)D，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)M在y軸上的射影為點(diǎn)N，，則（）A． B．∠ADB是銳角C．是銳角三角形 D．四邊形DFMN是菱形【答案】ABD【分析】設(shè)出點(diǎn)，，由題意分析可知三角形為正三角形，聯(lián)立方程組，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由拋物線，可知，，設(shè)點(diǎn)，，則，所以，而，所以，所以，所以三角形為正三角形，所以，又軸，所以，，則，所以，，，所以直線的方程為：，聯(lián)立方程，可得，所以，則，所以，所以，故A正確；，且，，所以四邊形DFMN是菱形，故D正確；由于以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，點(diǎn)在圓外，所以∠ADB是銳角，故B正確；，，，所以，，所以，所以為鈍角，所以是鈍角三角形，故C錯(cuò)誤.2024·湖南常德·三模（多選）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，下列說法正確的是（

）A．以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)B．C．若直線的斜率存在，則斜率為D．若，則【答案】ABC【分析】設(shè)，，，將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出，進(jìn)而得到，代入各選項(xiàng)求解即可.【詳解】由題意可知直線斜率不為，設(shè)，，，聯(lián)立得，則，，，，因?yàn)椋?，以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，A說法正確；，B說法正確；因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，若直線的斜率存在，則，直線的斜率，C說法正確；若，則，由拋物線的定義可得，D說法錯(cuò)誤（多選）已知拋物線：的的焦點(diǎn)為，、是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若直線過點(diǎn)，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BD【分析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)知A錯(cuò)誤；直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知B正確；根據(jù)過焦點(diǎn)可知最小值為通徑長(zhǎng)，知C錯(cuò)誤；利用拋物線焦半徑公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，知D正確.【詳解】拋物線，即，對(duì)于A，由拋物線方程知其焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六#感對(duì)于B，依題意，直線斜率存在，設(shè)其方程為，由，消去整理得，則，，，故B正確；對(duì)于C，若，則直線過焦點(diǎn)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以到軸的距離為，故D正確.已知拋物線.其焦點(diǎn)為F，若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為．【答案】32【詳解】

依題意知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,得，消去,整理得,設(shè)其兩根為,則.由拋物線的定義可知，,同理可得,四邊形的面積.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)所求四邊形面積的最小值為32.【題型3】阿基米德三角形模型（雙切線模型）一、阿基米德焦點(diǎn)三角形性質(zhì)（弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)）性質(zhì)1：MF⊥AB性質(zhì)2：MA⊥MB性質(zhì)3：MN∥x軸性質(zhì)4：S△ABM最小值為p2對(duì)于點(diǎn)A，B:①拋物線焦點(diǎn)弦與拋物線的交點(diǎn)②由準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)M③過焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)所作的切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)④過焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)所作兩條切線的交點(diǎn)滿足以上①③或①④或②③或②④的三個(gè)點(diǎn)所組成的三角形即為“底邊過焦點(diǎn)的阿基米德三角形”二、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)）【性質(zhì)1】阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對(duì)稱軸．【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點(diǎn)拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡為直線記，，，M為弦AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則，則，下略【性質(zhì)3】若P點(diǎn)軌跡為直線，且該直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，則定點(diǎn).設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，半代入得出切點(diǎn)弦AB的直線方程，進(jìn)而得出定點(diǎn)C的坐標(biāo)【性質(zhì)4】阿基米德三角形的面積的最大值為.本號(hào)#資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【性質(zhì)5】，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,過F的直線交C于A,B兩點(diǎn),分別以A,B為切點(diǎn)作C的切線，，若與交于點(diǎn)P，且滿足，則|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【簡(jiǎn)析】因?yàn)橄褹B過焦點(diǎn)，故點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，勾股求出P點(diǎn)到x軸距離，進(jìn)而可知∠PFO=30°，又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦點(diǎn)弦公式可得.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與交于A，B兩點(diǎn)，C在A處的切線與C的準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，連接BP．若|PF|＝3，則的最小值為_____【答案】【簡(jiǎn)析】如圖，則有PF⊥AB，PA⊥PB，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，在第一象限，過分別作拋物線的切線，且相交于點(diǎn)，若交軸于點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上 B．C． D．若，則的值為【答案】ACD【詳解】由題意知，故l：，與拋物線聯(lián)立，可得，則，設(shè)，，則．對(duì)于A，由拋物線可得，所以直線的斜率，則直線的方程為，同理可得直線的方程為，聯(lián)立解得．又，故點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上，故A正確；對(duì)于B，，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線l的方程為，則，直線的方程為，可得所以，故則FQ⊥BQ，故C正確；對(duì)于D，由，直線l的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，解得，則，則，得，故D正確．2024屆嘉興市統(tǒng)考已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．若，則直線的斜率．本*號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)*學(xué)第六感【答案】2【簡(jiǎn)析】因?yàn)锳M=BM=PM，所以∠APB=90°，故P在準(zhǔn)線上，且PM⊥準(zhǔn)線，PF⊥⊥AB故（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）（多選）拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn).若弦過點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則點(diǎn)處的切線方程為C．存在點(diǎn)，使得D．面積的最小值為4【答案】ABD【分析】聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定A正確；求得，得到切點(diǎn)坐標(biāo)，得出切線方程，進(jìn)而可判定B正確；由直線的斜率為，直線的斜率為，得到，可判定C錯(cuò)誤；由過點(diǎn)的切線方程為，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，得到，可D正確.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，再設(shè)，則，所以A正確；對(duì)于B中，由拋物線.可得，則，則過點(diǎn)的切線斜率為，且，即，則切線方程為：，即，若時(shí)，則過點(diǎn)的切線方程為：，所以B正確；對(duì)于C中，由選項(xiàng)可得：直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)?，所以，即，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由選項(xiàng)B可知，過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立直線的方程可得，所以，，，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為，所以D正確.（多選）已知拋物線：，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，直線的斜率為2 D．面積的最小值為4【答案】ABD【詳解】對(duì)A，易知準(zhǔn)線方程為，∴，：，故選項(xiàng)A正確.對(duì)B，設(shè)直線，代入，得，當(dāng)直線與相切時(shí)，有，即，設(shè)，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.故選項(xiàng)B正確.對(duì)C，設(shè)，，其中，.則：，即.代入點(diǎn)，得，同理可得，故：，故.

故選項(xiàng)C不正確.對(duì)D，同C，切線方程：；：，代入點(diǎn)有，，故直線的方程為，即，聯(lián)立有，則，故，又到的距離，故，故當(dāng)時(shí)的面積小值為，故D正確（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線與交于、兩點(diǎn)，且，，若過點(diǎn)、分別作的兩條切線交于點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．以為直徑的圓過點(diǎn)【答案】ACD【簡(jiǎn)證】第一步：由性質(zhì)一可得AR∥y軸，故A點(diǎn)橫坐標(biāo)為4第二步：由性質(zhì)2可得:點(diǎn)所在直線為，故A正確，故B錯(cuò)；而A點(diǎn)在準(zhǔn)線上，可得C對(duì)，D對(duì)附：【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點(diǎn)拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡為直線.若焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，則軌跡方程為【詳解】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，拋物線的方程為，設(shè)、，由可知為的中點(diǎn)，所以，且，，由可得，所以，直線的斜率為，則直線的方程為，可得，聯(lián)立可得，所以，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，切線的方程為，即，同理可知，切線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，易知拋物線的焦點(diǎn)為，所以，，A對(duì)；因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，，B錯(cuò)；因?yàn)?，，所以，，所以，故C正確；因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，，因此，以為直徑的圓過點(diǎn)，故D正確. （多選）已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，則（

）A．拋物線的方程是 B．C．當(dāng)時(shí)， D．【答案】ABD【分析】求出的值，可得出拋物線的方程，可判斷A選項(xiàng)；設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，再結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出直線、的斜率之和，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則，可得，所以拋物線的方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，所以直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，則，所以，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，則，因?yàn)?，可得，則，則，此時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，同理可得，所以，所以，D對(duì).2024屆·廣東省四校第一次聯(lián)考過向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為,又點(diǎn)在直線上的射影為，則焦點(diǎn)與連線的斜率取值范圍是.【答案】.【簡(jiǎn)證】半代入得切點(diǎn)弦QR方程為，故QR過定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓點(diǎn)與圓相切時(shí)斜率取到最值【常規(guī)法詳解】設(shè)，不妨設(shè)，由，可得，可得，則，可得切線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，可得，同理可得：，所以直線的方程為，可得直線過定點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上的射影為，可得且，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，其方程為，當(dāng)與相切時(shí)，由拋物線，可得，設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線的斜率為，可得切線方程為，則，解得或，所以實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為：.

（多選）已知拋物線，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點(diǎn)【答案】BD【分析】根據(jù)為準(zhǔn)線上的點(diǎn)列方程，解方程即可得到可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到過點(diǎn)，的切線斜率，可得到，為方程的解，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和韋達(dá)定理得到，即可判斷B；利用韋達(dá)定理和斜率公式求即可判斷C；聯(lián)立和得到，同理可得，即可得到直線的方程為，可判斷D.【詳解】因?yàn)闉闇?zhǔn)線上的點(diǎn)，所以，解得，故A錯(cuò)；根據(jù)拋物線方程得到，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，整理得，同理得，所以，為方程的解，，所以，則，故B正確；由B選項(xiàng)得，所以，故C錯(cuò)；由B選項(xiàng)得，又，聯(lián)立得，同理得，所以直線AB的方程為，恒過點(diǎn)，故D正確．

【題型4】拋物線與圓設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．②以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，直線與拋物線交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說法中正確的是（

）A．B．準(zhǔn)線方程為C．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切本號(hào)資料*全部來源于微信*公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感D．直線的斜率之積為定值【答案】ACD【分析】由直線過定點(diǎn)，得到，可判定A正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可得判定B錯(cuò)誤；過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，根據(jù)拋物線的定義得到，可判定C正確；聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，求得，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由直線，可化為，可得直線過定點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線上，可得，則，所以A正確；對(duì)于B中，由拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，的中點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，所以D正確.故選：ACD.

（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長(zhǎng)度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切【答案】ACD【分析】由弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得選項(xiàng)A、B；C、D選項(xiàng)，可以利用圓的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑判定直線與圓相切.【詳解】

由題，焦點(diǎn)，設(shè)直線,聯(lián)立，，，同理可得，，，故A選項(xiàng)正確；，故弦AB的長(zhǎng)度最小值為4，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；記中點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線的性質(zhì)，，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C選項(xiàng)正確；，記中點(diǎn)，則點(diǎn)N到拋物線的準(zhǔn)線的距離，故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D選項(xiàng)正確.（多選）已知是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．直線過焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切B．直線過焦點(diǎn)時(shí)，的最小值為6本號(hào)資料全部來#源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)#第六感C．若坐標(biāo)原點(diǎn)為，且，則直線過定點(diǎn)D．與拋物線分別相切于兩點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)，若直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上【答案】ABD【分析】對(duì)于A：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對(duì)于B：設(shè)方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；對(duì)于C：設(shè)方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程，根據(jù)垂直關(guān)系可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；對(duì)于D：可知拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，根據(jù)切線方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合選項(xiàng)B分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：如圖1，設(shè)中點(diǎn)為，分別過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，

則由拋物線的定義可得，，.因?yàn)橹悬c(diǎn)為，所以有，所以以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由拋物線，可得，由題意可知直線斜率不為，設(shè)方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則恒成立?？傻?，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值6，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：先證拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立方程，消去x得，可知方程組只有一個(gè)解，即直線與拋物線相切，可知拋物線在點(diǎn)處的切線方程分別為，，聯(lián)立方程，解得，即點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)B可得：，所以點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知直線斜率不為，設(shè)方程為，設(shè)，，，則，，若，則，解得或（舍去），聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則，解得，此時(shí)，符合題意，所以，則直線過定點(diǎn)，故C錯(cuò)（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）點(diǎn)在拋物線上，為其焦點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為.B．周長(zhǎng)的最小值為.C．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為.D．過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，的橫坐標(biāo)是1.【答案】BD【分析】A選項(xiàng)：通過拋物線方程計(jì)算可得；B選項(xiàng)：運(yùn)用拋物線定義，將轉(zhuǎn)換為到準(zhǔn)線的距離即可求出周長(zhǎng)最小值；C選項(xiàng)：將最大問題，轉(zhuǎn)換為的最大值問題，再討論；D選項(xiàng)：結(jié)合A選項(xiàng)得到的結(jié)論，判斷四邊形的面積最小時(shí)點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)或，所以，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，如圖1，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足記為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，此時(shí)，又，所以周長(zhǎng)的最小值為，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖2，當(dāng)與圓相切時(shí)，且時(shí)，取最大．連接，，由于，，，所以，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖3，連接，，由A選項(xiàng)知，，且當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)四邊形的面積最小，的橫坐標(biāo)是1，所以D選項(xiàng)正確，故選：BD．

【題型5】過焦點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線相交一、結(jié)合銳角三角函數(shù)與相似二、利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），，則（

）本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)#：數(shù)學(xué)第六感A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意畫出圖形，通過做輔助線，結(jié)合特殊角解直角三角形以及拋物線的定義即可求解.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，分別過點(diǎn)作，垂足分別為，設(shè)交軸于點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).由題知的傾斜角為，所以，從而，則，又.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F作斜率為的直線分別交拋物線C和準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，Q，若點(diǎn)P在第一象限，則.【答案】4【分析】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，設(shè)，則.由直線PQ斜率為，則直線PQ傾斜角為，有，又由三角形的性質(zhì)可得，，即，所以，，即.

（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若，則實(shí)數(shù).【答案】【分析】由題設(shè)共線，作，垂足分別為，結(jié)合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)知：共線，且，如下圖，作，垂足分別為，則，所以，又，則，所以，即，故.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，則此拋物線方程為．【答案】【分析】作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，設(shè)，由拋物線定義得，結(jié)合求得，進(jìn)而求出，即可求得拋物線方程.【詳解】如圖，作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，設(shè)，由拋物線定義得，，故，本號(hào)資料全*部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感在直角三角形中，因?yàn)?，，所以，從而得，本?hào)資料全部*來源于微*信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)D，若且，則.【答案】3【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知，，設(shè)，因?yàn)?，所以，?設(shè)，所以，所以已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，若，則【答案】4【分析】先求出準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義把焦半徑轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，在直角梯形中由平行線得比例線段，從而可得，即，從而可得．【詳解】易知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖，作于，于，，可知線段BM平行于AF和DN，因?yàn)椋?，，所以，又由定義知，所以.

已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則．【答案】4【分析】做準(zhǔn)線于點(diǎn)，軸于點(diǎn)可得，，再由拋物線定義可得答案.【詳解】如圖，做準(zhǔn)線于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?

（2023·廣東茂名·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若.則的面積是.【答案】【分析】依題意作出圖形，利用拋物線的定義結(jié)合圖形依次求得與，從而求得直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用拋物線焦半徑公式與點(diǎn)線距離公式求得與，從而得解.【詳解】過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，如圖，

則，在中，，所以，所以，故在中，，所以，則.又軸，，所以，又拋物線，則，所以，（不聯(lián)立亦可）本號(hào)*資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)*學(xué)第六感所以拋物線，點(diǎn).因?yàn)?，所以直線的斜率，則直線，本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第#六感與拋物線方程聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)得，易得，設(shè)點(diǎn)，則，則，又直線，可化為，則點(diǎn)到直線的距離，所以.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的反射），過拋物線上一點(diǎn)作其切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，射線交于點(diǎn)，若．則，．

【答案】【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知平分，又，所以，所以，由得，設(shè)準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，且，且，所以，所以．【題型6】中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）設(shè)直線與拋物線相交所得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則證明：設(shè),,代入拋物線方程得，，將兩式相減，可得，整理可得已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出，的坐標(biāo)，代入拋物線方程，利用作差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)，，由題意，因?yàn)椋趻佄锞€上，所以，，兩式相減得，，整理得，，即直線的斜率，直線的中點(diǎn)為，，，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：.

已知拋物線的一條弦恰好以點(diǎn)為中點(diǎn)，弦的長(zhǎng)為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)，，得到，，結(jié)合“點(diǎn)差法”求得，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式，列出方程，求得，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程．【詳解】設(shè)，，弦所在直線方程為，則，，也點(diǎn)A，B在拋物線上，可得，兩式相減可得，所以，即，所以弦所在直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，，所以，所以，即，可得，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B．已知拋物線的焦點(diǎn)為，第一象限的、兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足，.若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.【答案】【分析】先根據(jù)焦半徑公式得到的關(guān)系，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解出，結(jié)合兩點(diǎn)間斜率公式以及點(diǎn)在拋物線上求解出的值，則拋物線方程可求.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槎荚诘谝幌笙?，所以，又因?yàn)榍?，所以，所以，所以拋物線方程為直線與拋物線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】設(shè)，得到，求得，再由，兩式相減，得到，得出方程，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，可得，又由，兩式相減得到，可得，可得，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以.2024屆·長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高三下學(xué)期月考（七）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交E于點(diǎn)A，B，交E的準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，，點(diǎn)D為垂足．若F是AC的中點(diǎn)，且，則（

）A．4 B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題中的幾何關(guān)系分別求出拋物線與直線的方程，進(jìn)而聯(lián)立兩個(gè)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合可得出答案.【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M．由拋物線的定義知．因?yàn)镕是線段AC的中點(diǎn)，所以，所以，得，故拋物線E的方程為.由，得，（接下來也可以用焦點(diǎn)弦公式）所以直線AF的斜率，又，所以直線AF的方程為.聯(lián)立，消去y并整理，得，設(shè)，，則，所以.（多選）已知拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與軸交于點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．是定值C．是定值 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可判定A選項(xiàng)；根據(jù)A、B關(guān)于直線對(duì)稱及點(diǎn)在拋物線上可得，，，聯(lián)立化簡(jiǎn)可判定B、C選項(xiàng)；再利用AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)可得，結(jié)合直線方程可判定D選項(xiàng).【詳解】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即A正確；設(shè)A、B的中點(diǎn)為D，則，易得①，又②，且③，④，將③④代入②可得：，代入①可得，故B正確，C錯(cuò)誤；所以A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為：，令得：，而位于拋物線內(nèi)部，即，可得，則．即D正確.【題型7】最值與范圍一、圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．二、與拋物線焦半徑有關(guān)的最值問題的轉(zhuǎn)換方法(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決（2024·河北邯鄲·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．13 B．14 C．15 D．16本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：#數(shù)學(xué)第六感【答案】A【分析】過及作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線定義把周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用三點(diǎn)共線時(shí)距離和最小求解即可.【詳解】由題知，準(zhǔn)線方程為.如圖，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以的周長(zhǎng)，當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即周長(zhǎng)的最小值為13.（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，拋物