奔馳定理及三角“四心”向量式（5題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（學(xué)生版）

更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)奔馳定理及三角形“四心”向量式平面向量是高考的必考考點(diǎn)，它可以和函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、幾何等知識(shí)相結(jié)合考查。平面向量的“奔馳定理”，對(duì)于解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決與三角形面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用。常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等?！绢}型1三角形“重心”及應(yīng)用】滿分技巧常見(jiàn)重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)（1）（2）（3）若QUOTEAP=λAB+AC或，，則P一定經(jīng)過(guò)三角形的重心（4）若或QUOTEOP=OA+λABABsinB+ACACsinC【例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過(guò)的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式1-1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·高三校考階段練習(xí)）已知，，是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)是的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【變式1-3】（2023·安徽安慶·高三懷寧縣新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡一定通過(guò)三角形的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【變式1-4】（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若是的垂心，，則的值為（）A．B．C．D．【題型2三角形“內(nèi)心”及應(yīng)用】滿分技巧常見(jiàn)內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長(zhǎng)，（2）AP=λABAB+AC【例2】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）在中，，點(diǎn)D，E分別在線段，上，且D為中點(diǎn)，，若，則直線經(jīng)過(guò)的（）.A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【變式2-1】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面上的一點(diǎn)，的三邊為，若，則點(diǎn)是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式2-2】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式2-3】（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，且，若為的內(nèi)心，則．本號(hào)資料全部來(lái)源于#微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【變式2-4】（2022·遼寧沈陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知，是其內(nèi)心，內(nèi)角所對(duì)的邊分別，則（）A．B．C．D．【題型3三角形“外心”及應(yīng)用】滿分技巧常用外心向量式：O是?ABC的外心，（1）QUOTEOA=OB=OC?（2）OA（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OB+則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的外心.（4）若OA+OB?AB=OB【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)?？计谥校┰谥?，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式3-1】（2023·廣東佛山·佛山一中?？家荒＃┰谥校O(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的（）A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心【變式3-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在中，滿足，，則點(diǎn)O為該三角形的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【變式3-3】（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）中，為邊上的高且，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（）A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心【變式3-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是的內(nèi)心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點(diǎn)一定是的（）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【題型4三角形“垂心”及應(yīng)用】滿分技巧常見(jiàn)垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：（1）OA（2）OA（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足QUOTEOP=OA+λABABcosB+ACACcosC，λ∈（4）奔馳定理推論：S?BOC:S?COA:【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點(diǎn)是的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【變式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式4-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式4-3】（2023·上海·高三行知中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟w中，已知，若不是等邊三角形，且點(diǎn)在平面上的投影位于內(nèi)，則點(diǎn)是的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式4-4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)H是的垂心，且，則．本號(hào)資料#全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)*第六感【題型5奔馳定理及應(yīng)用】滿分技巧奔馳定理及其推論1、奔馳定理：O是內(nèi)的一點(diǎn)，且QUOTEx?OA+y?OB+z?OC=02、奔馳定理推論：QUOTEx?OA+y?OB+z?OC==1\*GB3①=2\*GB3②，，QUOTES?AOBS?ABC=zx+y+z.由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．3、對(duì)于三角形面積比例問(wèn)題，常規(guī)的作法一般是通過(guò)向量線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案?！纠?】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，若，設(shè)，則實(shí)數(shù)和的值分別為（）A．，B．，C．，D．，【變式5-1】（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式5-2】（2024·江西新余·高三統(tǒng)考期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則【變式5-3】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（）A．B．有可能是的重心C．若為的外心，則D．若為的內(nèi)心，則為直角三角形【變式5-4】（2024·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且.以下命題正確的有（）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，，，是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若，一定是的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心2．（2022·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿，，則點(diǎn)依次是的（）A．重心，外心B．內(nèi)心，外心C．重心，內(nèi)心D．垂心，外心本號(hào)#資料全#部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△中，，，，O為△的內(nèi)心，若，則（）A．B．C．D．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”是“點(diǎn)為重心”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（）A．內(nèi)心B．垂心C．重心D．邊的中點(diǎn)6．（2022·浙江·高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考期中）已知中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”為“點(diǎn)為重心”（）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（）A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心9．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角三角形ABC中，，，H為的垂心，，O為的外心，且，則（）A．9B．8C．7D．610．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（）A．重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心11．（2022·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若AB=4，AC=2，則下列各式不正確的是（）A．B．C．D．12．（2022·河北石家莊·石家莊二中校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（）A．B．C．D．13．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是的重心，則下列結(jié)論正確的是（）本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．B．C．D．14．（2022·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（）A．B．C．D．15．（2023·湖北荊州·高三公安縣車胤中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有（）A．若，則點(diǎn)O是的重心B．若，則點(diǎn)O是的內(nèi)心C．若，則點(diǎn)O是的外心D．若，則點(diǎn)O是的垂心16．（2023·江蘇南京·高三南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的重心D．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心17．（2023·遼寧·高三朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在所在的平面上存在一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過(guò)的外心B．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過(guò)的垂心C．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過(guò)的重心D．若，，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的外心18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）