指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（學(xué)生版）

更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)2-4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)近3年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新高考I卷，第6題,5分從近五年的高考情況來(lái)看，指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)基本點(diǎn)，常與冪函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問(wèn)題.在利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).（1）指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（2）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2024年北京卷，第7題,5分2023年新高考I卷第4題，5分本#號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感2023年乙卷第4題，5分2022年甲卷第12題，5分本號(hào)資料全部來(lái)源于微信*公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)第六感2020年新高考II卷第11題，5分模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】指數(shù)冪的運(yùn)算【題型2】指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【題型3】求指數(shù)函數(shù)的解析式【題型4】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【題型5】比較指數(shù)冪的大小【題型6】解指數(shù)方程或不等式【題型7】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性【題型8】指數(shù)型函數(shù)的值域問(wèn)題【題型9】指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【題型10】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問(wèn)題與恒成立綜合【題型11】指數(shù)函數(shù)的綜合性問(wèn)題【題型1】指數(shù)冪的運(yùn)算【方法技巧】（1）靈活運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，根式形式需要化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式去求解.（2）運(yùn)算的最終結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有負(fù)指數(shù)又有分母．指數(shù)與根式的概念1、n次方根的定義（1）定義：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)要為非負(fù)數(shù)2、根式（1）定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．（2）性質(zhì)：（，且）a；3、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（3）性質(zhì)：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義4、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的注意事項(xiàng)：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可理解為個(gè)相乘，它是根式的一種新的寫(xiě)法．在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已．（2）把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時(shí)，不要輕易對(duì)進(jìn)行約分．（3）在保證相應(yīng)的根式有意義的前提下，負(fù)數(shù)也存在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，如有意義，但就沒(méi)有意義．5、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪（，為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無(wú)限逼近的結(jié)果．（2）定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來(lái)的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．6、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．（1）；（2）已知，，求的值.【鞏固練習(xí)1】化簡(jiǎn)或求值：（1）；（2）；（3）；（4）（且）.【鞏固練習(xí)2】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.【鞏固練習(xí)3】計(jì)算(?64)13+A．?132 B．?112 C．【題型2】指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題指數(shù)函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)．已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【鞏固練習(xí)1】函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則等于.【鞏固練習(xí)2】（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線上，則的最小值是.【題型3】求指數(shù)函數(shù)的解析式圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)已知是指數(shù)函數(shù)，若，則___________.【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，求的解析式【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，的解析式是（）A．B．C．D．【題型4】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)伸縮、平移、對(duì)稱等變換得到，當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖像呈下降趨勢(shì).（2024·黑龍江·二模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線，但又不與該直線相交，則（

）A． B． C． D．函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則a，b，c，d的值分別是（）本號(hào)資#料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的圖像如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)的圖象如圖所示，且，則實(shí)數(shù)，的值可能為（

）A．，B．，C．，D．，【鞏固練習(xí)3】如圖，曲線①②③④分別是指數(shù)函數(shù)，，，的圖像，則實(shí)數(shù)a、b、c、d的大小關(guān)系滿足（）A．B．C．；D．．【題型5】比較指數(shù)冪的大小比較指數(shù)冪的大小常用方法有：（1）對(duì)于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷；（2）對(duì)于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來(lái)判斷；（3）對(duì)于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個(gè)冪，或者通過(guò)中間值來(lái)比較．若，則a?b?c的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=0.50.4，b=0.41.1，A．a(chǎn)<c<b B．c<a<b C．a(chǎn)<b<c D．b<a<c【鞏固練習(xí)1】（2024·云南·二模）若，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)3】已知，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【題型6】解指數(shù)方程或不等式簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法1、形如的不等式，可借助的單調(diào)性求解2、形如的不等式，可將化為以為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助的單調(diào)性求解3、形如的不等式，可借助兩函數(shù)，的圖象求解（2024·河北邯鄲·一模）不等式的解集為.【鞏固練習(xí)1】若x滿足不等式，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，那么不等式的解集為_(kāi)_________．【鞏固練習(xí)3】不等式的解集為．【題型7】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.解決步驟第一步：求函數(shù)的定義域．第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)．第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性．第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．（2024·遼寧·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若在上減函數(shù)，求的取值范圍．【鞏固練習(xí)3】（2023·重慶巴蜀中學(xué)高一?？迹┮阎瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型8】指數(shù)型函數(shù)的值域問(wèn)題解決步驟第一步：求函數(shù)的定義域，然后將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)函數(shù)．第二步：由自變量的范圍求內(nèi)層函數(shù)的值域．第三步：由內(nèi)層函數(shù)的值域求外層函數(shù)的值域．函數(shù)，的值域是()A．B．C．D．【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的值域是.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ瓵．B．C．D．【鞏固練習(xí)3】函數(shù)在上的值域?yàn)開(kāi)__________.【題型9】指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1、在自然科學(xué)中，指數(shù)函數(shù)常常用于描述增長(zhǎng)或衰減的過(guò)程，比如生物群落的增長(zhǎng)、放射性物質(zhì)的衰變等。2、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，指數(shù)函數(shù)也可以用來(lái)描述復(fù)利增長(zhǎng)，即資金按比例增長(zhǎng)的情況。指數(shù)函數(shù)在數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中都有重要的應(yīng)用，對(duì)于描述增長(zhǎng)和衰減過(guò)程有著很好的表現(xiàn)能力。心理學(xué)家有時(shí)用函數(shù)來(lái)測(cè)定人們?cè)跁r(shí)間內(nèi)能夠記憶的單詞量，其中表示記憶率.心理學(xué)家測(cè)定某學(xué)生在內(nèi)能夠記憶50個(gè)單詞，則該學(xué)生在從能記憶的單詞個(gè)數(shù)為（

）A．150 B．128 C．122 D．61（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來(lái)描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為．開(kāi)始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則滿足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】已知某種果蔬的有效保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系（，為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），若該果蔬在的保鮮時(shí)間為216小時(shí)，在的有效保鮮時(shí)間為8小時(shí)，那么在時(shí)，該果蔬的有效保鮮時(shí)間大約為小時(shí).【鞏固練習(xí)2】某種病毒的繁殖速度快、存活時(shí)間長(zhǎng)，a個(gè)這種病毒在t天后將繁殖到個(gè)．已知經(jīng)過(guò)4天后病毒的數(shù)量會(huì)達(dá)到原來(lái)的2倍．且再過(guò)m天后病毒的數(shù)量將達(dá)到原來(lái)的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【鞏固練習(xí)3】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是．要使物體的溫度變?yōu)椋€要經(jīng)過(guò)分鐘．【題型10】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問(wèn)題與恒成立綜合1、已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決．本號(hào)資料全部來(lái)源于*微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感2、指數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)要清楚復(fù)合的層次，外層是指數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是指數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問(wèn)題，則要按復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解．已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m，n的值.（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B． C． D．0已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍.【鞏固練習(xí)1】已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求，的值；(2)若存在，使成立，求的取值范圍．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值2和最大值10．(1)求，的值；(2)設(shè)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)，若，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【鞏固練習(xí)4】已知定義在上的函數(shù)，滿足不等式，則的取值范圍是