抽象函數(shù)的賦值計算與模型總結(jié)【15類題型】（學(xué)生版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的賦值計算與模型總結(jié)近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2023年新高考1卷，第11題賦值法判斷抽象函數(shù)的奇偶性，周期性（1）熟悉常見函數(shù)的抽象表達(dá)式（2）用賦值法判斷抽象函數(shù)性質(zhì)2022年新高考2卷，第8題模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】抽象函數(shù)的賦值計算求值#本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【題型2】抽象函數(shù)的奇偶性【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域【題型5】抽象函數(shù)的對稱性【題型6】抽象函數(shù)的周期性【題型7】一次函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型8】對數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型9】指數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型10】冪函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型11】正弦函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型12】余弦函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型13】正切函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型14】二次函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型15】其它函數(shù)的抽象表達(dá)式模塊二模塊二核心題型·舉一反三(講與練)【題型1】抽象函數(shù)的賦值計算求值賦值法是求解抽象函數(shù)問題最基本的方法，一般有以下幾種：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解2024·長沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練已知定義域為的函數(shù)，滿足，且，，則________.（2024·福建龍巖·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則________【鞏固練習(xí)1】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，則f(3)=，f(-3)=.【鞏固練習(xí)2】已知對所有的非負(fù)整數(shù)均有，若，則______．【鞏固練習(xí)3】（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B． C． D．【題型2】抽象函數(shù)的奇偶性證明奇偶性：利用定義和賦值的方法找到與的關(guān)系2024·福建莆田·二模已知定義在上的函數(shù)滿足：，證明：是奇函數(shù)2024·長沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練已知定義域為的函數(shù)，滿足，且，，證明：是偶函數(shù)【鞏固練習(xí)1】（多選）定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，則下列結(jié)論一定正確的有（

）A． B．C．為上的增函數(shù) D．為奇函數(shù)【鞏固練習(xí)2】（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)的定義域為，滿足，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【鞏固練習(xí)4】（2024屆韶關(guān)市一模）已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對于任意實數(shù)滿足，若，則（

）本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*感A． B． C． D．【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;本號資料全部來源于微信公*眾號：數(shù)學(xué)第六感（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時可能要進行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號時要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號時要變形為：或.函數(shù)的定義域為，對于，，，且當(dāng)時，，證明：為減函數(shù).已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù).對任意，總有，，且時，恒成立.（1）求（2）判斷的奇偶性并證明（3）證明在上單調(diào)遞減【答案】（1），（2）奇函數(shù);(3)在上單調(diào)遞減【詳解】（1）由對任意，總有，令，則，則，又由，可得，則，故選項A判斷正確；（2）令，則，則有，故，則是奇函數(shù)【鞏固練習(xí)1】（多選）定義在上的函數(shù)，對于任意的都有；且；當(dāng)時，；則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．的解集為【鞏固練習(xí)2】若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且當(dāng)x＞0時，f(x)＞1.(1)求證:y＝f(x)－1為奇函數(shù);(2)求證:f(x)是R上的增函數(shù);(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.【鞏固練習(xí)3】（2023·湖南師大附中校考）已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時，，③，則以下說法中正確的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域結(jié)合奇偶性與單調(diào)性來判斷最值或值域已知函數(shù)對任意的，總有，若時，，且，則當(dāng)時，的最大值為（）A．0B．C．1D．2【鞏固練習(xí)1】已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時，，③，則在上的最大值是________【鞏固練習(xí)2】已知連續(xù)函數(shù)對任意實數(shù)x恒有，當(dāng)時，，，則f(x)在[－3，3]上的最大值是________【題型5】抽象函數(shù)的對稱性抽象函數(shù)的對稱性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對稱，（2）關(guān)于中心對稱，2024·江蘇南通·二模（多選）已知函數(shù)，的定義域均為R，的圖象關(guān)于點(2，0)對稱，，，則（）A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù) C． D．【鞏固練習(xí)1】已知對任意實數(shù)x，y，函數(shù)滿足，則（

）A．有對稱中心 B．有對稱軸C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)【鞏固練習(xí)2】（2024·重慶八中校考）（多選）已知函數(shù)的定義域為R，且，當(dāng)時，，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．不等式的解集為D．【鞏固練習(xí)3】（多選）已知定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)都有，且，則以下結(jié)論一定正確的有（

）A． B．是偶函數(shù)C．關(guān)于中心對稱 D．【題型6】抽象函數(shù)的周期性抽象函數(shù)周期問題一般先求對稱性2024山東青島·統(tǒng)考三模設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對任意的整數(shù)均有．則______．函數(shù)的定義域為，且，，，則.（2024屆廈門一中?？迹┤舳x域為的奇函數(shù)滿足，且，則．【鞏固練習(xí)1】2024·山東青島·一模，，，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．－1【鞏固練習(xí)2】（2024·福建龍巖·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．的周期為3【鞏固練習(xí)3】（2024·福建廈門·一模）已知函數(shù)的定義域為，，，，若，則（

）A． B． C．2 D．4【鞏固練習(xí)4】函數(shù)的定義域為，對任意，恒有，若，則，．【鞏固練習(xí)5】深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題（多選）已知函數(shù)的定義域為，且，，為偶函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．【題型7】一次函數(shù)的抽象表達(dá)式一次函數(shù)的抽象表達(dá)式（1）

對于正比例函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為

.（2）

對于一次函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為

.（3）

對于一次函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為

.已知函數(shù)的定義域為，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時滿足下列三個條件的一個的解析式為.①，；②為奇函數(shù)；③在上單調(diào)遞減.（2023-2024學(xué)年重慶一中高一期中）（多選）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對任意均有；當(dāng)時，．則下列說法正確的是A． B．在定義域上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù) D．若，則不等式的解集為【鞏固練習(xí)1】(2024·安徽安慶·二模)（多選）已知定義在R上的函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時，，則（

）A． B．C．函數(shù)為減函數(shù) D．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱【鞏固練習(xí)2】(2024·山東泰安·一模)（多選）已知函數(shù)的定義域為R，且，若，則下列說法正確的是（

）A． B．有最大值C． D．函數(shù)是奇函數(shù)【題型8】對數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式對數(shù)函數(shù)的抽象表達(dá)式（重要）

對數(shù)函數(shù)

，其對應(yīng)的抽象函數(shù)為

或補充：對于對數(shù)函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是奇偶性證明：只需構(gòu)造即可已知函數(shù)f（x）滿足：①對，，；②．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)f（x）＝______．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（

）A．為奇函數(shù) B．若，則C．若，則 D．若，則【鞏固練習(xí)1】已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)的定義域是，對定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時，.(1)證明：當(dāng)時，；(2)判斷的單調(diào)性并加以證明；【題型9】指數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式對于指數(shù)函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為

或

.奇偶性證明：由得，判斷和1的大小關(guān)系已知函數(shù)的定義域為，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時滿足下列二個條件的一個的解析式為.①，；②在上單調(diào)遞減.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)直接得解.【詳解】由題意為指數(shù)型函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，（2023上·浙江·高一校聯(lián)考）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②當(dāng)時，；當(dāng)，時，，則（

）本號資料全部來#源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感A． B．在上單調(diào)遞增C．不等式的解集為 D．【鞏固練習(xí)1】如果且，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)滿足，，則的值為（

）本號資料全部來源于*微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感A．15 B．30 C．60 D．75【鞏固練習(xí)3】已知定義在R上的函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)x，y均有，且，當(dāng)且.(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；【題型10】冪函數(shù)的抽象表達(dá)式對于冪函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為或（2024·河北·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減B．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減D．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增【鞏固練習(xí)】已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B． C．是偶函數(shù) D．沒有極值點【題型11】正弦函數(shù)的抽象表達(dá)式三角函數(shù)注意系數(shù)的配湊，，，以下均以為例對于正弦函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對應(yīng)于正弦平方差公式：本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學(xué)#第六感2024·廣東江門·一模函數(shù)的定義域為，對任意的，，恒有成立.請寫出滿足上述條件的函數(shù)的一個解析式.【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，且，則下列說法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且，則下列說法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．【題型12】余弦函數(shù)的抽象表達(dá)式三角函數(shù)注意系數(shù)的配湊，，，以下均以為例（1）

對于余弦函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對應(yīng)于余弦和差化積公式：（2）

對于余弦函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是注：余弦積化和差公式：，2022新高考2卷T8用的就是這個模型本號資料全部來源于微信公#眾號：數(shù)學(xué)第六感2024·吉林白山·一模已知函數(shù)的定義域為，且，，請寫出滿足條件的一個（答案不唯一），．2024·重慶一中3月月考（多選）函數(shù)的定義域為R，且滿足，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于對稱【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)滿足：，則.【鞏固練習(xí)2】（2022新高考2卷T8）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【鞏固練習(xí)3】（2024·河北·模擬預(yù)測）（多選）已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，，，當(dāng)時，恒成立，則下列說法正確的是A． B．是偶函數(shù)C． D．的圖象關(guān)于對稱【題型13】正切函數(shù)的抽象表達(dá)式對于正切函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：已知函數(shù)滿足，，則（

）A． B．C．的定義域為R D．的周期為4【鞏固練習(xí)1】（2024·廣西賀州·一模）（多選）已知函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．為增函數(shù)C．若實數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為D．【鞏固練習(xí)2】定義在上的函數(shù)滿足：對任意的都有，且當(dāng)時，．（1）判斷在上的單調(diào)性并證明；（2）求實數(shù)t的取值集合，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立．【題型14】二次函數(shù)的抽象表達(dá)式二次函數(shù)

對于二次函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）對于每一對實數(shù)，，函數(shù)滿足函數(shù)方程，如果，那么滿足的的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)多個（2024·高三·河北保定·期末）已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．方程有解