4.2.1等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式（課件）高二數(shù)學(xué)課件（人教A版2019選擇性）

4.2等差數(shù)列4.2.1.1等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式1.數(shù)列的定義：按確定的順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.3.數(shù)列的遞推公式：復(fù)習(xí)回顧1.理解等差數(shù)列的概念；2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.掌握＂判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列＂常用的方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)5,3,1,-1,-3......1，1，1，1，1，1......思考:觀察下面的三個(gè)數(shù)列①②③這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢?0,5,10,15,20......

從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).考點(diǎn)1、等差數(shù)列的概念1.等差數(shù)列的定義:

公差常用字母d表示.

一般地，如果一數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;②這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的

,公差2.等差數(shù)列定義的符號(hào)語言:

（

其中d∈R）3.等差數(shù)列的再理解:

如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，注意:①等差數(shù)列要求從第2項(xiàng)起，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)作差,不能顛倒.②作差的結(jié)果要求是同一個(gè)常數(shù).可以是整數(shù)，也可以是０和負(fù)數(shù).已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，d是公差，則：當(dāng)d=0時(shí)，{an}為常數(shù)列；當(dāng)d>0時(shí)，{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}為遞減數(shù)列；是不是(1)1，3，5，7，…(2)9，6，3，0，-3…(3)-8x，-6x，-4x，-2x，0x，…(4)3，3，3，3，…

(5)15，12，10，8，6，…是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8x,d=2xa1=3,d=0例:判斷下列各組數(shù)列中哪些是等差數(shù)列，哪些不是？如果是，寫出首項(xiàng)a1和公差d,如果不是，說明理由.跟蹤訓(xùn)練:判斷題:(1)數(shù)列a，2a，3a，4a，…是等差數(shù)列;()(2)數(shù)列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差數(shù)列;()(3)若an－an+1=3(n∈N*)，則{an}是公差為3的等差數(shù)列;()(4)若a2－a1=a3－a2,則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列.(1)解：是等差數(shù)列證明：由已知得an+1-an=[4(n+1)-3]-(4n-3)=4（常數(shù)）所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列等差數(shù)列的判定方法：1.判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列(1)an=4n-3;(2)an=n2+n(2)解：不是等差數(shù)列證明：由已知得an+1-an=[(n+1)2+(n+1)]-(n2+n)=2n+2（變量）所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列數(shù)列{an}是等差數(shù)列拓展延伸

an+1-an=d（常數(shù)）

在如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后這三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：（1）2，（），4（2）-12，（），0

3-6由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)。2.

等差中項(xiàng)由等差數(shù)列的定義可知考點(diǎn)2、等差中項(xiàng)知識(shí)探究2:鞏固新知2容易看出，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；反之,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.（廣東高考）、已知三角形△ABC的三個(gè)角A、B、C成等差數(shù)列，且b=1,求三角形△ABC的外接圓面積

?？键c(diǎn)3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a2-a1=d……an-an-1=d(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=(n-1)d，（1）（2）（3）（n-1）an=a1+(n-1)d∴

an=a1+(n-1)d又∵當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立即

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式迭代法

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式公式運(yùn)用:1.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1是3,公差d是2，求它的通項(xiàng)公式.2.求等差數(shù)列8，5，2，…，的第20項(xiàng).等差數(shù)列思考:an=a1

+(n-1)dam=a1

+(m-1)dan-am

=(n-m)dd=an-am

/(n-m)

am=?an-am

=?an

=am+(n-m)da1、d、n、an中知三求一通項(xiàng)公式推導(dǎo)公式:任意兩項(xiàng)an和am之間的關(guān)系:例1.在等差數(shù)列中,已知a5=10,a12=31,求首項(xiàng)a1與公差d.題型訓(xùn)練[例3]

(1)等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次是x－1，x＋1,2x＋3，則其通項(xiàng)公式為(

)A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝2n－3C．a(chǎn)n＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1[分析]結(jié)合等差中項(xiàng)的定義求解．[解析]∵x－1，x＋1,2x＋3是等差數(shù)列的前三項(xiàng)，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.[答案]

B(2)已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個(gè)數(shù)．[分析]

根據(jù)已知條件可設(shè)出這三個(gè)數(shù)，結(jié)合等差中項(xiàng)，建立方程組求解，關(guān)鍵注意設(shè)法．3.等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(diǎn)(n，an)落在直線

(d≠0)上．(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加

.(3)當(dāng)d>0，數(shù)列{an}是

；當(dāng)d<0，數(shù)列{an}是

．當(dāng)d＝0時(shí)，數(shù)列{an}是常數(shù)列．y＝dx＋(a1－d)d遞增數(shù)列遞減數(shù)列noannoan直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)[素養(yǎng)提升]等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．特別地，在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷．

[答案]

D等差數(shù)列

an=a1+(n-1)d直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)1定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)公差:d=an-an-1(n≥2，n∈N*)2通項(xiàng)公式:推導(dǎo)公式:

an=am+(n－m)d

4圖象:

四、課堂小結(jié)3等差中項(xiàng)：a,A,b成等差數(shù)列2A=a+b課堂訓(xùn)練：1.-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，·····的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？2.已知遞增等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為15，前三項(xiàng)的積為105，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。3.已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個(gè)數(shù)．4.已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，a3,a5是方程x2-10x+21=0的兩個(gè)根，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.思考.（2020高三一模）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),令F(x)=(x-b)f(x-b)+2017,若b是a、c的等差中項(xiàng)，則F(a)+F(c)=

2021年11月高三衡水大聯(lián)考（2021高考）

今有金錘，長五尺。斬本一尺，重四斤。斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？