2022-2023學(xué)年福建省福州市六校聯(lián)考高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市六校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由題意，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限．故選：A2.設(shè)空間中的平面及兩條直線a，b滿足且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍?，所以與可能相交；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍遥?；即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.若復(fù)數(shù)z是的根，則（）A.1 B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗∵，∴由求根公式得：，即：，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜述：.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故.故選：C.5.袋子中有紅、黃、黑、白共四個(gè)小球，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到紅、黃兩個(gè)小球都取到才停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個(gè)小球，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：341332341144221132243331112342241244342142431233214344由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗18組隨機(jī)數(shù)中，滿足條件的有221，132，112，241，142，這5組數(shù)據(jù)滿足條件，所以估計(jì)恰好抽取三次就停止的概率.故選：D.6.廈門地鐵1號(hào)線從鎮(zhèn)海路站到文灶站有5個(gè)站點(diǎn)．甲、乙同時(shí)從鎮(zhèn)海路站上車，假設(shè)每一個(gè)人自第二站開始在每個(gè)站點(diǎn)下車是等可能的，則甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件為甲乙在相同站點(diǎn)下車，則，則甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率為.故選：C.7.已知所在平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡過的（）A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心〖答案〗B〖解析〗，，，，即，即，在邊的垂直平分線上，由三角形外心的定義知，點(diǎn)的軌跡過的外心.故選：B．8.九章算術(shù)中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖）．現(xiàn)提供一種計(jì)算“牟合方蓋”體積的方法．顯然，正方體的內(nèi)切球同時(shí)也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，該平面截內(nèi)切球得到的是上述正方形截面的內(nèi)切圓．結(jié)合祖暅原理，兩個(gè)同高的立方體，如在等高處的截面積相等，則體積相等．若正方體的棱長(zhǎng)為6，則“牟合方蓋”的體積為（）A.144 B. C.72 D.〖答案〗A〖解析〗正方體的棱長(zhǎng)，則其內(nèi)切球的半徑，內(nèi)切球的體積，由于截面正方形與其內(nèi)切圓的面積之比為，設(shè)牟合方蓋的體積為，則，從而牟合方蓋的體積．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知事件A，B，且，，如果，那么，B.對(duì)于單峰的頻率分布直方圖而言，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)C.若A，B是兩個(gè)互斥事件，則D.若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，如果，則，故，，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，對(duì)于單峰的頻率分布直方圖而言，如果左右對(duì)稱，則中位數(shù)和平均數(shù)大致相等，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)將變大，更遠(yuǎn)離峰值處，中位數(shù)位于單峰附近，故平均數(shù)大于中位數(shù)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭莾蓚€(gè)互斥事件，故，所以，故C正確；對(duì)于D，舉例如從1、2、3、4四個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)，即事件A=“取出的數(shù)字為1或2”，事件B=“取出的數(shù)字為1或3”，事件C=“取出的數(shù)字為1或4”，AB=BC=AC=ABC=“取出的數(shù)字為1”，則，，滿足，，，即事件兩兩獨(dú)立，但，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AD，，CD的中點(diǎn)，則（）A.直線，為異面直線B.二面角余弦值為C.直線與平面所成角的正切值為D.過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，連接，則為矩形，則，而點(diǎn)E，G分別是棱AD，CD的中點(diǎn)，故，則四點(diǎn)共面，故直線，不是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接交于點(diǎn)O，連接，平面平面，故，又平面，故平面，即為二面角的平面角，又，故，B正確；對(duì)于C，由于平面，故即為直線與平面所成角，而，故，C正確；對(duì)于D，連接，則，則梯形即為過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，而，故等腰梯形的高為，故等腰梯形的面積為，即過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.如圖所示，四邊形是由斜二測(cè)畫法得到的平面四邊形ABCD水平放置的直觀圖，其中，，，點(diǎn)在線段上，對(duì)應(yīng)原圖中的點(diǎn)P，則在原圖中下列說法正確的是（）A.四邊形ABCD的面積為18B.與同向的單位向量的坐標(biāo)為C.在向量上的投影向量的坐標(biāo)為D.的最小值為17〖答案〗BD〖解析〗由直觀圖可得，四邊形為直角梯形，且，則四邊形的面積為，故A錯(cuò)誤；如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，所以與同向的單位向量的坐標(biāo)為，故B正確；，則在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；設(shè)，則，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確.故選：BD.12.如圖，平面四邊形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE組成的直角梯形，AD＝1，，現(xiàn)將沿斜邊AC翻折成（不在平面ABC內(nèi)），若P為BC的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）A.與BC可能垂直B.三棱錐體積的最大值為C.若A，C，E，都在同一球面上，則該球的表面積是D.直線與EP所成角的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)：由，則，當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)滿足平面，因此，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，則，且，因?yàn)?，?dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積的最大值，在中，，則，此時(shí)，所以三棱錐體積的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以都在同一球面上，且球的半徑為，所以該球的表面積是，故C正確；對(duì)于D，作，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所有，，所以，所以，所以，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，所以與夾角為，與夾角為，又不在平面內(nèi)，，，所以與所成角的取值范圍，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在題中的橫線上．13.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，，則______．〖答案〗2〖解析〗由題意知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由，故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故.故〖答案〗為：2.14.若10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，標(biāo)準(zhǔn)差是2，則這10個(gè)數(shù)據(jù)的平方和是______．〖答案〗80〖解析〗由題意可設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)為，其方差為，則，故.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則______．〖答案〗〖解析〗依題意函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，又，所以，所以定義域?yàn)椋驗(yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得，又，所以，所以，即，所以，所以.故〖答案〗為：.16.如圖，的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則四面體的體積的最大值是______；記所有滿足的點(diǎn)P組成的平面區(qū)域?yàn)閃，則W的面積是______．〖答案〗〖解析〗空1：在正方體中，平面，所以平面，則是四面體以為底面時(shí)的高，由，所以當(dāng)最大時(shí)，四面體的體積的最大，因?yàn)辄c(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)P在線段上時(shí)，最大，其最大值為，所以四面體的體積的最大值為；空2：連接，則，由，則，所以點(diǎn)在以為圓心1為半徑的圓外的區(qū)域和以為圓心為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域與正方形的公共部分，如圖（2）陰影部分扇環(huán)部分，所以W的面積.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為．（1）求函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸；（2）若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍及的值．解：（1）由函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，可得函數(shù)最小正周期為，故，令，則，即函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為.（2）由可知，則，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合在時(shí)的圖象可知需滿足，令，則，故兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則，故.18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．解：（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則.（2）由正弦定理得：，則，則，.19.我校近幾年加大了對(duì)學(xué)生奧賽的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對(duì)象，今年5月我校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從參加競(jìng)賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）利用組中值估計(jì)本次考試成績(jī)平均數(shù)；（2）從頻率分布直方圖中，估計(jì)第三四分位數(shù)是多少；（精確到0.1）（3）已知學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成績(jī)不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從第5組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取2人中至少1人成績(jī)優(yōu)秀的概率．解：（1）本次考試成績(jī)的平均數(shù)約為，所以本次考試成績(jī)的平均數(shù).（2）因?yàn)?，，所以第三四分位?shù)，即第75百分?jǐn)?shù)在內(nèi)，所以第三四分位數(shù)，所以估計(jì)第三四分位數(shù)約為.（3）第5組人數(shù)為，第6組人數(shù)為，被抽取的成績(jī)?cè)趦?nèi)的4人，分別記為，，，；成績(jī)?cè)趦?nèi)的3人，分別記為，，；則從這7人中隨機(jī)抽取2人的情況為：，，，，共21種；其中被抽到2人中至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的情況為：，，，，共15種，故抽到2人中至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的概率為.20.如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，，M為邊PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積．解：（1）證明：取的中點(diǎn)為N，連接，因?yàn)镸為邊PC的中點(diǎn)，故，且，由底面是梯形，，，則，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面.（2）證明：取的中點(diǎn)為E，連接，因?yàn)?，所以，由底面是梯形，，，作，垂足為F，則四邊形為矩形，則，可得，且，由，故，而，故，，故，平面，故平面，又平面，故平面平面.（3）因?yàn)镸為邊PC的中點(diǎn)，故，而，由平面，，故，故三棱錐的體積為.21.某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運(yùn)輸貨物，運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)用和其他費(fèi)用組成．已知該貨輪每小時(shí)的燃料費(fèi)用w與其航行速度x的平方成正比（即：w=kx2，其中k為比例系數(shù)）；當(dāng)航行速度為30海里/小時(shí)時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)用為450元，其他費(fèi)用為每小時(shí)800元，且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時(shí)．（1）請(qǐng)將從甲地到乙地的運(yùn)輸成本y（元）表示為航行速度x（海里/小時(shí)）的函數(shù)；（2）要使從甲地到乙地的運(yùn)輸成本最少，該貨輪應(yīng)以多大的航行速度行駛？．解：（1）由題意，每小時(shí)的燃料費(fèi)用為w=kx2，當(dāng)x=30時(shí)，900k=450，解得k=0.5，從甲地到乙地所用的時(shí)間為小時(shí)，則從甲地到乙地的運(yùn)輸成本：y=0.5x2+800（0＜x≤50），=150，故所求的函數(shù)為y=f(x)=150．（2）法一：f′(x)=150，令f′(x)=0，解得x=40，0＜x＜40時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；40＜x≤50時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，因此當(dāng)x=40時(shí)，y取得極小值，也是最小值，故當(dāng)貨輪航行速度為40海里/小時(shí)時(shí)，能使該貨輪運(yùn)輸成本最少．22.甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號(hào)為的方框表示第場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者”，負(fù)者稱為“負(fù)者”，第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同.（1）求乙僅參加兩場(chǎng)比賽且連負(fù)兩場(chǎng)的概率；（2）求甲獲得冠軍的概率；（3）求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率.解：（1）乙僅參加兩場(chǎng)比賽且，即乙在第1場(chǎng)、第4場(chǎng)均負(fù)，∴乙連負(fù)兩場(chǎng)的概率為.（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝，∴甲獲得冠軍的概率為：．（3）若乙的決賽對(duì)手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有兩種情況：甲1勝3勝，乙1負(fù)4勝5勝；甲1負(fù)4勝5勝，乙1勝3勝，∴甲與乙在決賽相遇的概率為：，若乙的決賽對(duì)手是丙，則兩人只可能在第3場(chǎng)和第6場(chǎng)相遇，兩人參加的比賽的結(jié)果有兩種：乙1勝3勝，丙2勝3負(fù)5勝；乙1勝3負(fù)5勝，丙2勝3勝，若考慮甲在第4場(chǎng)和第5場(chǎng)的結(jié)果，乙與丙在第3場(chǎng)和第6場(chǎng)相遇的概率為：，若乙的決賽對(duì)手是丁，和乙的決賽對(duì)手是丙情況相同，∴乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率為：．福建省福州市六校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由題意，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限．故選：A2.設(shè)空間中的平面及兩條直線a，b滿足且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍遥耘c可能相交；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍?，所以；即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.若復(fù)數(shù)z是的根，則（）A.1 B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗∵，∴由求根公式得：，即：，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜述：.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故.故選：C.5.袋子中有紅、黃、黑、白共四個(gè)小球，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到紅、黃兩個(gè)小球都取到才停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個(gè)小球，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：341332341144221132243331112342241244342142431233214344由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗18組隨機(jī)數(shù)中，滿足條件的有221，132，112，241，142，這5組數(shù)據(jù)滿足條件，所以估計(jì)恰好抽取三次就停止的概率.故選：D.6.廈門地鐵1號(hào)線從鎮(zhèn)海路站到文灶站有5個(gè)站點(diǎn)．甲、乙同時(shí)從鎮(zhèn)海路站上車，假設(shè)每一個(gè)人自第二站開始在每個(gè)站點(diǎn)下車是等可能的，則甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件為甲乙在相同站點(diǎn)下車，則，則甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率為.故選：C.7.已知所在平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡過的（）A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心〖答案〗B〖解析〗，，，，即，即，在邊的垂直平分線上，由三角形外心的定義知，點(diǎn)的軌跡過的外心.故選：B．8.九章算術(shù)中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖）．現(xiàn)提供一種計(jì)算“牟合方蓋”體積的方法．顯然，正方體的內(nèi)切球同時(shí)也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，該平面截內(nèi)切球得到的是上述正方形截面的內(nèi)切圓．結(jié)合祖暅原理，兩個(gè)同高的立方體，如在等高處的截面積相等，則體積相等．若正方體的棱長(zhǎng)為6，則“牟合方蓋”的體積為（）A.144 B. C.72 D.〖答案〗A〖解析〗正方體的棱長(zhǎng)，則其內(nèi)切球的半徑，內(nèi)切球的體積，由于截面正方形與其內(nèi)切圓的面積之比為，設(shè)牟合方蓋的體積為，則，從而牟合方蓋的體積．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知事件A，B，且，，如果，那么，B.對(duì)于單峰的頻率分布直方圖而言，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)C.若A，B是兩個(gè)互斥事件，則D.若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，如果，則，故，，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，對(duì)于單峰的頻率分布直方圖而言，如果左右對(duì)稱，則中位數(shù)和平均數(shù)大致相等，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)將變大，更遠(yuǎn)離峰值處，中位數(shù)位于單峰附近，故平均數(shù)大于中位數(shù)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭莾蓚€(gè)互斥事件，故，所以，故C正確；對(duì)于D，舉例如從1、2、3、4四個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)，即事件A=“取出的數(shù)字為1或2”，事件B=“取出的數(shù)字為1或3”，事件C=“取出的數(shù)字為1或4”，AB=BC=AC=ABC=“取出的數(shù)字為1”，則，，滿足，，，即事件兩兩獨(dú)立，但，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AD，，CD的中點(diǎn)，則（）A.直線，為異面直線B.二面角余弦值為C.直線與平面所成角的正切值為D.過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，連接，則為矩形，則，而點(diǎn)E，G分別是棱AD，CD的中點(diǎn)，故，則四點(diǎn)共面，故直線，不是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接交于點(diǎn)O，連接，平面平面，故，又平面，故平面，即為二面角的平面角，又，故，B正確；對(duì)于C，由于平面，故即為直線與平面所成角，而，故，C正確；對(duì)于D，連接，則，則梯形即為過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，而，故等腰梯形的高為，故等腰梯形的面積為，即過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.如圖所示，四邊形是由斜二測(cè)畫法得到的平面四邊形ABCD水平放置的直觀圖，其中，，，點(diǎn)在線段上，對(duì)應(yīng)原圖中的點(diǎn)P，則在原圖中下列說法正確的是（）A.四邊形ABCD的面積為18B.與同向的單位向量的坐標(biāo)為C.在向量上的投影向量的坐標(biāo)為D.的最小值為17〖答案〗BD〖解析〗由直觀圖可得，四邊形為直角梯形，且，則四邊形的面積為，故A錯(cuò)誤；如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，所以與同向的單位向量的坐標(biāo)為，故B正確；，則在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；設(shè)，則，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確.故選：BD.12.如圖，平面四邊形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE組成的直角梯形，AD＝1，，現(xiàn)將沿斜邊AC翻折成（不在平面ABC內(nèi)），若P為BC的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）A.與BC可能垂直B.三棱錐體積的最大值為C.若A，C，E，都在同一球面上，則該球的表面積是D.直線與EP所成角的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)：由，則，當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)滿足平面，因此，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，則，且，因?yàn)?，?dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積的最大值，在中，，則，此時(shí)，所以三棱錐體積的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以都在同一球面上，且球的半徑為，所以該球的表面積是，故C正確；對(duì)于D，作，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所有，，所以，所以，所以，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，所以與夾角為，與夾角為，又不在平面內(nèi)，，，所以與所成角的取值范圍，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在題中的橫線上．13.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，，則______．〖答案〗2〖解析〗由題意知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由，故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故.故〖答案〗為：2.14.若10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，標(biāo)準(zhǔn)差是2，則這10個(gè)數(shù)據(jù)的平方和是______．〖答案〗80〖解析〗由題意可設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)為，其方差為，則，故.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則______．〖答案〗〖解析〗依題意函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，又，所以，所以定義域?yàn)椋驗(yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得，又，所以，所以，即，所以，所以.故〖答案〗為：.16.如圖，的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則四面體的體積的最大值是______；記所有滿足的點(diǎn)P組成的平面區(qū)域?yàn)閃，則W的面積是______．〖答案〗〖解析〗空1：在正方體中，平面，所以平面，則是四面體以為底面時(shí)的高，由，所以當(dāng)最大時(shí)，四面體的體積的最大，因?yàn)辄c(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)P在線段上時(shí)，最大，其最大值為，所以四面體的體積的最大值為；空2：連接，則，由，則，所以點(diǎn)在以為圓心1為半徑的圓外的區(qū)域和以為圓心為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域與正方形的公共部分，如圖（2）陰影部分扇環(huán)部分，所以W的面積.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為．（1）求函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸；（2）若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍及的值．解：（1）由函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，可得函數(shù)最小正周期為，故，令，則，即函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為.（2）由可知，則，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合在時(shí)的圖象可知需滿足，令，則，故兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則，故.18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．解：（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則.（2）由正弦定理得：，則，則，.19.我校近幾年加大了對(duì)學(xué)生奧賽的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對(duì)象，今年5月我校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從參加競(jìng)賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）利用組中值估計(jì)本次考試成績(jī)平均數(shù)；（2）從頻率分布直方圖中，估計(jì)第三四分位數(shù)是多少；（精確到0.1）（3）已知學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成績(jī)不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從第5組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取2人中至少1人成績(jī)優(yōu)秀的概率．解：（1）本次考試成績(jī)的平均數(shù)約為，所以本次考試成績(jī)的平均數(shù).（2）因?yàn)?，，所以第三四分位?shù)，即第75百分?jǐn)?shù)在內(nèi)，所以第三四分位數(shù)，所以估計(jì)第三四分位數(shù)約為.（3）第5組人數(shù)為，第6組人數(shù)為，被抽取的成績(jī)?cè)趦?nèi)的4人，分別記為，，，；成績(jī)?cè)趦?nèi)的3人，分別記為，，；則從這7人中隨機(jī)抽取2人的情況為：，，，，共21種；其中被抽到2人中至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的情況為：，，，，共15種，故抽到2人中至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的概率為.20.如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，，M為邊PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積．解：（1）證明：取的中點(diǎn)為N，連接，因?yàn)镸為邊PC的中點(diǎn)，故，且，由底面是梯形，，，則，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面.（2）證明：取的中點(diǎn)為E，連接，因?yàn)椋?，由底面是梯?/p>