2022-2023學(xué)年浙江省臺州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，由向量平行的坐標(biāo)公式可得：.故選：B.3.我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了三角形面積公式，即，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積.若某三角形三邊a，b，c，滿足，，則該三角形面積S的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以該三角形面積S的最大值為.故選：B.4.已知表面積為的圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為（）A.3 B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意可得，解得.故選：A5.一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，從袋中不放回的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意記個(gè)黃色球?yàn)椤?，個(gè)紅色球?yàn)椤?、，從中摸出個(gè)球的可能結(jié)果有，，，，，，，，，，共個(gè)，其中兩次都摸到紅色球的有，，共個(gè)，故所求概率.故選：B.6.拋擲一枚骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則這些點(diǎn)數(shù)的方差為（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5〖答案〗B〖解析〗不妨設(shè)這5個(gè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，且，由題意可知：，因?yàn)檫@些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2，則，可得，所以，即這5個(gè)數(shù)依次為，可得這些點(diǎn)數(shù)的方差為.故選：B.7.正三棱臺中，平面，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖將正三棱臺補(bǔ)全為正三棱錐，因?yàn)槠矫?，即平面，根?jù)正三棱錐的性質(zhì)可得平面，平面，平面，所以，，又平面，，又，所以為的中點(diǎn)，同理可得為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則，所以即為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨令，則，，，在中由余弦定理，即，解得，所以異面直線與所成角余弦值為.故選：A.8.如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)在三角形與三角形中，解得：作的四等分點(diǎn)，且，由題意知，，又因?yàn)?，所以，，又，所以，在三角形與三角形中，化簡得：，代入解得：，從而解得：.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A、B，滿足，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A與B互斥 D.A與B相互獨(dú)立〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)椋?，，，所以，故A選項(xiàng)正確；作出示意圖如下，則A與B不互斥，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，，，所以事件A與B相互獨(dú)立，故B、D選項(xiàng)正確.故選：ABD.10.已知，，是空間中三條不同直線，，，是空間中三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，，，，則B.若，，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗BC〖解析〗對于選項(xiàng)A：在正方體中，平面，平面，平面，平面，滿足條件，但平面平面，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：平面平面，平面平面，，滿足條件，但與平面、平面均不垂直，故D垂直，對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，由線面平行的判定定理可得，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，故B正確；對于選項(xiàng)C：若，則存在異于的直線，使得，因?yàn)?，則//，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，所以，故C正確.故選：BC.11.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，B.存在點(diǎn)，使得C.的最小值為D.若，，則的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對于A，當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，，故A正確；對于B，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，，易得：，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，，，，所以，即不存在點(diǎn)，使得，故B錯(cuò)誤；對于C，，所以，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，故C正確；對于D，若，即，所以，，即，，，故D正確.故選：ACD.12.四面體ABCD中，，，則有（）A.存在，使得直線CD與平面ABC所成角為B.存在，使得二面角的平面角大小為C.若，則四面體ABCD的內(nèi)切球的體積是D.若，則四面體ABCD的外接球的表面積是〖答案〗BCD〖解析〗對于選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，連接，過作，交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，若，因?yàn)?，則，，又因?yàn)椋詾榈耐庑?，故，所以，所以；又因?yàn)闉榈耐庑?，且，所以，出現(xiàn)矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，若，因?yàn)?，所?在中，，所以的外接圓半徑為，在中，由正弦定理得，，所以；由余弦定理得，，由得，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，四面體為棱長為2的正四面體，底面上的高，，正四面體的高，正四面體的體積，正四面體的表面積，設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，，所以四面體的內(nèi)切球的體積為，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，四面體中，設(shè)四面體外接球球心為，取中點(diǎn)，連接、、，則且，所以為二面角的平面角，，所以，設(shè)、分別是平面和平面的外接圓圓心，則，在中，，，在中，，即外接球的半徑，四面體的外接球的表面積，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則____________.〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)，所以.故〖答案〗為：.14.已知正方體棱長為3，在正方體的頂點(diǎn)中，到平面的距離為的頂點(diǎn)可能是______________.（寫出一個(gè)頂點(diǎn)即可）〖答案〗A（A，C，，任填一個(gè)即可）〖解析〗顯然在平面內(nèi)，不合題意，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，可知，因?yàn)?，則，解得，設(shè)，即平面，且為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C到平面的距離為，可證平面//平面，則平面上任一點(diǎn)到平面的距離為，所以C，，符合題意，由圖易知點(diǎn)到面的距離大于，綜上所述：平面的距離為的頂點(diǎn)有且僅有A，C，，.故〖答案〗為：A（A，C，，任填一個(gè)即可）.15.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，，若有兩解，則的取值范圍是_____________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理得：，即，，若有兩解，則，且，即，所以，故〖答案〗為：.16.已知平面向量，，均為非零向量，，且，，則的最小值為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槠矫嫦蛄?，，均為非零向量，，且，所以，即，所以的最小值?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位.（1）求；（2）若是關(guān)于的方程一個(gè)根，求p，q的值.解：（1）.（2），即，，解得，.18.已知，是非零向量，①；②；③.（1）從①②③中選取其中兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.）（2）在①②的條件下，，求實(shí)數(shù).解：（1）選①②：若，，則，所以③成立；選①③：由，得，而，則，即，又，所以，②成立；選②③：由，得，而，則，整理得，而，所以，①成立.（2）由，得，，而，，因此，又，所以.19.如圖，在直三棱柱中，，，D為AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐體積的最大值.解：（1）連接交于點(diǎn)E，連接DE，因?yàn)镈，E分別是AC，的中點(diǎn)，則，且平面，平面，所以平面.（2）過點(diǎn)D作DF垂直BC交于點(diǎn)F，因?yàn)?，則DF//AB，所以F為BC的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，則，，平面，則平面，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以三棱錐的體積的最大值是.20.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為了弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，某學(xué)校對全體高中學(xué)生組織了一次關(guān)于亞運(yùn)會相關(guān)知識的測試.從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測試滿分為100分，并將這100名同學(xué)的測試成績分成5組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績；（2）用樣本頻率估計(jì)總體，如果將頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求3名學(xué)生中至少有2人成績不低于80分的概率.解：（1）由頻率分布直方圖可得每組的頻率依次為，則，解得，設(shè)平均成績的估計(jì)值為，則（分），所以這100名學(xué)生的平均成績估計(jì)值為74分.（2）每個(gè)學(xué)生成績不低于80分的概率為0.4，3名學(xué)生中恰有2人成績不低于80分的概率；3名學(xué)生中恰有3人成績不低于80分的概率；3名學(xué)生中至少有2人成績不低于80分的概率.21.在銳角中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，.（1）求證：；（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，即，所?（2）由（1）可知：，由余弦定理可得，設(shè)，則，因?yàn)椋?，不妨設(shè)，即，可知，且是銳角三角形，則，得，即，則，解得，所以，由對勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，且，則，所以，且，則，所以的取值范圍為.22.如圖，平面平面，四邊形為矩形，且為線段上動(dòng)點(diǎn)，，，，.（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，（i）求證：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；（2）記直線與平面所成角為，平面與平面的夾角為，是否存在點(diǎn)使得?若存在，求出；若不存在，說明理由.解：（1）（i）由題意，四邊形為直角梯形，且，，所以，所以，取的中點(diǎn)，連接，則且，且，故四邊形為矩形，則，且，所以，又由，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，則，所以，又，、平面，所以平面.（ii）取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接、、，過在平面內(nèi)作垂直于，垂足為，又平面平面，平面平面，，所以平面，為的中點(diǎn)，所以，所以平面，平面，所以，又因?yàn)椋?，、平面，所以平面，平面，所以，，平面，得平面，因?yàn)椋?，，所以，由等面積法可得，延長與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，為直線與平面的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，直線與平面所成的角為，則，所以，由，所以.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，延長與交于點(diǎn)，連接，則平面平面，設(shè)平面，垂足為，連接，是直線與平面所成的角，因?yàn)榍?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，過點(diǎn)作垂直于，垂足為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)椋?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，是二面角的平面角，所以，，由，得，所以、重合，由，得，設(shè)，則，，由勾股定理可得，即，整理可得，解得或（舍），所以存在點(diǎn)，當(dāng)，有成立.浙江省臺州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，由向量平行的坐標(biāo)公式可得：.故選：B.3.我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了三角形面積公式，即，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積.若某三角形三邊a，b，c，滿足，，則該三角形面積S的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以該三角形面積S的最大值為.故選：B.4.已知表面積為的圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為（）A.3 B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意可得，解得.故選：A5.一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，從袋中不放回的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意記個(gè)黃色球?yàn)?、，個(gè)紅色球?yàn)?、、，從中摸出個(gè)球的可能結(jié)果有，，，，，，，，，，共個(gè)，其中兩次都摸到紅色球的有，，共個(gè)，故所求概率.故選：B.6.拋擲一枚骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則這些點(diǎn)數(shù)的方差為（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5〖答案〗B〖解析〗不妨設(shè)這5個(gè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，且，由題意可知：，因?yàn)檫@些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2，則，可得，所以，即這5個(gè)數(shù)依次為，可得這些點(diǎn)數(shù)的方差為.故選：B.7.正三棱臺中，平面，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖將正三棱臺補(bǔ)全為正三棱錐，因?yàn)槠矫?，即平面，根?jù)正三棱錐的性質(zhì)可得平面，平面，平面，所以，，又平面，，又，所以為的中點(diǎn)，同理可得為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則，所以即為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨令，則，，，在中由余弦定理，即，解得，所以異面直線與所成角余弦值為.故選：A.8.如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)在三角形與三角形中，解得：作的四等分點(diǎn)，且，由題意知，，又因?yàn)椋裕?，又，所以，在三角形與三角形中，化簡得：，代入解得：，從而解得：.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A、B，滿足，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A與B互斥 D.A與B相互獨(dú)立〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，，，，所以，故A選項(xiàng)正確；作出示意圖如下，則A與B不互斥，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，，，所以事件A與B相互獨(dú)立，故B、D選項(xiàng)正確.故選：ABD.10.已知，，是空間中三條不同直線，，，是空間中三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，，，，則B.若，，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗BC〖解析〗對于選項(xiàng)A：在正方體中，平面，平面，平面，平面，滿足條件，但平面平面，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：平面平面，平面平面，，滿足條件，但與平面、平面均不垂直，故D垂直，對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，由線面平行的判定定理可得，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，故B正確；對于選項(xiàng)C：若，則存在異于的直線，使得，因?yàn)?，則//，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，所以，故C正確.故選：BC.11.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，B.存在點(diǎn)，使得C.的最小值為D.若，，則的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對于A，當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，，故A正確；對于B，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，，易得：，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，，，，所以，即不存在點(diǎn)，使得，故B錯(cuò)誤；對于C，，所以，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，故C正確；對于D，若，即，所以，，即，，，故D正確.故選：ACD.12.四面體ABCD中，，，則有（）A.存在，使得直線CD與平面ABC所成角為B.存在，使得二面角的平面角大小為C.若，則四面體ABCD的內(nèi)切球的體積是D.若，則四面體ABCD的外接球的表面積是〖答案〗BCD〖解析〗對于選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，連接，過作，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，若，因?yàn)椋瑒t，，又因?yàn)?，所以為的外心，故，所以，所以；又因?yàn)闉榈耐庑?，且，所以，出現(xiàn)矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，若，因?yàn)?，所?在中，，所以的外接圓半徑為，在中，由正弦定理得，，所以；由余弦定理得，，由得，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，四面體為棱長為2的正四面體，底面上的高，，正四面體的高，正四面體的體積，正四面體的表面積，設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，，所以四面體的內(nèi)切球的體積為，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，四面體中，設(shè)四面體外接球球心為，取中點(diǎn)，連接、、，則且，所以為二面角的平面角，，所以，設(shè)、分別是平面和平面的外接圓圓心，則，在中，，，在中，，即外接球的半徑，四面體的外接球的表面積，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則____________.〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)，所以.故〖答案〗為：.14.已知正方體棱長為3，在正方體的頂點(diǎn)中，到平面的距離為的頂點(diǎn)可能是______________.（寫出一個(gè)頂點(diǎn)即可）〖答案〗A（A，C，，任填一個(gè)即可）〖解析〗顯然在平面內(nèi)，不合題意，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，可知，因?yàn)?，則，解得，設(shè)，即平面，且為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C到平面的距離為，可證平面//平面，則平面上任一點(diǎn)到平面的距離為，所以C，，符合題意，由圖易知點(diǎn)到面的距離大于，綜上所述：平面的距離為的頂點(diǎn)有且僅有A，C，，.故〖答案〗為：A（A，C，，任填一個(gè)即可）.15.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，，若有兩解，則的取值范圍是_____________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理得：，即，，若有兩解，則，且，即，所以，故〖答案〗為：.16.已知平面向量，，均為非零向量，，且，，則的最小值為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槠矫嫦蛄浚?，均為非零向量，，且，所以，即，所以的最小值?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位.（1）求；（2）若是關(guān)于的方程一個(gè)根，求p，q的值.解：（1）.（2），即，，解得，.18.已知，是非零向量，①；②；③.（1）從①②③中選取其中兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.）（2）在①②的條件下，，求實(shí)數(shù).解：（1）選①②：若，，則，所以③成立；選①③：由，得，而，則，即，又，所以，②成立；選②③：由，得，而，則，整理得，而，所以，①成立.（2）由，得，，而，，因此，又，所以.19.如圖，在直三棱柱中，，，D為AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐體積的最大值.解：（1）連接交于點(diǎn)E，連接DE，因?yàn)镈，E分別是AC，的中點(diǎn)，則，且平面，平面，所以平面.（2）過點(diǎn)D作DF垂直BC交于點(diǎn)F，因?yàn)?，則DF//AB，所以F為BC的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，則，，平面，則平面，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以三棱錐的體積的最大值是.20.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為了弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，某學(xué)校對全體高中學(xué)生組織了一次關(guān)于亞運(yùn)會相關(guān)知識的測試.從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測試滿分為100分，并將這100名同學(xué)的測試成績分成5組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績；（2）用樣本頻率估計(jì)總體，如果將頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，