2023-2024學(xué)年廣東省惠州市惠東縣高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2廣東省惠州市惠東縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上，并將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答單項及多項選擇題時，選出每個小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗，寫在本試卷上無效.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新〖答案〗；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，則的值是（）A.12 B.18 C.24 D.30〖答案〗D〖解析〗由題意可知：.故選:D2.若隨機變量服從兩點分布，其中，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗隨機變量服從兩點分布，其中，，，，在A中，，故A正確；在B中，，故B正確；在C中，，故C錯誤；D中，，故D正確.故選：C3.離散型隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（）1234560.210.200.100.10A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65〖答案〗B〖解析〗由題意得，解得，，解得，故.故選：B4.元宵節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，當天人們會吃湯圓、賞花燈、猜燈謎.小華爸爸手里有6個燈謎，其中4個事物謎，2個字謎，小華隨機抽取2個燈謎，事件A為“取到的2個為同一類燈謎”，事件B為“取到的2個為事物謎”，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，，，所以，故選：B.5.某同學(xué)利用電腦軟件將函數(shù)，的圖象畫在同一直角坐標系中，得到如圖的“心形線”.觀察圖形，當時，的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致為（

）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，所以軸下方的圖象為函數(shù)的圖象，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故排除CD；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，時，函數(shù)圖象上每點處的切線斜率應(yīng)先變小，再增大，故排除B，只有A正確.故選：A6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以.故選:B.7.有5個人到南京、鎮(zhèn)江、揚州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個學(xué)校錄用，每個學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.300 B.360 C.390 D.420〖答案〗C〖解析〗(1)當5人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為;(2)當5人中有四人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；(3)當5人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；綜上不同的錄取情況數(shù)共有.故選：C8.如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前項和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（）A.24 B.26 C.29 D.36〖答案〗B〖解析〗依題意，題中的等比數(shù)列為，故該數(shù)列前項和，則，要使數(shù)列中只取得整數(shù)項，需使是5的正整倍數(shù)即可，即使的最末位是1或6即可，于是新的數(shù)列的項依次為：4，6，9，11，14，16，19，21，24，26，29，31，，故故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為數(shù)列的前n項和，已知對任意的，，下列說法正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗數(shù)列中，對任意的，，，，AC正確；由，知的值無法確定，則通項也無法確定，BD錯誤.故選：AC10.已知的展開式中第4項與第7項的二項式系數(shù)相等，且各項系數(shù)的和為0，則（）A.B.的展開式中的有理項有5項C.的展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為512D.除以9的余數(shù)為8〖答案〗BD〖解析〗由的展開式中第4項與第7項的二項式系數(shù)相等可得：，由組合數(shù)的對稱性可得：，故選項A錯誤；因為的展開式中各項系數(shù)的和為0，所以令可得：，解得：.則的二項式通項為.由為整數(shù)可得：，所以的展開式中的有理項有5項，故選項B正確；因為展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故選項C錯誤；因為，所以除以9的余數(shù)為8，故選項D正確.故選：BD.11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）．A.是的極大值點B.函數(shù)有且只有1個零點C.存在正實數(shù)，使得成立D.對任意兩個正實數(shù)，且，若，則．〖答案〗BD〖解析〗對于選項A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以在內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故A錯誤；對于選項B，由，得，由于分子判別式小于零，所以恒成立，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)有且只有1個零點，故B正確；對于選項C，若，可得，令，則，令，則，所以在內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．又因為當時，，所以不存在正實數(shù)，使得恒成立，故C不正確；對于選項D，設(shè)，即有，，即為，化為，故，所以，則，設(shè)（），可得，令，則在上恒成立，可得，所以，故單調(diào)遞增，可得，故成立，故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某座山，若從東側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚?條，從西側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚?條，那么游客從上山到下山共有______種不同的走法〖答案〗25〖解析〗依題意，游客上山有5種方法，下山有5種方法，由分步計數(shù)乘法原理知，從上山到下山方法共有種，所以游客從上山到下山共有25種不同的走法.故〖答案〗為：2513.某公司定期對流水線上的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，以此來判定產(chǎn)品是否合格可用．已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為________．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．〖答案〗0.84〖解析〗由題意知，該產(chǎn)品服從，則，所以，又，，所以，所以，即.所以抽到“可用產(chǎn)品”的概率為.故〖答案〗為：0.84.14.若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由得，設(shè)切點坐標，則切線斜率，切線方程為，又因為切線過，所以，整理得，又曲線有兩條過坐標原點的切線，所以該方程有兩個實數(shù)解，所以，解得或，所以的取值范圍是，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已如曲線在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故當時，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為16.在某詩詞大會的“個人追逐賽”環(huán)節(jié)中，參賽選手應(yīng)從8個不同的題目中隨機抽取3個題目進行作答．已知這8個題目中，選手甲只能正確作答其中的6個，而選手乙正確作答每個題目的概率均為0.8，且甲、乙兩位選手對每個題目作答都是相互獨立的．（1）求選手甲恰好正確作答2個題目的概率；（2）記選手乙正確作答的題目個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）如果在抽取的3個題目中答對2個題目就可以晉級，你認為甲、乙兩位選手誰晉級的可能性更大？請說明理由．解：（1）設(shè)事件A為“選手甲正確作答2個題目”，則．故選手甲恰好正確作答2個題目的概率為．（2）由題意得，，X的所有可能取值為0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列為X0123P0.0080.0960.3840.512∴．（3）設(shè)選手甲正確作答的題目個數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，∴，，∴．∵，∴，∴可以認為選手乙晉級的可能性更大．17.在公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)的公差為d（），由，得，即．由成等比數(shù)列可得，即，解得或（舍去），所以，故．（2）由（1）得，所以．18.有甲、乙兩個不透明的罐子，甲罐有3個紅球，2個黑球，球除顏色外大小完全相同．某人做摸球答題游戲．規(guī)則如下：每次答題前先從甲罐內(nèi)隨機摸出一球，然后答題．若答題正確，則將該球放入乙罐；若答題錯誤，則將該球放回甲罐．此人答對每一道題目的概率均為．當甲罐內(nèi)無球時，游戲停止．假設(shè)開始時乙罐無球．（1）求此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅球、黑球各1個的概率；（2）設(shè)第次答題后游戲停止的概率為．①求；②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，試說明理由．解：（1）記“此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅、黑各一個球”，“第次摸出紅球，并且答題正確”，；“第次摸出黑球，并且答題正確”，；“第次摸出紅球或黑球，并且答題錯誤”，，所以．又；；，所以．同理：所以．（2）①第次后游戲停止的情況是：前次答題正確恰好為4次，答題錯誤次，且第次摸出最后一球時答題正確．所以．②由①知，所以．令，解得；，解得．所以，所以的最大值是．19.已知函數(shù)，其中．（1）當時，求的極值；（2）討論當時函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點、，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）當時，的定義域為，當時，，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.處取得極大值，的極大值為，無極小值.（2）函數(shù)的定義域為，又．當時，令則或．①當，即時，當時，；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.②當，即時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增.③當，即時，當時，；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（3）有兩個不同的零點、，即有兩個不同正實根，得有兩個不同正實根，即與有兩個交點，令，則，令，得，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，時，取得最大值，且，當時，得的大致圖像如圖所示：，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．廣東省惠州市惠東縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上，并將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答單項及多項選擇題時，選出每個小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗，寫在本試卷上無效.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新〖答案〗；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，則的值是（）A.12 B.18 C.24 D.30〖答案〗D〖解析〗由題意可知：.故選:D2.若隨機變量服從兩點分布，其中，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗隨機變量服從兩點分布，其中，，，，在A中，，故A正確；在B中，，故B正確；在C中，，故C錯誤；D中，，故D正確.故選：C3.離散型隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（）1234560.210.200.100.10A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65〖答案〗B〖解析〗由題意得，解得，，解得，故.故選：B4.元宵節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，當天人們會吃湯圓、賞花燈、猜燈謎.小華爸爸手里有6個燈謎，其中4個事物謎，2個字謎，小華隨機抽取2個燈謎，事件A為“取到的2個為同一類燈謎”，事件B為“取到的2個為事物謎”，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，，，所以，故選：B.5.某同學(xué)利用電腦軟件將函數(shù)，的圖象畫在同一直角坐標系中，得到如圖的“心形線”.觀察圖形，當時，的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致為（

）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，所以軸下方的圖象為函數(shù)的圖象，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故排除CD；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，時，函數(shù)圖象上每點處的切線斜率應(yīng)先變小，再增大，故排除B，只有A正確.故選：A6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以.故選:B.7.有5個人到南京、鎮(zhèn)江、揚州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個學(xué)校錄用，每個學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.300 B.360 C.390 D.420〖答案〗C〖解析〗(1)當5人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為;(2)當5人中有四人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；(3)當5人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；綜上不同的錄取情況數(shù)共有.故選：C8.如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前項和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（）A.24 B.26 C.29 D.36〖答案〗B〖解析〗依題意，題中的等比數(shù)列為，故該數(shù)列前項和，則，要使數(shù)列中只取得整數(shù)項，需使是5的正整倍數(shù)即可，即使的最末位是1或6即可，于是新的數(shù)列的項依次為：4，6，9，11，14，16，19，21，24，26，29，31，，故故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為數(shù)列的前n項和，已知對任意的，，下列說法正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗數(shù)列中，對任意的，，，，AC正確；由，知的值無法確定，則通項也無法確定，BD錯誤.故選：AC10.已知的展開式中第4項與第7項的二項式系數(shù)相等，且各項系數(shù)的和為0，則（）A.B.的展開式中的有理項有5項C.的展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為512D.除以9的余數(shù)為8〖答案〗BD〖解析〗由的展開式中第4項與第7項的二項式系數(shù)相等可得：，由組合數(shù)的對稱性可得：，故選項A錯誤；因為的展開式中各項系數(shù)的和為0，所以令可得：，解得：.則的二項式通項為.由為整數(shù)可得：，所以的展開式中的有理項有5項，故選項B正確；因為展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故選項C錯誤；因為，所以除以9的余數(shù)為8，故選項D正確.故選：BD.11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）．A.是的極大值點B.函數(shù)有且只有1個零點C.存在正實數(shù)，使得成立D.對任意兩個正實數(shù)，且，若，則．〖答案〗BD〖解析〗對于選項A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以在內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故A錯誤；對于選項B，由，得，由于分子判別式小于零，所以恒成立，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)有且只有1個零點，故B正確；對于選項C，若，可得，令，則，令，則，所以在內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．又因為當時，，所以不存在正實數(shù)，使得恒成立，故C不正確；對于選項D，設(shè)，即有，，即為，化為，故，所以，則，設(shè)（），可得，令，則在上恒成立，可得，所以，故單調(diào)遞增，可得，故成立，故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某座山，若從東側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚?條，從西側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚?條，那么游客從上山到下山共有______種不同的走法〖答案〗25〖解析〗依題意，游客上山有5種方法，下山有5種方法，由分步計數(shù)乘法原理知，從上山到下山方法共有種，所以游客從上山到下山共有25種不同的走法.故〖答案〗為：2513.某公司定期對流水線上的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，以此來判定產(chǎn)品是否合格可用．已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為________．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．〖答案〗0.84〖解析〗由題意知，該產(chǎn)品服從，則，所以，又，，所以，所以，即.所以抽到“可用產(chǎn)品”的概率為.故〖答案〗為：0.84.14.若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由得，設(shè)切點坐標，則切線斜率，切線方程為，又因為切線過，所以，整理得，又曲線有兩條過坐標原點的切線，所以該方程有兩個實數(shù)解，所以，解得或，所以的取值范圍是，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已如曲線在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故當時，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為16.在某詩詞大會的“個人追逐賽”環(huán)節(jié)中，參賽選手應(yīng)從8個不同的題目中隨機抽取3個題目進行作答．已知這8個題目中，選手甲只能正確作答其中的6個，而選手乙正確作答每個題目的概率均為0.8，且甲、乙兩位選手對每個題目作答都是相互獨立的．（1）求選手甲恰好正確作答2個題目的概率；（2）記選手乙正確作答的題目個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）如果在抽取的3個題目中答對2個題目就可以晉級，你認為甲、乙兩位選手誰晉級的可能性更大？請說明理由．解：（1）設(shè)事件A為“選手甲正確作答2個題目”，則．故選手甲恰好正確作答2個題目的概率為．（2）由題意得，，X的所有可能取值為0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列為X0123P0.0080.0960.3840.512∴．（3）設(shè)選手甲正確作答的題目個數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，∴，，∴．∵，∴，∴可以認為選手乙晉級的可能性更大．17.在公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．（1）求的通