2023-2024學(xué)年湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、考號(hào)、班級(jí)、姓名等填寫在答題卡上．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的〖答案〗信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)，答在試題卷、草稿紙上無效．3．填空題和解答題的作答：用0．5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷、草稿紙上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知，則（）A.3或9 B.9 C.3 D.6〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以或，?故選：C.2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，因是常數(shù)，故，即A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由求導(dǎo)法則易得故D項(xiàng)正確.故選：D.3.有3個(gè)旅游愛好者分別從4個(gè)不同的景點(diǎn)中選擇一處游覽，則不同的選擇方法數(shù)為（）A.81 B.64 C.24 D.12〖答案〗B〖解析〗3個(gè)旅游愛好者分步去選擇景點(diǎn)游覽得種不同的選擇方法數(shù).故選：B.4.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的值為（）A.3 B. C. D.9〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，解得或（不合題意，舍去），所以，，令，即，由題意得，是方程的兩個(gè)相異正根，則，，符合題意，故選：D．5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗是等差數(shù)列，∴，又，所以，公差，因此中，當(dāng)時(shí)遞減，是最小值，從開始，遞增，又，，所以使得的最大的為11，故選：C．6.已知的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗展開式中的第項(xiàng)為，所以前三項(xiàng)的系數(shù)依次為，依題意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即.故選：C.7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，設(shè)，，．則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，兩邊除以，，即，設(shè)，則由可得在上單調(diào)遞增.因，則有，即，因?yàn)樵龊瘮?shù)，故有，即，故.故選：A.8.對(duì)任意，存在，使得，則的最小值為（）A. B. C.1 D.e〖答案〗C〖解析〗由題，令，則，所以，令，則，令，則，則即在時(shí)單調(diào)遞增，又，則時(shí)時(shí)，所以時(shí)取得極小值也即為最小值，最小值，即的最小值為1．故選：C．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由，選項(xiàng)A是正確的；由，選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；由，而，顯然，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；由而，所以成立，即選項(xiàng)D是正確的；故選：AD.10.已知數(shù)列滿足，，則（）A.為等比數(shù)列 B.的通項(xiàng)公式為C.為遞增數(shù)列 D.的前n項(xiàng)和〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)?，所?3，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B不正確；因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：AD.11.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上存在極大值B.函數(shù)沒有最值C.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為D.若，則的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.故，則在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無極大值，即A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.故，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故函數(shù)沒有最值，即B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B項(xiàng)知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，于是對(duì)任意，不等式等價(jià)于，則有，對(duì)任意，，由A項(xiàng)可得，在上單調(diào)遞增，故，則，故實(shí)數(shù)的最大值為，即C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若，則，即，因，則，由A項(xiàng)得，在上單調(diào)遞增，于是，，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞減，從而，故的最大值為，即D項(xiàng)正確.故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若展開式中的系數(shù)為70，則實(shí)數(shù)___________．〖答案〗2〖解析〗的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的展開式中含的項(xiàng)為，由題意知，解得．故〖答案〗為：213.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由得：，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?，即，故〖答案〗為?14.記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為“牛頓數(shù)列”．若函數(shù)，且，數(shù)列為牛頓數(shù)列．設(shè)，已知，則______，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為______．〖答案〗①4②〖解析〗因?yàn)?，則，則，由，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，所以，，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，又且單調(diào)遞增，所以對(duì)任意的恒成立，令，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，所以，所以的最大值為．故〖答案〗為：4；.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.若，且.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求的值.解：（1）依題意，展開式的通項(xiàng)為=，由，=2得，所以，，解得，所以實(shí)數(shù)a的值是1.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此=1.16.某班有6名同學(xué)報(bào)名參加校運(yùn)會(huì)的四個(gè)比賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法．（用數(shù)字回答）（1）每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，每個(gè)項(xiàng)目均有人參加；（2）每人限報(bào)一項(xiàng)，人人參加，且每個(gè)項(xiàng)目均有人參加．解：（1）在6人中任選4人，安排其參加四個(gè)比賽項(xiàng)目，有種報(bào)名方法．（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6人分成4組，若分為3、1、1、1的四組，有種分組方法，若分為2、2、1、1的四組，有種分組方法，則一共有種分組方法；②將分好的四組安排參加4項(xiàng)比賽，有種情況，所以共有種報(bào)名方法．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.解：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式作差可得，整理得．，令，則，所以，所以，則，當(dāng)時(shí)，也符合上式，綜上，．（2）由（1）可知，，則，因?yàn)椋?，所以?8.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在處有極值為時(shí)：①求的值；②若的導(dǎo)函數(shù)為，討論方程的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：（1）由題知定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，，，切線方程為即；（2）①由題意得，解得或，令，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，不符合題意，故．②由①得設(shè)則令，得或當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；在時(shí)，，單調(diào)遞減.，,又時(shí)，；時(shí)，，如圖所示.所以，當(dāng)時(shí)，方程沒有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)零點(diǎn)．19.已知函數(shù)．（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）時(shí)，求在上的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．解：（1）由函數(shù)可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；無單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時(shí)，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是，綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即在上的最大值是，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即在上的最大值是，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以最大值可能在或處取得，，，當(dāng)，即時(shí)，，即在上的最大值是，當(dāng)，即時(shí)，，即在上的最大值是，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上的最大值是；當(dāng)時(shí)，在上的最大值是.（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，即，，，，，即，令，，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在唯一一點(diǎn)，使，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以，，，因?yàn)?，所以，即，所以，所以整?shù)的最大值是4.湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、考號(hào)、班級(jí)、姓名等填寫在答題卡上．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的〖答案〗信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)，答在試題卷、草稿紙上無效．3．填空題和解答題的作答：用0．5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷、草稿紙上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知，則（）A.3或9 B.9 C.3 D.6〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以或，?故選：C.2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，因是常數(shù)，故，即A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由求導(dǎo)法則易得故D項(xiàng)正確.故選：D.3.有3個(gè)旅游愛好者分別從4個(gè)不同的景點(diǎn)中選擇一處游覽，則不同的選擇方法數(shù)為（）A.81 B.64 C.24 D.12〖答案〗B〖解析〗3個(gè)旅游愛好者分步去選擇景點(diǎn)游覽得種不同的選擇方法數(shù).故選：B.4.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的值為（）A.3 B. C. D.9〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，解得或（不合題意，舍去），所以，，令，即，由題意得，是方程的兩個(gè)相異正根，則，，符合題意，故選：D．5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗是等差數(shù)列，∴，又，所以，公差，因此中，當(dāng)時(shí)遞減，是最小值，從開始，遞增，又，，所以使得的最大的為11，故選：C．6.已知的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗展開式中的第項(xiàng)為，所以前三項(xiàng)的系數(shù)依次為，依題意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即.故選：C.7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，設(shè)，，．則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，兩邊除以，，即，設(shè)，則由可得在上單調(diào)遞增.因，則有，即，因?yàn)樵龊瘮?shù)，故有，即，故.故選：A.8.對(duì)任意，存在，使得，則的最小值為（）A. B. C.1 D.e〖答案〗C〖解析〗由題，令，則，所以，令，則，令，則，則即在時(shí)單調(diào)遞增，又，則時(shí)時(shí)，所以時(shí)取得極小值也即為最小值，最小值，即的最小值為1．故選：C．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由，選項(xiàng)A是正確的；由，選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；由，而，顯然，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；由而，所以成立，即選項(xiàng)D是正確的；故選：AD.10.已知數(shù)列滿足，，則（）A.為等比數(shù)列 B.的通項(xiàng)公式為C.為遞增數(shù)列 D.的前n項(xiàng)和〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)?，所?3，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B不正確；因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：AD.11.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上存在極大值B.函數(shù)沒有最值C.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為D.若，則的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.故，則在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無極大值，即A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.故，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故函數(shù)沒有最值，即B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B項(xiàng)知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，于是對(duì)任意，不等式等價(jià)于，則有，對(duì)任意，，由A項(xiàng)可得，在上單調(diào)遞增，故，則，故實(shí)數(shù)的最大值為，即C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若，則，即，因，則，由A項(xiàng)得，在上單調(diào)遞增，于是，，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞減，從而，故的最大值為，即D項(xiàng)正確.故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若展開式中的系數(shù)為70，則實(shí)數(shù)___________．〖答案〗2〖解析〗的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的展開式中含的項(xiàng)為，由題意知，解得．故〖答案〗為：213.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由得：，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所以，即，故〖答案〗為?14.記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為“牛頓數(shù)列”．若函數(shù)，且，數(shù)列為牛頓數(shù)列．設(shè)，已知，則______，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為______．〖答案〗①4②〖解析〗因?yàn)?，則，則，由，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，所以，，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，又且單調(diào)遞增，所以對(duì)任意的恒成立，令，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，所以，所以的最大值為．故〖答案〗為：4；.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.若，且.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求的值.解：（1）依題意，展開式的通項(xiàng)為=，由，=2得，所以，，解得，所以實(shí)數(shù)a的值是1.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此=1.16.某班有6名同學(xué)報(bào)名參加校運(yùn)會(huì)的四個(gè)比賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法．（用數(shù)字回答）（1）每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，每個(gè)項(xiàng)目均有人參加；（2）每人限報(bào)一項(xiàng)，人人參加，且每個(gè)項(xiàng)目均有人參加．解：（1）在6人中任選4人，安排其參加四個(gè)比賽項(xiàng)目，有種報(bào)名方法．（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6人分成4組，若分為3、1、1、1的四組，有種分組方法，若分為2、2、1、1的四組，有種分組方法，則一共有種分組方法；②將分好的四組安排參加4項(xiàng)比賽，有種情況，所以共有種報(bào)名方法．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.解：（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，兩式作差可得，整理得．，令，則，所以，所以，則，當(dāng)時(shí)，也符合上