2023-2024學(xué)年浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?故選：B．2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C．3.已知向量，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因?yàn)椋傻?，解?故選：A.4.為虛數(shù)單位，則（）A. B.i C. D.1〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D．5.已知正數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：C．6.圓臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，母線長(zhǎng)為4，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：上、下底面的半徑分別為1和3，所以側(cè)面積為.故選：D．7.對(duì)于數(shù)列，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗充分性：若是等差數(shù)列，則．必要性：若，則，兩式相減得，即，所以是等差數(shù)列．所以甲是乙充要條件.故選：C．8.袋子中裝有5張編號(hào)分別為1，2，3，4，5的卡片，從袋子中隨機(jī)選擇3張卡片，記抽到的3張卡片編號(hào)之和為，編號(hào)之積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是3的倍數(shù)的概率為0.4 B.是3的倍數(shù)的概率為0.6C.是3的倍數(shù)的概率為0.2 D.是3的倍數(shù)的概率為0.8〖答案〗A〖解析〗樣本空間：個(gè)樣本點(diǎn)，是3的倍數(shù)的情況包括，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以其概率為0.4．T是3的倍數(shù)的情況數(shù)為，所以其概率為0.6．故選：A．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能等于（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)圓心到直線的距離為，由于直線恒過(guò)原點(diǎn)，且，故，又，即，故選：BCD．10.已知，則下列等式成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于AB，，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD．11.下列定義在上的函數(shù)中，滿足的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____．〖答案〗40

〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以的系數(shù)為．故〖答案〗為：40.13.已知過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題意，由橢圓對(duì)稱性不妨設(shè)，且，因?yàn)?，可得，可得，可得，解得，即，代入橢圓的方程，可得，解得，所以．故〖答案〗為：.14.若不等式對(duì)任意滿足的正實(shí)數(shù)x，y，z均成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閤，y，z為正實(shí)數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，即，又，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式最右側(cè)等號(hào)成立.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1）函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，所以在處切線的斜率為，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為，即；（2）函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，由得，得或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以極大值為，極小值為.16.已知盒中有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，每次從盒中不放回地隨機(jī)摸取1個(gè)球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后剛好停止摸球的概率；（2）記摸球的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望．解：（1）摸球三次后剛好停止摸球，則前兩次摸到黑球第三次一定摸到白球，則．（2）分析得，，所以的分布列為123．17.如圖，在正三棱柱中，為側(cè)棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面．（2）若，求平面與平面所成二面角的大?。猓海?）連接，交于點(diǎn)，再連接、、,根據(jù)題意得，四邊形是矩形，則M為的中點(diǎn)．因?yàn)闉閭?cè)棱的中點(diǎn)，所以,在和中，兩組直角邊相等，根據(jù)勾股定理得兩條斜邊相等，即，所以，同理可證．因?yàn)榕c交于點(diǎn)M，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）當(dāng)時(shí)，三個(gè)側(cè)面均為正方形，由，同（1）易證，且都在面內(nèi)，所以面，故是面的一個(gè)法向量，由題設(shè)知：是面的一個(gè)法向量，且平面與平面所成二面角是銳角，由圖知：所成二面角的大小為18.如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的動(dòng)直線，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)與拋物線相交于點(diǎn)，，當(dāng)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，．（1）求拋物線的方程；（2）求的最小值．解：（1）解法一：設(shè)直線，聯(lián)立，得，所以．又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，代入化簡(jiǎn)得，解得．故拋物線的方程為．解法二：設(shè)直線的傾斜角為，再設(shè)、的坐標(biāo)都為，代入拋物線方程得，化簡(jiǎn)得．則，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即．又因?yàn)?，將代入化?jiǎn)得，即，所以拋物線的方程為．（2）解法一：，由（1）可得，，因?yàn)?，同理，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為．，而，所以CD的傾斜角為或，同理可求得，即，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為．19.對(duì)于正整數(shù)m，n，存在唯一的自然數(shù)a，b，使得，其中，我們記．對(duì)任意正整數(shù)，定義的生成數(shù)列為，其中．（1）求和．（2）求的前3項(xiàng)．（3）存在，使得，且對(duì)任意成立．考慮的值：當(dāng)時(shí)，定義數(shù)列的變換數(shù)列的通項(xiàng)公式為當(dāng)時(shí)，定義數(shù)列的變換數(shù)列的通項(xiàng)公式為若數(shù)列和數(shù)列相同，則定義函數(shù)，其中函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集．（ⅰ）求證：函數(shù)是增函數(shù)．（ⅱ）求證：．解：（1），所以．（2），，．（3）（ⅰ）對(duì)任意正整數(shù)，總有，且一定存，使得，此時(shí)有，即當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，又，所以，所以．因?yàn)椋艉偷淖儞Q數(shù)列分別為和，且，數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，，數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，則．當(dāng)時(shí)，若，則．若，則，所以是增函數(shù)．若，則，與矛盾，所以這種情況不存在．若，則，所以是增函數(shù)．（ⅱ）若數(shù)列的變換數(shù)列為，數(shù)列的變換數(shù)列為，即證．?dāng)?shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，．若，則，若，則，，．綜上，.浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?故選：B．2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C．3.已知向量，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因?yàn)?，可得，解?故選：A.4.為虛數(shù)單位，則（）A. B.i C. D.1〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?故選：D．5.已知正數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：C．6.圓臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，母線長(zhǎng)為4，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：上、下底面的半徑分別為1和3，所以側(cè)面積為.故選：D．7.對(duì)于數(shù)列，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗充分性：若是等差數(shù)列，則．必要性：若，則，兩式相減得，即，所以是等差數(shù)列．所以甲是乙充要條件.故選：C．8.袋子中裝有5張編號(hào)分別為1，2，3，4，5的卡片，從袋子中隨機(jī)選擇3張卡片，記抽到的3張卡片編號(hào)之和為，編號(hào)之積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是3的倍數(shù)的概率為0.4 B.是3的倍數(shù)的概率為0.6C.是3的倍數(shù)的概率為0.2 D.是3的倍數(shù)的概率為0.8〖答案〗A〖解析〗樣本空間：個(gè)樣本點(diǎn)，是3的倍數(shù)的情況包括，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以其概率為0.4．T是3的倍數(shù)的情況數(shù)為，所以其概率為0.6．故選：A．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能等于（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)圓心到直線的距離為，由于直線恒過(guò)原點(diǎn)，且，故，又，即，故選：BCD．10.已知，則下列等式成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于AB，，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD．11.下列定義在上的函數(shù)中，滿足的有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____．〖答案〗40

〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以的系數(shù)為．故〖答案〗為：40.13.已知過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題意，由橢圓對(duì)稱性不妨設(shè)，且，因?yàn)?，可得，可得，可得，解得，即，代入橢圓的方程，可得，解得，所以．故〖答案〗為：.14.若不等式對(duì)任意滿足的正實(shí)數(shù)x，y，z均成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閤，y，z為正實(shí)數(shù)，所以，因?yàn)椋?，即，又，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式最右側(cè)等號(hào)成立.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1）函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，所以在處切線的斜率為，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為，即；（2）函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，由得，得或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以極大值為，極小值為.16.已知盒中有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，每次從盒中不放回地隨機(jī)摸取1個(gè)球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后剛好停止摸球的概率；（2）記摸球的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望．解：（1）摸球三次后剛好停止摸球，則前兩次摸到黑球第三次一定摸到白球，則．（2）分析得，，所以的分布列為123．17.如圖，在正三棱柱中，為側(cè)棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面．（2）若，求平面與平面所成二面角的大?。猓海?）連接，交于點(diǎn)，再連接、、,根據(jù)題意得，四邊形是矩形，則M為的中點(diǎn)．因?yàn)闉閭?cè)棱的中點(diǎn)，所以,在和中，兩組直角邊相等，根據(jù)勾股定理得兩條斜邊相等，即，所以，同理可證．因?yàn)榕c交于點(diǎn)M，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）當(dāng)時(shí)，三個(gè)側(cè)面均為正方形，由，同（1）易證，且都在面內(nèi)，所以面，故是面的一個(gè)法向量，由題設(shè)知：是面的一個(gè)法向量，且平面與平面所成二面角是銳角，由圖知：所成二面角的大小為18.如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的動(dòng)直線，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)與拋物線相交于點(diǎn)，，當(dāng)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，．（1）求拋物線的方程；（2）求的最小值．解：（1）解法一：設(shè)直線，聯(lián)立，得，所以．又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，代入化簡(jiǎn)得，解得．故拋物線的方程為．解法二：設(shè)直線的傾斜角為，再設(shè)、的坐標(biāo)都為，代入拋物線方程得，化簡(jiǎn)得．則，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即．又因?yàn)?，將代入化?jiǎn)得，即，所以拋物線的方程為．（2）解法一：，由（1）可得，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為．，而，所以CD的傾斜角為或，同理可求得，即，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為．19.對(duì)于正整數(shù)m，n，存在唯一的自然數(shù)a，b，使得，其中，我們記．對(duì)任意正整數(shù)，定義的生成數(shù)列為，其中．（1）求和．（2）求的前3項(xiàng)．（3）存在，使得