高中數(shù)學(xué) 2-3 2.3 第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望同步測(cè)試 新人教B版選修2-3

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-32.3第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望同步測(cè)試新人教B版選修2-3一、選擇題1．若隨機(jī)變量X～B(5,0.8)，則E(X)的值為()A．0.8 B．4C．5 D．3[答案]B[解析]∵X～B(5,0.8)，∴E(X)＝5×0.8＝4.2．已知隨機(jī)變量X的分布列為：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則E(X)等于()A．0 B．－1C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)[答案]C[解析]由題意可知E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3).3．口袋中有5只球，編號(hào)為1、2、3、4、5，從中任取3球，以ξ表示取出球的最大號(hào)碼，則E(ξ)的值是()A．4 B．4.5C．4.75 D．5[答案]B[解析]取出球的最大號(hào)碼ξ的取值3、4、5.P(ξ＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10).∴E(ξ)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(6,10)＝4.5.故選B.4．若隨機(jī)變量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，則P(ξ＝1)的值是()A．2×0.44 B．2×0.45C．3×0.44 D．3×0.64[答案]C[解析]∵E(ξ)＝n×0.6＝3，∴n＝5.∴P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,5)×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.故選C.5．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示且E(ξ)＝1.6，則a－b＝()ξ0123P0.1ab0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．－0.4[答案]C[解析]由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8①又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2.故選C.6．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．100 B．200C．300 D．400[答案]B[解析]本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查服從二項(xiàng)分布的事件的數(shù)學(xué)期望等．記“不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ”，則ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故選B.7．若X是一個(gè)隨機(jī)變量，則E(X－E(X))的值為()A．無(wú)法求 B．0C．E(X) D．2E(X)[答案]B[解析]只要認(rèn)識(shí)到E(X)是一個(gè)常數(shù)，則可直接運(yùn)用均值的性質(zhì)求解．∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)為常數(shù)，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.二、填空題8．將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)6出現(xiàn)次數(shù)X的均值E(X)＝________.[答案]eq\f(50,3)[解析]這是100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100，\f(1,6)))，∴E(X)＝100×eq\f(1,6)＝eq\f(50,3).9．已知某離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝eq\f(7,6)，ξ的分布列如下表：ξ0123Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)b則a＝________.[答案]eq\f(1,3)[解析]E(ξ)＝eq\f(7,6)＝0×a＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,6)＋3b?b＝eq\f(1,6)，又P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1?a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝1?a＝eq\f(1,3).三、解答題10．(·深圳市二調(diào))某班聯(lián)歡晚會(huì)玩飛鏢投擲游戲，規(guī)則如下：每人連續(xù)投擲5支飛鏢，累積3支飛鏢擲中目標(biāo)即可獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng)．同時(shí)要求在以下兩種情況下中止投擲：①累積3支飛鏢擲中目標(biāo)；②累積3支飛鏢沒(méi)有擲中目標(biāo)．已知小明同學(xué)每支飛鏢擲中目標(biāo)的概率是常數(shù)p(p>0.5)，且擲完3支飛鏢就中止投擲的概率為eq\f(1,3).(1)求p的值；(2)記小明結(jié)束游戲時(shí)，投擲的飛鏢支數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)由已知P(X＝3)＝p3＋(1－p)3＝eq\f(1,3)，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(2,3).∵p>0.5，∴p＝eq\f(2,3).(2)X的所有可能取值為3,4,5.P(X＝3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝[Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)]×eq\f(2,3)＋[Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(1,3))2×eq\f(2,3)]×eq\f(1,3)＝eq\f(10,27)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,4)×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))2＝eq\f(8,27)(或P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq\f(8,27))．X的分布列為X345Peq\f(1,3)eq\f(10,27)eq\f(8,27)∴X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(10,27)＋5×eq\f(8,27)＝eq\f(107,27).一、選擇題1．(·湖北理，9)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝()A.eq\f(126,125) B．eq\f(6,5)C.eq\f(168,125) D．eq\f(7,5)[答案]B[解析]題意知X＝0、1、2、3，P(X＝0)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125)，∴E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).2．今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為ξ，則E(ξ)＝()A．0.765 B．1.75C．1.765 D．0.22[答案]B[解析]設(shè)A、B分別為每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的事件，ξ的可能取值為0、1、2.P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.P(ξ＝1)＝P(A·eq\x\to(B)＋eq\x\to(A)·B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22.P(ξ＝2)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.故選B.3．已知隨機(jī)變量p的分布列為p－2－10123P1/12mn1/121/61/12其中m，n∈[0,1)，且E(P)＝eq\f(1,6)，則m，n的值分別為()A.eq\f(1,12)，eq\f(1,2) B．eq\f(1,6)，eq\f(1,6)C.eq\f(1,4)，eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)，eq\f(1,4)[答案]D[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,12)＋m＋n＋\f(1,12)＋\f(1,6)＋\f(1,12)＝1，,－2·\f(1,12)＋－1m＋0·n＋1·\f(1,12)＋2·\f(1,6)＋3·\f(1,12)＝\f(1,6)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝\f(7,12)，,\f(1,2)－m＝\f(1,6).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,3)，,n＝\f(1,4).))二、填空題4．馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表：t123P(ξ＝t)？??？請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________.[答案]2[解析]設(shè)？處為x，！處為y，則由分布列的性質(zhì)得2x＋y＝1，∴期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2.5．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為1、2、3、4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝3，則a＋b＝________.[答案]eq\f(1,10)[解析]由已知得，(a×1＋b)＋(a×2＋b)＋(a×3＋b)＋(a×4＋b)＝1，即10a＋4b＝1又E(ξ)＝3，故(a＋b)×1＋(2a＋b)×2＋(3a＋b)×3＋(4a＋b)×4＝3，即30a聯(lián)立①、②，解得b＝0，a＝eq\f(1,10)，∴a＋b＝eq\f(1,10).三、解答題6．甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量ξ為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，求ξ的分布列．[解析](1)記甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)為事件EA，那么P(EA)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率是eq\f(1,40).(2)隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2，事件“ξ＝2”是指有兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)，則P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)，ξ的分布列是ξ12Peq\f(3,4)eq\f(1,4)7.(·天津理，16)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)設(shè)“選出的3名同學(xué)來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,7)＋C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以，選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率為eq\f(49,60).(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,10))(k＝0、1、2、3)．所以，隨機(jī)變量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).8．已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和．(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)．[解析](1)由題意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,42)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(