15.2.1 分式的乘除課件2023-2024人教版八年級(jí)上

15.2分式的運(yùn)算15.2.1分式的乘除

通過(guò)前面分式的學(xué)習(xí)，我們知道分式和分?jǐn)?shù)有很多的相似性，如基本性質(zhì)、約分和通分.那么在運(yùn)算上它們有相似性嗎？導(dǎo)入新知1.知道并熟記分式乘除法法則.2.能準(zhǔn)確地進(jìn)行分式的乘除法的計(jì)算.素養(yǎng)目標(biāo)1.一個(gè)長(zhǎng)方體容器的容積為V，底面的長(zhǎng)為a，寬為b，當(dāng)容器內(nèi)的水占容積的時(shí)，水高多少?解：長(zhǎng)方體容器的高為，水高為知識(shí)點(diǎn)1分式的乘除法法則探究新知2.大拖拉機(jī)m天耕地a公頃，小拖拉機(jī)n天耕地

b公頃，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的多少倍?解：大拖拉機(jī)的工作效率是公頃/天，小拖拉機(jī)的工作效率是公頃/天，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)的工作效率的()倍.探究新知和，其中涉及到分式的有哪些運(yùn)算？你能用學(xué)過(guò)的運(yùn)算法則求出結(jié)果嗎？觀察上述兩個(gè)問(wèn)題中所列出的式子探究新知【思考】在計(jì)算的過(guò)程中，運(yùn)用了分?jǐn)?shù)的什么法則？你能敘述這個(gè)法則嗎？如果將分?jǐn)?shù)換成分式，那么你能類(lèi)比分?jǐn)?shù)的乘除法法則，說(shuō)出分式的乘除法法則嗎？怎樣用字母來(lái)表示分式的乘除法法則呢？3.計(jì)算：探究新知乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.探究新知分式的乘除法法則例1計(jì)算：22素養(yǎng)考點(diǎn)1利用分式的乘除法法則進(jìn)行單項(xiàng)式的計(jì)算探究新知2解法一:解法二:2

分式運(yùn)算的結(jié)果通常要化成最簡(jiǎn)分式或整式.探究新知①若分子分母都是單項(xiàng)式，把分子分母分別相乘，約去公因式，最后化為最簡(jiǎn)分式或整式；②分式與分式相除時(shí)，按照法則先轉(zhuǎn)化為乘法，再運(yùn)算.探究新知?dú)w納總結(jié)解析：C鞏固練習(xí)

2例2計(jì)算：

當(dāng)分子分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式便于約分的進(jìn)行.素養(yǎng)考點(diǎn)2利用分式的乘除法法則進(jìn)行多項(xiàng)式的計(jì)算探究新知

一定要注意符號(hào)變化呦！探究新知①若分子分母有多項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式分解因式，看能約分的先約分，然后相乘；②分式與分式相除時(shí)，一定要先轉(zhuǎn)化為乘法，再按照乘法法則運(yùn)算.探究新知?dú)w納總結(jié)11111解：原式2.計(jì)算(1)鞏固練習(xí)1111(2)鞏固練習(xí)解：原式例3“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為am的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1

m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為(a–1)

m的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了500kg.(1)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？素養(yǎng)考點(diǎn)3分式的乘除法法則的實(shí)際應(yīng)用探究新知∵0＜(a–1)2＜a2–1，∴“豐收2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量高.

∴“豐收2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量的

倍.

∴

解：(1)“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田面積是(a2–1)m2，單位面積產(chǎn)量是kg/m2；“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田面積是(a–1)2m2，單位面積產(chǎn)量是kg/m2.(2)探究新知

第一步，把線段AB三等分，以中間的一段為邊作等邊三角形，然后去掉這一段，就得到由4條長(zhǎng)度相等的線段組成的折線，總長(zhǎng)度為

第二步，把上述折線中每一條線段重復(fù)第一步的做法，便得到由長(zhǎng)度相等的線段組成的折線，總長(zhǎng)度為

3.取一條長(zhǎng)度為1個(gè)單位的線段AB，如圖鞏固練習(xí)

按照上述方法一步一步地繼續(xù)進(jìn)行下去，在圖中畫(huà)出了第一步至第五步所得到的折線的形狀．你覺(jué)得第五步得到的折線漂亮嗎？鞏固練習(xí)對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)n，第n步得到的折線的總長(zhǎng)度是多少？你能推算出第五步得到的折線的總長(zhǎng)度嗎？鞏固練習(xí)連接中考1.老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡(jiǎn)，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡(jiǎn)．過(guò)程如圖所示：接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的是(

)A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁

DA鞏固練習(xí)

基礎(chǔ)鞏固題B

課堂檢測(cè)2.計(jì)算：

=__________________.3.計(jì)算：課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題解:原式解:原式（1）（2）先化簡(jiǎn)然后從–1，1，2中選取一個(gè)數(shù)作為x的值代入求值.解:(1)原式＝因?yàn)榉帜竫–1≠0，x+1≠0，所以x≠1且x≠–1，所以取x=2，所以能力提升題課堂檢測(cè)一條船往返于水路相距100km的A，B兩地之間，已知水流的速度是每小時(shí)2km，船在靜水中的速度是每小時(shí)xkm(x>2)，那么船在往返一次過(guò)程中，順流航行的時(shí)間與逆流航行的時(shí)間比是______.拓廣探索題課堂檢測(cè)分式的乘除法法則課堂小結(jié)①若分子分母都是單項(xiàng)式，把分子分母分別相乘，約去公因式，最后化為最簡(jiǎn)分式或整式；②若分子分母有多項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式分解因式，看能約分的先約分，然后相乘；③分式與分式相除時(shí)，按照法則先轉(zhuǎn)化為乘法，再運(yùn)算.注意事項(xiàng)：1.甲工程隊(duì)完成一項(xiàng)工程需n天，乙工程隊(duì)要比甲工程隊(duì)多用3天才能完成這項(xiàng)工程，兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的幾分之幾？解：甲工程隊(duì)一天完成這項(xiàng)工程的____，乙工程隊(duì)一天完成這項(xiàng)工程的_______，兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的____________.知識(shí)點(diǎn)1同分母分式的加減法法則探究新知2.2009年，2010年，2011年某地的森林面積(單位：公頃)分別是S1，S2，S3，2011年與2010年相比，森林面積增長(zhǎng)率提高了多少？解：2011年的森林面積增長(zhǎng)率是___________，2010年的森林面積增長(zhǎng)率是__________，2011年與2010年相比，森林面積增長(zhǎng)率提高_(dá)___________.探究新知1.同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則如何敘述？探究新知2.你認(rèn)為請(qǐng)計(jì)算：分母不變，把分子相加減.【同分母的分?jǐn)?shù)加減法的法則】同分母的分?jǐn)?shù)相加減，【同分母的分式加減法的法則】同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減.探究新知同分母的分式加減法的法則例1計(jì)算：解：原式素養(yǎng)考點(diǎn)1同分母分式的加減的計(jì)算歸納總結(jié)：同分母分式的加減，分母不變，分子相加減，當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，先加括號(hào)，然后進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式或整式.探究新知–11.直接說(shuō)出運(yùn)算結(jié)果.....鞏固練習(xí)（1）（2）（3）（4）2.計(jì)算：鞏固練習(xí)解：原式解：原式（1）（2）異分母的分?jǐn)?shù)如何加減？通分，將異分母的分?jǐn)?shù)化為同分母的分?jǐn)?shù).知識(shí)點(diǎn)2異分母分式的加減法的法則探究新知想一想異分母分式的加減應(yīng)該如何進(jìn)行？【異分母的分?jǐn)?shù)加減法的法則】先通分，變?yōu)橥帜傅姆謹(jǐn)?shù)，再加減.【異分母的分式加減法的法則】先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.符號(hào)表示：探究新知比如：想一想例2(1)素養(yǎng)考點(diǎn)2異分母分式的加減的計(jì)算歸納總結(jié)：異分母分式的加減分為兩步：第一步通分，化為同分母分式；第二步運(yùn)用同分母分式的加減法則計(jì)算.探究新知解：原式(2)a2–4能分解：a2–4=(a+2)(a–2)，其中(a–2)恰好為第二個(gè)分式的分母，所以(a+2)(a–2)即為最簡(jiǎn)公分母.分子相減時(shí)，“減式”要添括號(hào)！探究新知解：原式3.計(jì)算：=x+y鞏固練習(xí)解：原式=解：原式（1）（2）鞏固練習(xí)4.計(jì)算：（1）（2）解:原式解:原式連接中考

A鞏固練習(xí)

A.

B．

C．–1D．2基礎(chǔ)鞏固題CC課堂檢測(cè)2.計(jì)算的結(jié)果為(

)

1.計(jì)算的結(jié)果為(

)A．1 B．3

C． D．閱讀下面題目的計(jì)算過(guò)程.

①=

②=③=④(1)上述計(jì)算過(guò)程，從哪一步開(kāi)始錯(cuò)誤?_______；(2)錯(cuò)誤原因_________________；(3)本題的正確結(jié)果為：

.②漏掉了分母能力提升題課堂檢測(cè)先化簡(jiǎn)：當(dāng)b=–1時(shí)，再?gòu)抹C2<a<2的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)a代入求值.解：原式=在–2<a<2中，a可取的整數(shù)為–1，0，1，而當(dāng)b=–1時(shí)，①若a=–1，分式無(wú)意義；②若a=0，分式無(wú)意義；③若a=1，分式無(wú)意義.所以a在規(guī)定的范圍內(nèi)取整數(shù)，原式均無(wú)意義(或所求值不存在).拓廣探索題課堂檢測(cè)分式的加減法法則課堂小結(jié)注意事項(xiàng)：①若分子是多項(xiàng)式，則加上括號(hào)，然后再加減；②計(jì)算結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)分式或整式.第二課時(shí)分式混合運(yùn)算你還記得分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算順序嗎？那么想一想，分式的混合運(yùn)算是否類(lèi)似呢？今天我們?cè)賮?lái)探討一下！導(dǎo)入新知2.體會(huì)類(lèi)比方法在研究分式混合運(yùn)算過(guò)程中的重要價(jià)值．1.理解分式混合運(yùn)算的順序；會(huì)正確進(jìn)行分式的混合運(yùn)算．素養(yǎng)目標(biāo)數(shù)的混合運(yùn)算的順序是什么？你能將它們推廣，得出分式的混合運(yùn)算順序嗎？分式的混合運(yùn)算順序：“從高到低、從左到右、括號(hào)從小到大”．

知識(shí)點(diǎn)1分式的混合運(yùn)算探究新知例1計(jì)算：這道題的運(yùn)算順序是怎樣的？

素養(yǎng)考點(diǎn)1較簡(jiǎn)單的分式的混合運(yùn)算探究新知探究新知解：對(duì)于不帶括號(hào)的分式混合運(yùn)算：(1)運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減；(2)計(jì)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式．1.化簡(jiǎn)的結(jié)果是(

)A.a–bB.a+b

C.

D.B鞏固練習(xí)2.計(jì)算：=(

)A.B.C.

D.A例2

計(jì)算：素養(yǎng)考點(diǎn)2較復(fù)雜的分式的混合運(yùn)算探究新知解:原式探究新知解:原式

對(duì)于帶括號(hào)的分式混合運(yùn)算：(1)將各分式的分子、分母分解因式后，再進(jìn)行計(jì)算；(2)先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；(3)計(jì)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式或整式．探究新知?dú)w納總結(jié)

問(wèn)題1將正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中指數(shù)的取值范圍由“正整數(shù)”擴(kuò)大到“整數(shù)”，這些性質(zhì)還適用嗎？知識(shí)點(diǎn)1整數(shù)指數(shù)冪探究新知問(wèn)題2am

中指數(shù)m

可以是負(fù)整數(shù)嗎？如果可以，那么負(fù)整數(shù)指數(shù)冪am表示什么？問(wèn)題3根據(jù)分式的約分，當(dāng)a≠0時(shí)，如何計(jì)算？問(wèn)題4如果把正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(a≠0，m，n是正整數(shù)，m>n)中的條件m>n去掉，即假設(shè)這個(gè)性質(zhì)對(duì)于像的情形也能使用，如何計(jì)算？a3÷a5==a3÷a5=a3-5=a-2探究新知(1)(2)數(shù)學(xué)中規(guī)定：當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，這就是說(shuō)，

是an的倒數(shù)．由(1)(2)想到，若規(guī)定a-2=(a≠0)，就能使am÷an=am-n

這條性質(zhì)也適用于像a3÷a5的情形，因此：探究新知111填空：(1)

=____，=____；(2)

=____，=____；(3)

=____，=____(b≠0)．探究新知做一做

問(wèn)題5引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，(m，n是正整數(shù))，這條性質(zhì)能否推廣到m，n是任意整數(shù)的情形？例如：a5·a-6=a(5-6)=a-1(a≠0)探究新知問(wèn)題6類(lèi)似地，你可以用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪或0指數(shù)冪對(duì)于其他正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行試驗(yàn)，看看這些性質(zhì)在整數(shù)范圍內(nèi)是否還適用？例如：a0·a-5=a0-5=a-5

，a-3·a-7=a-3+(-7)=a-10

，a-2÷a-5=a-2-(-5)=a3

，a0÷a-4=a0-(-4)=a4探究新知(1)

(m，n是整數(shù))；(2)

(m，n是整數(shù))；(3)

(n是整數(shù))；(4)

(m，n是整數(shù))；(5)

(n是整數(shù))．探究新知?dú)w納總結(jié)試說(shuō)說(shuō)當(dāng)m分別是正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)時(shí)，am各表示什么意義？當(dāng)m是正整數(shù)時(shí)，am表示m個(gè)a相乘.當(dāng)m是0時(shí)，a0表示一個(gè)數(shù)的n次方除以這個(gè)數(shù)的n次方，所以特別規(guī)定，任何除0以外的實(shí)數(shù)的0次方都是1.當(dāng)m是負(fù)整數(shù)時(shí)，

am表示|m|個(gè)相乘.探究新知例1

計(jì)算：

解：

素養(yǎng)考點(diǎn)1整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算探究新知解：

探究新知1.計(jì)算：解：(1)原式=x2y-3·x-3y3

=x2-3·y-3+3

=x-1

=

鞏固練習(xí)能否將整數(shù)指數(shù)冪的5條性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)合并？根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)m，n為整數(shù)時(shí)，

，，因此，

，即同底數(shù)冪的除法

可以轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法

．特別地，所以，即商的乘方可以轉(zhuǎn)化為積的乘方知識(shí)點(diǎn)2整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)探究新知這樣，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以歸結(jié)為：(1)

(m，n是整數(shù))；(2)

(m，n是整數(shù))；(3)

(n

是整數(shù))．探究新知故等式正確.例2

下列等式是否正確？為什么？(1)am÷an=am·a-n；(2)解：(1)∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n，∴am÷an=am·a-n.故等式正確.

素養(yǎng)考點(diǎn)2整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)的應(yīng)用探究新知(2)2.填空：(-3)2·(-3)-2=(

)；103×10-2=(

)；a-2÷a3=(

)；a3÷a-4=(

).3.計(jì)算：(1)0.1÷0.13(2)(-5)2008÷(-5)2010(3)100×10-1÷10-2(4)x-2·x-3÷x2110a7鞏固練習(xí)連接中考

DC鞏固練習(xí)

2.下列計(jì)算不正確的是(

)A.B.C.D.基礎(chǔ)鞏固題BB課堂檢測(cè)能力提升題1.若0<x<1，則x-1，x，x2的大小關(guān)系是(

)A.x-1<x<x2

B.x<x2<x-1C.x2<x<x-1

D.x2<x-1<x

C課堂檢測(cè)2.計(jì)算.課堂檢測(cè)能力提升題若，試求的值.拓廣探索題課堂檢測(cè)整數(shù)指數(shù)冪零指數(shù)冪：當(dāng)a≠0時(shí)，a0=1負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，a-n=(a≠0)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)am·an=am+n(m，n為整數(shù)，a≠0)(2)(ab)m=ambm(m為整數(shù)，a≠0，b≠0)(3)(am)n=amn(m，n為整數(shù)，a≠0)

課堂小結(jié)第二課時(shí)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家明確了整數(shù)指數(shù)冪具有正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，這節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪在科學(xué)記數(shù)法中的運(yùn)用.導(dǎo)入新知2.了解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪在科學(xué)記數(shù)法中的運(yùn)用.1.熟練應(yīng)用整數(shù)指數(shù)冪的意義及性質(zhì)進(jìn)行綜合計(jì)算.素養(yǎng)目標(biāo)對(duì)于一個(gè)小于1的正小數(shù)，如果小數(shù)點(diǎn)后至第一個(gè)非0數(shù)字前有8個(gè)0，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)時(shí)，10的指數(shù)是多少？如果有m個(gè)0呢？用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的小數(shù)知識(shí)點(diǎn)1探究新知0.1=0.01=

0.001=

=

；0.0001=

=

；

0.00001=

=

．歸納：探究新知填空：0.0000982=9.82×0.00001=9.82×0.0035=3.5×0.001=3.5×

如何用科學(xué)記數(shù)法表示0.0035和0.0000982呢？觀察這兩個(gè)等式，你能發(fā)現(xiàn)10的指數(shù)與什么有關(guān)呢？

對(duì)于一個(gè)小于1的正小數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)前的第一個(gè)0算起至小數(shù)點(diǎn)后第一個(gè)非0數(shù)字前有幾個(gè)0，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)時(shí)，10的指數(shù)就是負(fù)幾．探究新知(1)0.005

0.005

0.005=5×10-3小數(shù)點(diǎn)原本的位置小數(shù)點(diǎn)最后的位置小數(shù)點(diǎn)向右移了3位例1用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：素養(yǎng)考點(diǎn)1用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的數(shù)探究新知(2)0.0204

0.0204

0.0204=2.04×10-2小數(shù)點(diǎn)原本的位置小數(shù)點(diǎn)最后的位置小數(shù)點(diǎn)向右移了2位探究新知(3)0.00036

0.00036

0.00036=3.6×10-4小數(shù)點(diǎn)原本的位置小數(shù)點(diǎn)最后的位置小數(shù)點(diǎn)向右移了4位探究新知解：(1)0.3=3×10-1

；

(2)-0.00078=-7.8×10-4

；

(3)0.00002009=2.009×10-5.

1.用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)0.3；(2)-0.00078；(3)0.00002009.鞏固練習(xí)素養(yǎng)考點(diǎn)2科學(xué)記數(shù)法有關(guān)計(jì)算例2計(jì)算下列各題：(1)(－4×10-6)÷(2×103)(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)方法總結(jié)：科學(xué)記數(shù)法的有關(guān)計(jì)算，分別把前邊的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，10的冪進(jìn)行運(yùn)算，再把所得結(jié)果相乘.解：(1)(－4×10-6)÷(2×103)

=(-4÷2)(10-6÷103)

=-2×10-9

探究新知(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)

=(1.6×5)×(10-4×10-2)

=8×10-6

2.計(jì)算：

(1)(2×10－6)×(3.2×103)

(2)(2×10－6)2

÷(10－4)3

解：(1)(2×10－6)×(3.2×103)

=

(2×3.2)×(10-6×103)

=6.4×10-3鞏固練習(xí)

(2)(2×10－6)2÷(10－4)3=(4×10-12)÷10-12=4×10-12-(-12)=4×100=4×1

=4例3納米(nm)是非常小的長(zhǎng)度單位，1nm=10–9

m，把1nm的物體放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空間可以放多少個(gè)1nm3的物體？(物體之間間隙忽略不計(jì))解：

1mm=10－3m，1nm=10－9m.(10－3)3÷(10－9)3

=10－9÷10－27=1018，1mm3的空間可以放1018個(gè)1nm3的物體.素養(yǎng)考點(diǎn)3利用科學(xué)記數(shù)法解答實(shí)際問(wèn)題探究新知3.某種大腸桿菌的半徑是3.5×10-6m，一只蒼蠅攜帶這種細(xì)菌1.4×103個(gè).如果把這種細(xì)菌近似地看成球狀，那么這只蒼蠅所攜帶的所有大腸桿菌的總體積是多少立方米？(結(jié)果精確到0.001，球的體積公式V=πR3)解：每個(gè)大腸桿菌的體積是

·π·(3.5×10-6)3≈1.796×10-16(m3)，

總體積=1.796×10-16×1.4×103≈2.514×10-13(m3).答：這只蒼蠅共攜帶大腸桿菌的總體積是2.514×10-1