2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（新高考Ⅱ）含答案

2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（新高考Ⅱ）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分。每小題給出的備選答案中，只有一個是符號題意的。1．已知，則A．0 B．1 C． D．22．已知命題，，命題，，則A．和都是真命題 B．和都是真命題 C．和都是真命題 D．和都是真命題3．已知向量，滿足：，，且，則A． B． C． D．14．某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：并部分整理下表：畝產量，，，，，，生產數(shù)61218302410據(jù)表中數(shù)據(jù)，結論中正確的是A．100塊稻田畝產量中位數(shù)小于 B．100塊稻田中的畝產量低于的稻田所占比例超過 C．100塊稻田畝產量的極差介于至之間 D．100塊稻田畝產量的平均值介于至之間5．已知曲線，從上任意一點向軸作垂線，為垂足，則線段的中點的軌跡方程為A． B． C． D．6．設函數(shù)，為常數(shù)），當時，曲線與恰有一個交點，則A． B． C．1 D．27．已知正三棱臺的體積為，，，則與平面所成角的正切值為A． B．1 C．2 D．38．設函數(shù)，若，則的最小值為A． B． C． D．1二、選擇題：本大題共小3題，每小題6分，滿分18分。每小題給出的備選答案中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得3分，選錯或不選的得0分。9．對于函數(shù)和，下列正確的有A．與有相同零點 B．與有相同最大值 C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對稱軸10．拋物線的準線為，為上的動點，過作的一條切線，為切點，過點作的垂線，垂足為，則A．與相切 B．當，，三點共線時， C．當時， D．滿足的點有且僅有2個11．設函數(shù)，則A．當時，有三個零點 B．當時，是的極大值點 C．存在，，使得為曲線的對稱軸 D．存在，使得點，（1）為曲線的對稱中心三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則．13．已知為第一象限角，為第三象限角，，，則．14．在如圖的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個數(shù)之和的最大值是．四、解答題：本題共5小題，滿分77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，求周長．16．（15分）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求的取值范圍．17．（15分）如圖，平面四邊形中，，，，，，點，滿足，，將沿對折至，使得．（1）證明：；（2）求面與面所成的二面角的正弦值．18．（17分）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽都由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分，若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，各次投中與否相互獨立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率；（2）假設，為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，則該由誰參加第一階段比賽？為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？19．（17分）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構造點，3，，過斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設為△的面積，證明：對任意的正整數(shù)，．

2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（新高考Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分。每小題給出的備選答案中，只有一個是符號題意的。1．已知，則A．0 B．1 C． D．2【解析】：，則．故選：．2．已知命題，，命題，，則A．和都是真命題 B．和都是真命題 C．和都是真命題 D．和都是真命題【解析】：命題：，，時，不成立，所以命題：是假命題；則是真命題．命題，，時成立，所以命題是真命題，是假命題；所以和都是真命題．故選：．3．已知向量，滿足：，，且，則A． B． C． D．1【解析】：向量，滿足，，且，可得，，可得，所以．故選：．4．某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：并部分整理下表：畝產量，，，，，，生產數(shù)61218302410據(jù)表中數(shù)據(jù)，結論中正確的是A．100塊稻田畝產量中位數(shù)小于 B．100塊稻田中的畝產量低于的稻田所占比例超過 C．100塊稻田畝產量的極差介于至之間 D．100塊稻田畝產量的平均值介于至之間【解析】：對于，根據(jù)頻率分布表知，，所以100塊稻田畝產量中位數(shù)不小于，選項錯誤；對于，畝產量不低于的稻田頻數(shù)為，所以畝產量低于的稻田所占比例為，選項錯誤；對于，畝產量的極差最大值為，最小值為，所以極差介于至之間，選項正確；對于，估計平均數(shù)為，選項錯誤．故選：．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，未填入表中的稻田的畝產量數(shù)為30．對于選項A，如果未填入表中的數(shù)據(jù)均在1050以上，則所給數(shù)據(jù)的中位數(shù)在區(qū)間[1050,1150)中，選項A錯誤；對于選項B，如果未填入表中的數(shù)據(jù)均在1150以上，則所給數(shù)據(jù)低于1100的比例為在36%到60%之間，選項B錯誤；對于選項C，所給數(shù)據(jù)極差最大可能為1200?900=300，最小可能為1150?950=200，選項C正確；對于選項D，考慮到所給數(shù)據(jù)平均數(shù)大于1000，因此所給數(shù)據(jù)的平均值大于1000，選項D錯誤．5．已知曲線，從上任意一點向軸作垂線，為垂足，則線段的中點的軌跡方程為A． B． C． D．【解析】：設，，則，由中點坐標公式得，因為點在曲線上，所以，故線段的中點的軌跡方程為．故選：．6．設函數(shù)，為常數(shù)），當時，曲線與恰有一個交點，則A． B． C．1 D．2【解析】：因為函數(shù)，，所以由得，，設，則是偶函數(shù)，時，曲線與恰有一個交點等價于直線與函數(shù)在處相切，代入得．故選：．7．已知正三棱臺的體積為，，，則與平面所成角的正切值為A． B．1 C．2 D．3【解析】：設棱臺的高為，三條側棱延長后交于一點，則由得：到上底面的距離為，到下底面的距離為，所以與平面所成角即為與平面所成角，又，，所以，解得，因為上底面中心到頂點的距離為，所以與平面所成角的正切值為．故選：．8．設函數(shù)，若，則的最小值為A． B． C． D．1【解析】：的定義域為，令，得，令，得，因為，當時，，所以，則，當時，，所以，則，故，即，所以，當且僅當，時等號成立．故選：．解法二：在處變號，在處變號，因此若，則,從而，故選：．解法三：思路：先求定義域：的定義域為，分類討論與的大小關系，結合符號分析判斷，即可得，代入可得最值；由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；若，當時，可知，此時，不合題意；若，當時，可知，此時，不合題意；若，當時，可知，此時；當時，可知，此時；可知若，符合題意；若，當時，可知，此時，不合題意；綜上所述：，即，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為；二、選擇題：本大題共小3題，每小題6分，滿分18分。每小題給出的備選答案中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得3分，選錯或不選的得0分。9．對于函數(shù)和，下列正確的有A．與有相同零點 B．與有相同最大值 C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對稱軸【解析】：對于，令，解得，，即為零點，令，解得，，即為零點，故，零點不同，，，故錯誤；對于，，，，，兩函數(shù)有相同的最大值，故正確；對于，顯然兩函數(shù)最小正周期都為，故正確；對于，由，得，函數(shù)的對稱軸是，，由，得，函數(shù)的對稱軸是，，故錯誤．故選：．10．拋物線的準線為，為上的動點，過作的一條切線，為切點，過點作的垂線，垂足為，則A．與相切 B．當，，三點共線時， C．當時， D．滿足的點有且僅有2個【解析】：對于，拋物線的準線為，是的一條切線，選項正確；對于，的圓心為，當、、三點共線時，，所以，選項正確；對于，當時，或，對應的或，當時，，，與并不垂直，選項錯誤；對于，焦點，，則等價于在的中垂線上，該直線的方程為，它與拋物線有兩交點，選項正確．故選：．11．設函數(shù)，則A．當時，有三個零點 B．當時，是的極大值點 C．存在，，使得為曲線的對稱軸 D．存在，使得點，（1）為曲線的對稱中心【解析】：由，得，對于，當時，在上單調遞減，在和上單調遞增；的極大值，的極小值（a），所以有三個零點，故正確；對于，當時，在上單調遞減，在和上單調遞增，是極小值點，故錯誤；對于，任何三次函數(shù)不存在對稱軸，故錯誤；對于，當時，，關于點中心對稱，故正確．故選：．對于.法二考慮到三次函數(shù)的圖像特征如果存在對稱中心，兩個極值點一定關于，（1）對稱，所以a+0=2，且（a）+1=2（1）解得.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則95．【解析】：解法一：等差數(shù)列中，，，解得，，，則．故答案為：95．解法二：13．已知為第一象限角，為第三象限角，，，則．【解析】：因為為第一象限角，為第三象限角，所以，，因為，，所以，所以，，所以則．故答案為：．14．在如圖的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有24種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個數(shù)之和的最大值是．【解析】：解法一：在如圖的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格的4個數(shù)之和的最大值是：．故答案為：24；112．解法二：注意到表格中每一列中的兩位數(shù)十位數(shù)字是相同的，所以第一行選個位是1的數(shù)，第二行選個位是3的數(shù)，第三行選個位是3的數(shù)，第四行選個位是5的數(shù)，考慮這四個數(shù)分布各列，所以選定．四、解答題：本題共5小題，滿分77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，求周長．【解析】：解法一：（1）因為，所以，即，由為三角形內角，得，即；解法二：【山西省運城市張曉曉補解】由，又，消去得到：，解得，又，故（2）因為，，由正弦定理可得：，可得，又因為，所以，，在中，由正弦定理得，所以，，所以的周長為．綜上，的周長為．16．（15分）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求的取值范圍．【解析】：（1）函數(shù)，當時，，，（1），切點坐標為，切線的斜率為（1），曲線在點，（1）處的切線方程為：，整理得：．（2）函數(shù)，，當時，，函數(shù)在上單調遞增，此時函數(shù)無極值，，令，得，當時，，當時，，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，，令，，在上單調遞減，（1），等價于，的取值范圍是．17．（15分）如圖，平面四邊形中，，，，，，點，滿足，，將沿對折至，使得．（1）證明：；（2）求面與面所成的二面角的正弦值．【解析】：（1）證明：在中，，，，所以，所以，所以，所以，所以，由折疊的性質可知，又，，面，所以面，又面，所以．（2），，，所以，，，所以，所以，又因為，，，面，所以面，又面，所以，所以，，所在直線兩兩垂直，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，0，，，，，，0，，，，，則，，，，，，所以，，，，0，，，，，，，，設平面的法向量，，，所以，設，則，，所以，2，，設平面的法向量，，，所以，設，則，，所以，，，設平面與平面所成的二面角為，，，所以．18．（17分）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽都由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分，若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，各次投中與否相互獨立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率；（2）假設，為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，則該由誰參加第一階段比賽？為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？【解析】：（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，甲第一階段至少投中一次，乙第二階段至少投中一次，甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率為：．（2）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在人的比賽成績?yōu)?5分的概率為：，若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為：，，，為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，該由甲參加第一階段的比賽．若甲先參加第一階段的比賽，數(shù)學成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，，記乙參加第一階段比賽，數(shù)學成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，，因為，所以，為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)與期望最大，應該由甲參加第一階段比賽．19．（17分）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構造點，3，，過斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設為△的面積，證明：對任意的正整數(shù)，．【解析】：（1）在上，，解得，