湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試 數(shù)學(xué)試題

長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試題卷共4頁(yè).時(shí)量120分鐘，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（）A.B.C.D.3.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A.第673項(xiàng)B.第674項(xiàng)C.第675項(xiàng)D.第676項(xiàng)4.銅鼓是流行于中國(guó)古代南方一些少數(shù)民族地區(qū)的禮樂(lè)器物，已有數(shù)千年歷史，是作為祭祀器具和打擊樂(lè)器使用的.如圖，用青銅打造的實(shí)心銅鼓可看作由兩個(gè)具有公共底面的相同圓臺(tái)構(gòu)成，上下底面的半徑均為25cm，公共底面的半徑為15cm，銅鼓總高度為30cm.已知青銅的密度約為，現(xiàn)有青銅材料1000kg，則最多可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為（）（注：）A.1B.2C.3D.45.已知定義在上的函數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），且，則（）A.B.C.D.6.已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)，對(duì)于任意的，都恒成立，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（）A.3B.9C.3或9D.8.如圖，已知長(zhǎng)方體中，為正方形的中心點(diǎn)，將長(zhǎng)方體繞直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn).若平面滿足直線與所成的角為，直線，則旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直線與夾角的正弦值的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)研究所為推進(jìn)對(duì)機(jī)床設(shè)備的優(yōu)化，成立兩個(gè)小組在原產(chǎn)品的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同方向的研發(fā)，組偏向于智能自動(dòng)化方向，組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法各抽取6臺(tái)進(jìn)行性能指標(biāo)測(cè)試（滿分：100分），測(cè)得組性能得分為：組性能得分為：，則（）A.組性能得分的平均數(shù)比組性能得分的平均數(shù)高B.組性能得分的中位數(shù)比組性能得分的中位數(shù)小C.組性能得分的極差比組性能得分的極差大D.組性能得分的第75百分位數(shù)比組性能得分的平均數(shù)大10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的莖或根上，使接在一起的兩個(gè)部分長(zhǎng)成一個(gè)完整的植株.已知某段圓柱形的樹枝通過(guò)利用刀具進(jìn)行斜辟，形成兩個(gè)橢圓形截面，如圖所示，其中分別為兩個(gè)截面橢圓的長(zhǎng)軸，且都位于圓柱的同一個(gè)軸截面上，是圓柱截面圓的一條直徑，設(shè)上?下兩個(gè)截面橢圓的離心率分別為，則能夠保證的的值可以是（）A.B.C.D.11.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”，則滿足條件的實(shí)數(shù)的值可能為（）A.B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則__________.13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.①是常數(shù)，且；②；③的前項(xiàng)和存在最小值.14.清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁?查理?卡特蘭的名字命名）.有如下問(wèn)題：在的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的過(guò)程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過(guò)，但可以到達(dá)該連線），則共有多少種不同的走法？此問(wèn)題的結(jié)果即卡特蘭數(shù).如圖，現(xiàn)有的格子，每一步只能往上或往右走一格，則從左下角走到右上角共有__________種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過(guò)程中只能在直線的右下方，但可以到達(dá)直線，則有__________種不同的走法.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直軸，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心為.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）記第（1）問(wèn)中的軌跡為曲線，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是的垂心，求直線的方程.16.（本小題滿分15分）如圖，四邊形為圓臺(tái)的軸截面，，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，母線長(zhǎng)為是的中點(diǎn).（1）已知圓內(nèi)存在點(diǎn)，使得平面，作出點(diǎn)的軌跡（寫出解題過(guò)程）；（2）點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)（不同于），，求平面與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）素質(zhì)教育是當(dāng)今教育改革的主旋律，音樂(lè)教育是素質(zhì)教育的重要組成部分，對(duì)于陶冶學(xué)生的情操?增強(qiáng)學(xué)生的表現(xiàn)力和自信心?提高學(xué)生的綜合素質(zhì)等有重要意義.為推進(jìn)音樂(lè)素養(yǎng)教育，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，某校開設(shè)了一年的音樂(lè)素養(yǎng)選修課，包括一個(gè)聲樂(lè)班和一個(gè)器樂(lè)班，已知聲樂(lè)班的學(xué)生有24名，器樂(lè)班的學(xué)生有28名，課程結(jié)束后兩個(gè)班分別舉行音樂(lè)素養(yǎng)過(guò)關(guān)測(cè)試，且每人是否通過(guò)測(cè)試是相互獨(dú)立的.（1）聲樂(lè)班的學(xué)生全部進(jìn)行測(cè)試.若聲樂(lè)班每名學(xué)生通過(guò)測(cè)試的概率都為，設(shè)聲樂(lè)班的學(xué)生中恰有3名通過(guò)測(cè)試的概率為，求的極大值點(diǎn).（2）器樂(lè)班采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行測(cè)試.若器樂(lè)班的學(xué)生中有4人學(xué)習(xí)鋼琴，有8人學(xué)習(xí)小提琴，有16人學(xué)習(xí)電子琴，按學(xué)習(xí)的樂(lè)器利用分層隨機(jī)抽樣的方法從器樂(lè)班的學(xué)生中抽取7人，再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行測(cè)試，設(shè)抽到學(xué)習(xí)電子琴的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.（本小題滿分17分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，集合共有5個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若數(shù)列中，，求證：19.（本小題滿分17分）設(shè)有維向量，稱為向量和的內(nèi)積，當(dāng)，稱向量和正交.設(shè)為全體由和1構(gòu)成的元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合.（1）若，寫出一個(gè)向量，使得；（2）令.若，證明：為偶數(shù)；（3）若是從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足，猜測(cè)的值，并給出一個(gè)實(shí)例.長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)參考答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.題號(hào)1234567891011答案ACDCDDAAADADBD6.D【解析】由題得的焦點(diǎn)為，設(shè)傾斜角為的直線的方程為，與的方程（聯(lián)立得，設(shè)，則，故的方程為.由拋物線定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，聯(lián)立拋物線與直線，化簡(jiǎn)得，由得與相離.分別是過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線?直線以及過(guò)點(diǎn)向直線引垂線的垂足，連接，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到直線的距離之和，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)，所以到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即.故選：D.7.A【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，得，因此.由知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則①.由知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則②.②-①得，令，則，結(jié)合可得或9.當(dāng)時(shí)，代入（1）得，又，所以，此時(shí)，因?yàn)?，故在上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，代入（1）得，又，所以，此時(shí)，因?yàn)?，故在上不是單調(diào)遞增的，所以不符合題意，應(yīng)舍去.綜上，的值為3.故選：A.8.A【解析】在長(zhǎng)方體中，，則直線與的夾角等于直線與的夾角.長(zhǎng)方體中，為正方形的中心點(diǎn)，則，又，所以是等邊三角形，故直線與的夾角為.則繞直線旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓錐，如圖所示，.因?yàn)橹本€與所成的角為，所以直線與的夾角為.在平面中，作，使得.結(jié)合圖形可知，當(dāng)與直線平行時(shí)，與的夾角最小，為，易知.設(shè)直線與的夾角為，則，故當(dāng)時(shí)最小，而，故直線與的夾角的正弦值的最小值為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.AD10.AD11.BD【解析】由，可得，即，若，可得，符合題意，若，可得，不符合題意，若，可得，不符合題意，若，可得，不符合題意，綜上所述，可得，故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的是否為最大值即可.對(duì)于，由題知，而，，所以.（點(diǎn)撥：函數(shù)為減函數(shù)，為減函數(shù)），對(duì)于A，；對(duì)于B，，故A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)于C，D（將0.9轉(zhuǎn)化為，方便構(gòu)造函數(shù)）構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所?（若找選項(xiàng)中的最大值，下面只需判斷與的大小即可），構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即單調(diào)遞減，又，所以，即，所以.綜上，.對(duì)于C，；對(duì)于D，，故C錯(cuò)誤，D正確.（提醒：本題要比較0.09與的大小關(guān)系的話可以利用作差法判斷，即，構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，所以）故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【解析】由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，故，故答案為：13.（答案不唯一）14.35；14四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.【解析】（1）設(shè)，則，因?yàn)榈闹匦模视校?，解得，代入，化?jiǎn)得，又，故，所以的軌跡方程為.（2）因?yàn)榈拇剐?，故有，又，所以，故設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得：，由得，設(shè)，則，由，得，所以，所以，所以，化簡(jiǎn)得，解得（舍去）或（滿足），故直線的方程為.16.【解析】（1）是的中點(diǎn)，.要滿足平面，需滿足，又平面平面平面如圖，過(guò)作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)，過(guò)作的平行線，交圓于，則線段即點(diǎn)的軌跡.（2）易知可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，母線長(zhǎng)為，母線與底面所成角為，，取的位置如圖所示，連接，，即，則，則.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面與平面所成的角為，則，.17.【解析】（1）24名學(xué)生中恰有3名通過(guò)測(cè)試的概率，則，令，得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故的極大值點(diǎn).（2）利用分層隨機(jī)抽樣的方法從28名學(xué)生中抽取7名，則7名學(xué)生中學(xué)習(xí)鋼琴的有1名，學(xué)習(xí)小提琴的有2名，學(xué)習(xí)電子琴的有4名，所以的所有可能取值為，，，則隨機(jī)變量的分布列為01