山東省聊城市第二中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題含答案

2022級(jí)高三上學(xué)期第一次考試（開學(xué)考）數(shù)學(xué)試題第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B．2,3 C． D．2．下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．3．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．已知，，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，一個(gè)半徑為米的筒車按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)圈，筒車的軸心距離水面的高度為米．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系可以表示為（

）

A． B．C． D．6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．7．若是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)a，b，c，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．第II卷二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．以下說法正確的是（

）A．“，”的否定是“，”B．“”是“”的充分不必要條件C．若一扇形弧長(zhǎng)為，圓心角為，則該扇形的面積為D．“，”是真命題，則10．若實(shí)數(shù)、滿足，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A．B．在上單調(diào)遞增C．若、，且，則D．把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再把所得曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知冪函數(shù)的圖象通過點(diǎn)，則．13．若，且，則的最小值為．14．在中，，的角平分線交BC于D，則．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．函數(shù)的值域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)．(1)求的值；(2)已知為銳角，，求．[2023?新課標(biāo)I卷]17．已知在中，A+B=3C,2sinA?C(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．18．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明你的判斷；(2)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是為奇函數(shù)．依據(jù)上述結(jié)論，證明：的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形．19．已知函數(shù)，、是的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，且．(1)求的值及函數(shù)在上的最小值；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．1．C【分析】利用補(bǔ)集和交集的概念求出答案.【詳解】，故.故選：C2．B【分析】由三角函數(shù)周期性，奇偶性逐一判斷每一選項(xiàng)即可求解.【詳解】對(duì)于A，是奇函數(shù)不滿足題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，首先定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是偶函數(shù)，又，所以是周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：由此可知函數(shù)不是周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.3．A【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，則，.則.故選：A.4．D【分析】直接判斷的范圍，再比較大小.【詳解】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得,,利用誘導(dǎo)公式可得所以.故選：D5．A【分析】設(shè)，由，可求得、的值，由題意得出函數(shù)的最小正周期，可求得的值，然后由結(jié)合的取值范圍可得出的值，由此可得出與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系式.【詳解】設(shè)，由題意可知，，，解得，，函數(shù)的最小正周期為，則，當(dāng)時(shí)，，可得，又因?yàn)?，則，故，故選：A.6．C【分析】由解析式判斷出函數(shù)的奇偶性，再帶入特殊點(diǎn)逐一排除即可.【詳解】由函數(shù)可知定義域?yàn)?且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)B;因?yàn)?，故排除選項(xiàng)A;因?yàn)椋逝懦x項(xiàng)D.故選：C.7．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由于是三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以，則，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得，即的取值范圍為.故選：B8．B【分析】畫出函數(shù)和的圖象，得到，，且，化簡(jiǎn)得到，利用基本不等式求出最小值.【詳解】畫出的圖象和的圖象，如下：由題意得，，且，即，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：B【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)問題：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡(jiǎn)化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對(duì)稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通?？紤]圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.9．ACD【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可判斷A，根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷B選項(xiàng)；由扇形的弧長(zhǎng)與面積公式可求C，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論，分為和兩種情形，結(jié)合判別式可得結(jié)果判斷D.【詳解】對(duì)于A，“，”的否定是“，”，故A正確；對(duì)于B，即，解得，因?yàn)樗浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，扇形弧長(zhǎng)為，圓心角為，所以扇形的半徑長(zhǎng)為，則該扇形面積為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椤?，”是真命題，即，對(duì)恒成立.當(dāng)時(shí)，命題成立；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上可得，，故D正確；故選：ACD.10．BC【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用特殊值法可判斷A選項(xiàng)；利用作差法可判斷B選項(xiàng)；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用中間值可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，由，可得，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，可得，所以，，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選：BC.11．ACD【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，可判斷A選項(xiàng)；利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用余弦型函數(shù)的對(duì)稱性可求出的值，代值計(jì)算出的值，可判斷C選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知，，函數(shù)的最小正周期滿足，可得，則，則，又因?yàn)?，可得，因?yàn)椋瑒t，所以，，可得，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若、，且，則，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，再將所得曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則，D對(duì).故選：ACD.12．##0.5【分析】由冪函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)過求得函數(shù)解析式，進(jìn)而可得的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為∵冪函數(shù)過點(diǎn)∴∴∴該函數(shù)的解析式為，∴.故答案為：13．8【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解.【詳解】因?yàn)槿?，且，則，又因?yàn)?，所以，令，則，即，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.故答案為：8.14．【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．15．(1)(2)【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在上的最大值和最小值，即可得出集合；（2）求出集合，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可.【詳解】（1）解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)有最大值，且最大值為，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，所以．（2）解：由，得，解得，所以，，因?yàn)?，所以，解得．故?shí)數(shù)的取值范圍．16．(1)(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求出的值，利用誘導(dǎo)公式以及弦化切可求得所求代數(shù)式的值；（2）求出的值，利用兩角差的正弦公式求出的值，結(jié)合角的范圍可求得角的值.【詳解】（1）解：因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，則，，．．（2）解：因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以為第四象限角，即，又因?yàn)闉殇J角，則，可得，因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以．則．所以．17．(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，，.18．(1)單調(diào)遞減，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用單調(diào)性得定義證明即可；（2）構(gòu)造，只需證明為奇函數(shù)即可.【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減．證明如下：任取，且，．因?yàn)?，且，所以，，所以，即，故函?shù)在上單調(diào)遞減．（2）證明：設(shè)，則．因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)．故的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形．19．(1)，最小值為(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，根據(jù)題中信息求出函數(shù)的最小正周期，可得出的值