2021年湖南省婁底市(初三學業(yè)水平考試)中考數(shù)學真題試卷含詳解

2021年湖南省婁底市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把

你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應題號下的方框里）

1.2021的倒數(shù)是（）

11

A.2021B.-2021c.-----D.------

20212021

2.下列式子正確的是（)

25

A.a，-a2-aB.(叫"C.a3-a2^a6D.a]'=a

3.2021年5月19日，第三屆阿里數(shù)學競賽預選賽順利結束，本屆大賽在全球范圍內吸引了約5萬名數(shù)學愛好者參

加.阿里數(shù)學競賽旨在全球范圍內引領開啟關注數(shù)學、理解數(shù)學、欣賞數(shù)學、助力數(shù)學的科學風尚.5萬用科學記

數(shù)法表示為（）

A.0.5xlO5B.5xl04C.50xl04D.5xl05

4.一組數(shù)據(jù)17,10,5,8,5,15的中位數(shù)和眾數(shù)是（）

A.5,5B.8,5C,9,5D.10,5

5.如圖，點區(qū)尸在矩形A8CO的對角線8。所在的直線上，BE=DF,則四邊形AEC尸是（）

A,平行四邊形B.矩形C.菱形D,正方形

6.如圖，A3//C。，點￡尸在AC邊上，已知NCE0=7O°,ZBFC=130°,則ZB+ND的度數(shù)為（）

B

E

A.40°B.50°C.60°D.70°

7.從背面朝上的分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，隨機抽取一張，則

所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為（）

8.2,5,機是某三角形三邊的長，則J（巾_3）2+｛（m_7）2等于（）

A.2m-10B.10-2mC.10D.4

x+Z?>0

9.如圖，直線y=x+匕和y=卮+4與X軸分別相交于點4-4,0）,點B（2,0）,則〈/八解集為（）

kx+4>0

C.x>2D.或尤>2

10.如圖，直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿X軸移動，當。A與直線/:y=2x只有一個公共點時,

點A的坐標為（）

C.(±12,0)D.(±13,0)

11.根據(jù)反比例函數(shù)的性質、聯(lián)系化學學科中的溶質質量分數(shù)的求法以及生活體驗等，判定下列有關函數(shù)），==一

a+x

（。為常數(shù)且a>0,x>0）的性質表述中，正確的是（）

①），隨x的增大而增大；②），隨x的增大而減??；③0<y<l；④OKyKl

A.①③B.①④C.②③D.②④

2

12.用數(shù)形結合等思想方法確定二次函數(shù)y=/+2的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象的交點的橫坐標/所在的范

x

圍是（）

c，11133

A0<廝<-B.—<<—C.—<x（<—D.—<%<1

°440220｝440

二、填空題（本大題共6小題）

13.函數(shù)y=石二I中，自變量x的取值范圍是.

14.如圖所示的扇形中，已知。4=20,AC=30,A6=40，則CO=.

15.如圖，AABC中，A8=AC=2,尸是3c上任意一點，AB于點民PE，AC于點，若

SAABC=1,則P￡+PR=

16.已知產一3/+l=0,則r+l=.

t

17.高速公路上有一種標線叫縱向減速標線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時減速慢行.如圖，用

平行四邊形A8CZ）表示一個“魚骨”，A3平行于車輛前行方向，BE_LAB,NCBE=。，過8作的垂線，

垂足為A5點的視覺錯覺點），若sinc=0.05,AB=300mm,則A4，=mm.

18.弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作Irad.已知

<z=lrad,4=60。，則a與4的大小關系是a0

三、解答題（本大題共2小題）

1/1\'

19.計算：（J2021-萬）°+7—+--2cos450.

V2+112；

20.先化簡，再求值：二（1-與Y],其中x是1,2,3中的一個合適的數(shù).

四、解答題（本大題共2小題）

21.“讀書，點亮未來”，廣泛課外閱讀是同學們搜集和汲取知識的一條重要途徑.學校圖書館計劃購進一批學

生喜歡的圖書，為了了解學生們對“A文史類、B科普類、C生活類、。其它”的喜歡程度，隨機抽取了部分學生

進行問卷調查（每個學生只選其中一類），將所得數(shù)據(jù)進行分類統(tǒng)計繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表，請根據(jù)圖中的

信息，解答下列問題：

統(tǒng)計表：

頻數(shù)頻率

A歷史

50m

類

8科普

9000.45

類

C生活

n0.20

類

。其它200.10

合計

（1）本次調查的學生共人；

（2）m-,n=;

（3）補全條形統(tǒng)計圖.

條形統(tǒng)計圖

22.我國航天事業(yè)捷報頻傳，天舟二號于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人心.當天舟二號從地面到達點A處時,

在P處測得A點的仰角NDPA為30。且A與尸兩點的距離為6千米，它沿鉛垂線上升75秒后到達8處，此時在P

處測得B點的仰角尸3為45。，求天舟二號從A處到8處的平均速度.(結果精確到Im/s,取

73=1.732,72=1.414)

B

五、解答題(本大題共2小題)

23.為了慶祝中國共產黨建黨一百周年，某校舉行“禮贊百年，奮斗有我”演講比賽，準備購買甲、乙兩種紀念品

獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學生.已知購買1個甲種紀念品和2個乙種紀念品共需20元，購買2個甲種紀念品和5

個乙種紀念品共需45元.

(1)求購買一個甲種紀念品和一個乙種紀念品各需多少元；

(2)若要購買這兩種紀念品共100個，投入資金不少于766元又不多于800

元，問有多少種購買方案？并求出所花資金的最小值.

24.如圖，點A在以8C為直徑。。上，NA8C的角平分線與AC相交于點E,與。。相交于點。延長C4至

M,連結BM,使得=過點A作的平行線與CO的延長線交于點N.

(1)求證：8M與。。相切；

(2)試給出AC,AQ,CN之間的數(shù)量關系，并予以證明.

六、綜合題(本大題共2小題)

25.如圖①，E、F是等腰RA3C的斜邊8C上的兩動點，NE4尸=45。，CDLBC且CD=BE

圄②

(1)求證：/XABE^AACD；

(2)求證：EF2=BE2+CF2；

(3)如圖②，作AH，6C,垂足為“，設NEAH=a,匕FAH=B、不妨設A6=J5,請利用(2)的結論

c,-c/八、tana+tanB.

證明：當a+4=45°時，tan(a+/?)=-----------^成立.

1-tan(7-tanp

26.如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù))，=/+法+。圖象與x軸相交于點A(—l,0)和點以3,0),與)，軸交于點

C.

y

(1)求b、c的值；

(2)點P(/n,“)為拋物線上的動點，過P作x軸的垂線交直線/：y=x于點Q.

①當0＜加＜3時，求當尸點到直線/：y=x的距離最大時"?的值；

②是否存在，"，使得以點。、C,P、Q為頂點的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出〃，的值.

2021年湖南省婁底市中考數(shù)學試卷

一、選擇題(本大題共12小題，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把

你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應題號下的方框里)

1.2021的倒數(shù)是()

11

A.2021B.-2021C.-----D.-----------

20212021

【答案】C

【分析】直接根據(jù)倒數(shù)的定義就可選出正確答案.

【詳解】A：倒數(shù)是本身的數(shù)是1和-1,選項錯誤.

B：-2021是2021的相反數(shù)，選項錯誤.

C：2021x」一=l,選項正確.

2021

D：2021x(—^^)=—1,選項錯誤.

故選：C

【點睛】本題考查倒數(shù)的定義，要注意區(qū)別相反數(shù)等相關知識，牢記定義是解題的關鍵.

2.下列式子正確的是()

A.o,-a1-aB.(a?)=a，C.a3-a2-a6D.(a?)=a5

【答案】B

【分析】根據(jù)鬲的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘;同底數(shù)鬲相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加;合并同類項法則.對各選項分析

判斷后利用排除法求解選擇正確選項即可.

32

【詳解】A、a-a=a,因為/和/不屬于同類項，不能進行加減合并，故A錯誤；

B、(/丫=22*3=*,故B正確；

C、a3-a2=a3+2=a5,故C錯誤;

D.(o2)3=a2x3=a6,故D錯誤.

故選：B.

【點睛】本題考查毒的乘方、同底數(shù)毒的乘法、合并同類項，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵.

3.2021年5月19日，第三屆阿里數(shù)學競賽預選賽順利結束，本屆大賽在全球范圍內吸弓I了約5

萬名數(shù)學愛好者參加.阿里數(shù)學競賽旨在全球范圍內引領開啟關注數(shù)學、理解數(shù)學、欣賞數(shù)學、助力數(shù)學的科學風

尚.5萬用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.5xlO5B.5xl04C.50xl04D.5xl05

【答案】B

【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為4X10,其中七同＜10,"為整數(shù)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解:5萬=50000=5x104.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，確定。與〃的值是解題的關鍵.

4.一組數(shù)據(jù)17,10,5,8,5,15的中位數(shù)和眾數(shù)是（）

A.5,5B.8,5C.9,5D,10,5

【答案】C

【分析】本題考查統(tǒng)計的有關知識，找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平

均數(shù)為中位數(shù);眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個.

【詳解】這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：5,5,8,10,15,17,

因此中位數(shù)為：*型=9,眾數(shù)為：5.

2

故選：C.

【點睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，熟悉基礎概念是解題的關鍵.

5.如圖，點在矩形ABCO的對角線8D所在的直線上，BE=DF,則四邊形A￡C尸是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【分析】利用三角形全等的性質得，對應邊相等及對應角相等，得出一組對邊平行且相等，即可判斷出形狀.

【詳解】解：由題意：

AD//BC,：.ZADB=ZCBD,

：.4FDA=/EBC,

又AD=BC,BE=DF,

：.AADF^,CBE(SAS),

AF=EC,

ZAFD=NCEB,：.AF//EC,

四邊形AECF為平行四邊形，

故選：A.

【點睛】本題考查了矩形的性質，三角形全等的判定定理及性質、平行四邊形的判定，解題的關鍵是：掌握平行四

邊形判定定理，利用三角形全等去得出相應條件.

6.如圖，AB//CD,點￡,尸在AC邊上，已知NCED=70°,ZBFC=130°,則NB+N。的度數(shù)為()

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】C

【分析】取的交點為點G,過點G作平行于CO的線MN,利用兩直線平行的性質，找到角之間的關系,

通過等量代換即可求解.

【詳解】解：取的交點為點G,過點G作平行于8的線MN,如下圖：

B

根據(jù)題意：NCED=70°,NBFC=130°,

:.ZEFG=5O°,

NEGF=180°-50°-70°=60°,

MN//CD//AB,

：.ZB=/BGN,ND=NDGN,

:.ZB+ZD=/BGN+ZDGN=ZBGD,

ED,8/相交于點G,

:.NEGF=ZBGD=60。,

ZB+ZD=60°,

故選：C.

【點睛】本題考查了兩直線平行的性質和兩直線相交對頂角相等，解題的關鍵是：添加輔助線，利用兩直線平行的

性質和對頂角相等，同過等量代換即可得解.

7.從背面朝上的分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，隨機抽取一張，則

所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為（）

,1?1八3…

A.—B.—C.-D.1

424

【答案】B

【分析】分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，其中既是軸對稱圖形，又

是中心對稱圖形的是：矩形，圓，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：:分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，其中既是軸對稱圖

形，又是中心對稱圖形的是：矩形，圓；

21

???現(xiàn)從中任意抽取一張，則所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為二，

42

故選：B.

【點睛】本題考查了概率公式的應用，解題的關鍵是：首先判斷出既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的圖形，然

后利用概率公式求解.

8.2,5,M是某三角形三邊的長，則“〃一3)2+J(加一7)2等于()

A.2/n-10B.10-2mC.10D.4

【答案】D

【分析】先根據(jù)三角形三邊的關系求出團的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結論.

【詳解】解:2,3,〃?是三角形的三邊，

.,.5-2<m<5+2,

解得：3<x<7,

J(加-3)2+&〃?-7)2-m—3+7—m-4,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式的性質及化簡，解題的關鍵是：先根據(jù)題意求出"2的范圍，再對二次根式化簡.

x+b>0

9.如圖，直線y=x+b和y="+4與x軸分別相交于點A(-4,0),點3(2,0),則《，、解集為()

依+4>0

A.-4<x<2B.x<-4C.x>2D.x<-4或x>2

【答案】A

【分析】根據(jù)圖像以及兩交點A(T,0),點5(2,0)的坐標得出即可.

【詳解】解：?.?直線y=x+匕和丁=履+4與x軸分別相交于點A(—4,0),點6(2,0),

x+b>0

...觀察圖像可知八解集為-4<x<2,

勺+4〉0

故選：A.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式組，能根據(jù)圖像和交點坐標得出答案是解此題的關鍵.

10.如圖，直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當。A與直線/：y=2x只有一個公共點時,

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

【答案】D

【分析】當。A與直線/：)，='》只有一個公共點時，則此時。A與直線/：>=卷》相切，(需考慮左右兩側相切

的情況)；設切點為3,此時3點同時在。A與直線/:>=得無上，故可以表示出3點坐標，過3點作5C〃Q4,

則此時八4。86408。，利用相似三角形的性質算出OA長度，最終得出結論.

【詳解】如下圖所示，連接A8,過8點作8C//Q4,

此時B點坐標可表示為（龍,18

I12

.?."=2葉BC=|x|

在RfOBC中，OB=+oc?=爐+(才xj=*國

又?；，A半徑為5,

AB=5.

???BC//OA,

???MOBs40BC、

n?OAABOB

BOOCBC

OA_5

A-\x\-|%|,

12111211

.?.04=13.

?.?左右兩側都有相切的可能,

...A點坐標為(±13,0),

故選：D.

【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知相似三角形的判定與性質是解答此題的關鍵.

11.根據(jù)反比例函數(shù)的性質、聯(lián)系化學學科中的溶質質量分數(shù)的求法以及生活體驗等，判定下列有關函數(shù)y=」一

a+x

（“為常數(shù)且a〉0,x>0）的性質表述中，正確的是（）

①y隨x的增大而增大；②）隨x的增大而減??；③0<y<l；④

A.①③B.①④C.②③D.②?

【答案】A

【分析】該函數(shù)可改寫為y='一二-+〃—〃=1一—9_=二￡。+1（a為常數(shù)且a>0,x>0）,此時可以類比反

a+xa+xa+xa+x

比例函數(shù)的性質進行判斷，或者利用賦值法也可快速進行選擇，選擇正確的選項即可.

…E事xx+a—a?a-a

［詳解］解：y=——=--------=1-------=——+1,

a+xa+xa+xa+x

又<?>0,x>0,

，隨著X的增大，Q+x也會隨之增大，

.?.—L隨著X的增大而減小，

a+x

此時」一越來越小，貝心--L越來越大，

a+xa+x

故隨著X的增大.y也越來越大.

因此①正確，②錯誤；

,/?>0,x>0,

.\0<—<1,

a+x

/.0<1--—<1,

a+x

故0<y<1,

因此③正確，④錯誤；

綜上所述，A選項符合.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質，解題的關鍵是將已知函數(shù)的形式進行化簡整理轉化為反比例函數(shù)進行

判斷.

2

12.用數(shù)形結合等思想方法確定二次函數(shù)y=/+2的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象的交點的橫坐標/所在的范

x

圍是（）

11/1,33

A.0<44■-B.—〈/4—C.一</■D.一<x（Vl

°440220?4401

【答案】D

【分析】在同一個直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，來判斷出交點橫坐標/所在的范圍.

【詳解】解：在同一個直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如下圖：

由圖知，顯然

2

3?

當/=士時，將其分別代入丫=/+2與曠=—計算得；

4x

9c4128

■11616233.

4

8415八

?,y-y.=-----=——>0,

2131648

???此時反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象的上方，

一<X,<1

4。

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，解題的關鍵是：準確畫出函數(shù)的圖象，再通過關鍵點得出答案.

二、填空題（本大題共6小題）

13.函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是

【答案】X>1

【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，二次根式有意義的條件是：被開方數(shù)為非負

數(shù).

【詳解】由題意得：x-l2O,

解得：x》l,

故答案為：xel.

【點睛】本題考查了函數(shù)自變量取值范圍，函數(shù)有意義時字母的取值范圍一般從幾個方面考慮：①當函數(shù)解析式

是整式時，字母可取全體實數(shù)；②當函數(shù)解析式是分式時，考慮分式的分母不能為0；③當函數(shù)解析式是二次根式

時，被開方數(shù)為非負數(shù).④對于實際問題中的函數(shù)關系式，自變量的取值除必須使表達式有意義外，還要保證實際

問題有意義.

14.如圖所示的扇形中，已知。4=20,AC=30,A6=40，則CO=_______.

【答案】100.

【分析】先在小扇形中利用扇形弧長公式求解出圓心角度數(shù)，再在大扇形中利用公式求解出弧長即可.

【詳解】解：設扇形圓心角度數(shù)為,

???Q4=20,AB=40,

n

在扇形AOB中，AB=2乃,

360

__360

解Zjz傳：n----

n

???在扇形COD中，OC=614+AC=20+30=50,

360

CD=IK-OC-----2萬x50x^-=100

360360

故答案為：100.

【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算，解題的關鍵是利用圓心角大小不變并熟悉弧長公式進行求解.

15.如圖，一ABC中，A8=AC=2,P是3c上任意一點，PE_L/W于點瓦PE，AC于點F,若S。*=1，

則莊;+產/=

c

￡B

【答案】1

【分析】將..A5C的面積拆成兩個三角形面積之和，即可間接求出PE+P/的值.

【詳解】解：連接AP,如下圖：

r

尸石，AB于點旦尸產，AC于點尸，

SABC~SAPC+SAPB-1

S/A?P/C+S./xArPDB=2-ACPF+-2ABPE

\AB=AC=2.

SAPC+SAPB=PF+PE=1,

：.PE+PF=\,

故答案是.1.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，利用面積法解決兩邊之和問題，解題的關鍵是：將A6c的面積拆成兩

個三角形面積之和來解答.

16.已知產一3t+l=0,貝!!，+:=.

t

【答案】3.

【分析】先將要求解的式子進行改寫整理再利用已知方程進行求解即可.

If2I/+]

【詳解】M：t+-=-+-=—

又：/—3/+1=(),

/+1=3t,

0,11r+13t.

貝iJr+-=----=—=3,

故答案為：3.

【點睛】本題是一元二次方程求對應解的題目，解題的關鍵是將求解式子進行變形再利用已知方程進行簡便運算.

17.高速公路上有一種標線叫縱向減速標線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時減速慢行.如圖，用

平行四邊形ABC。表示一個“魚骨”，AB平行于車輛前行方向，^后工人民/包七二^^過臺作/^的垂線，

垂足為A'（A點的視覺錯覺點），若sina=0.05,A3=300mm,則A4=mm.

【答案】15.

【分析】根據(jù)同角的余角相等得到NA84=Na,進一步根據(jù)三角函數(shù)求解即可

?；ABLAD且四邊形ABCD為平行四邊形，

A'B±BC,NABC=/ABC+NA'3A=90°,

又?:BELAB,

/ABE=ZABC+Za=90°,

：.ZABA=Za.

AA'

：.sinZA'BA=sina=——--0.05,

AB

又AB=300mm,

/.A4'=AB-sinZABA=300x0.05=15mm.

故答案為：15.

【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是利用同角的余角相等找出角的關系，根據(jù)同角三角函數(shù)關系

求值.

18.弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作Irad,已知

a=lrad,￡=60°,則a與尸的大小關系是a(3.

【答案】＜

【分析】根據(jù)弧度的定義，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作Irad,當，=6()。時，三

角形為等邊三角形，所以圓心角所對的弧長比半徑大，即可判斷大小.

【詳解】解：根據(jù)弧度的定義，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作Irad,

當2=60。時，易知三角形為等邊三角形，弦長等于半徑，

???圓心角所對的弧長比半徑大，

:.a＜/3,

故答案是：＜.

【點睛】本題考查了弧度的定義，解題的關鍵是：理解弧度的定義，從而利用定義來判斷.

三、解答題(本大題共2小題)

1/1\'

19.計算：(J2021-萬)°+〒—+--2cos450.

V2+1

【答案】2

【分析】直接利用零指數(shù)累，二次根式分母有理化、負整數(shù)指數(shù)累、特殊角的三角函數(shù)值計算即可.

【詳解】M：(72021-^-)°+-^^—+f-1-2cos45°

V2-1

(V2+1)(72-1)

=I+V2—1+2—V2

=2.

【點睛】本題考查了零指數(shù)毒，二次根式分母有理化、負整數(shù)指數(shù)帚、特殊角的三角函數(shù)值的運算法則，解題的關

鍵是：掌握相關的運算法則.

20.先化簡，再求值：二1(1-2二其中X是1,2,3中的一個合適的數(shù).

-V1!V-(1I

X-11

【答案】

x+3'5

【分析】先計算括號內的異分母分式減法，再計算乘法，最后將可選取的x值代入計算即可.

2x-10

【詳解】解：小-

X2-9

x—3—92x—10

-7^1?[(x+3)(x-3)-(x+3)(x-3)

x—3x~-2x+1

=------------------

x—1(x+3)(x—3)

x—3(X—I)2

x-1(x+3)(x-3)

x-1

x+3'

:％wLxw±3,

x=2,

2-1￡

原式=

2+35

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，正確掌握分式的混合運算法則及確定字母的可取數(shù)值是解題的關鍵.

四、解答題(本大題共2小題)

21.“讀書，點亮未來”，廣泛的課外閱讀是同學們搜集和汲取知識的一條重要途徑.學校圖書館計劃購進一批學

生喜歡的圖書，為了了解學生們對“A文史類、B科普類、C生活類、。其它”的喜歡程度，隨機抽取了部分學生

進行問卷調查(每個學生只選其中一類)，將所得數(shù)據(jù)進行分類統(tǒng)計繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表，請根據(jù)圖中的

信息，解答下列問題：

統(tǒng)計表：

頻數(shù)頻率

4歷史

50m

類

B科普

9000.45

類

C生活

n0.20

類

。其它20010

合計

(1)本次調查的學生共人；

(2)m-“=;

(3)補全條形統(tǒng)計圖.

人數(shù)

條形統(tǒng)計圖

【答案】(1)200；(2)0.25,40；(3)見解析

【分析】(1)用“科普類”的頻數(shù)一頻率，即可求解；

(2)用50?200可得的值，用200X0.2,可得”的值；

(3)利用(2)的數(shù)據(jù)，從而補全條形圖.

【詳解】解：(1)本次調查的學生有：90+0.45=200(名),

故答案是：200；

(2)/n=504-200=0.25,〃=200X0.2=40；

(3)補全直方圖如圖所示：

人數(shù)

【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖以及頻數(shù)分布表，準確找出相關數(shù)據(jù)，是解題的關鍵.

22.我國航天事業(yè)捷報頻傳，天舟二號于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人心.當天舟二號從地面到達點A處時,

在P處測得A點的仰角ZDPA為30。且A與P兩點的距離為6千米，它沿鉛垂線上升75秒后到達8處，此時在P

處測得8點的仰角為45。，求天舟二號從A處到8處的平均速度.（結果精確到Im/s,取

6=1.732,亞=1.414)

【答案】29m/s

【分析】根據(jù)在P處測得A點的仰角為30。且A與P兩點的距離為6千米，可以求出尸。的長，再根據(jù)此時

在P處測得B點的仰角/DP3為45°,用/XBOP為等腰直角三角形，可以間接求出A3的長，再利用平均速度的

計算公式即可求解.

【詳解】解：根據(jù)在P處測得A點的仰角NDPA為30。且A與P兩點的距離為6千米知；

在Rt/\ADP中，AP=6,ZDPA=30°,

A。==3（千米），

2

:.DP=ylAP2-AD2=3百y3X1.732=5.196，

又由在P處測得B點的仰角NDPB為45。,

：.RtBOP為等腰直角三角形，

：.BD=DP,

:.AB=BD-AD=2A96（千米），

s2196

.??天舟二號從A處到B處的平均速度為："=±?29m/s,

t75

答：天舟二號從A處到8處的平均速度為29/w/s.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：掌握仰角俯角的定義.

五、解答題（本大題共2小題）

23.為了慶祝中國共產黨建黨一百周年，某校舉行“禮贊百年，奮斗有我”演講比賽，準備購買甲、乙兩種紀念品

獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學生.已知購買1個甲種紀念品和2個乙種紀念品共需20元，購買2個甲種紀念品和5

個乙種紀念品共需45元.

（1）求購買一個甲種紀念品和一個乙種紀念品各需多少元；

（2）若要購買這兩種紀念品共100個，投入資金不少于766元又不多于800元，問有多少種購買方案？并求出所

花資金的最小值.

【答案】（1）購進甲種紀念品每個需要10元，乙種紀念品每個需要5元；（2）共有7種進貨方案；所花資金的最

小值為770元.

【分析】（1）設購進甲種紀念品每個需要X元，乙種紀念品每個需要y元，根據(jù)“購買1個甲種紀念品和2個乙種

紀念品共需20元；購買2個甲種紀念品和5個乙種紀念品共需45元”，即可得出關于X、），的二元一次方程組，解

之即可得出結論；

（2）設購進甲種紀念品機個，則購進乙種紀念品（100如）個，所花資金為卬元，根據(jù)總價=單價x數(shù)量得到卬關

于，”的函數(shù)解析式，結合進貨資金不少于766元且不超過800元，即可得出關于〃，的一元一次不等式組，解之即可

得出〃?的取值范圍，再由，"為整數(shù)即可找出各進貨方案，利用一次函數(shù)的性質從而得出答案.

【詳解】解：（1）設購進甲種紀念品每個需要x元，乙種紀念品每個需要y元，

x+2y=20

根據(jù)題意得：

2x+5y=45

[y=5

答：購進甲種紀念品每個需要10元，乙種紀念品每個需要5元；

(2)設購進甲種紀念品，”個，則購進乙種紀念品(100加)個，所花資金為卬元,

w=l()77?+5(l(X)-m)=5m+5()O,

5/n+500>766

根據(jù)題意得：

5m+500<800

解得：53.29瓜60.

'.'in整數(shù)，

；.膽=54、55、56、57、58、59或60.

???共有7種進貨方案；

V5>0,

二卬隨〃，的增大而增大，

：.m=54時，w有最小值，最小值為770元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確

列出二元一次方程組：(2)根據(jù)各數(shù)量間的關系，正確列出w關于機的函數(shù)解析式和一元一次不等式組.

24.如圖，點A在以BC為直徑的。。上，NABC的角平分線與AC相交于點￡與。。相交于點。，延長C4至

M,連結&W,使得MB=ME,過點A作的平行線與CO的延長線交于點N.

(1)求證：加與。。相切；

(2)試給出AC,A。,CN之間的數(shù)量關系，并予以證明.

【答案】(1)見詳解；(2)AC2=AD.NC-

【分析】(1)根據(jù)直徑所對的圓周角為90°,MB=ME,以及3。是NABC的角平分線，推導出各個角度之間

的關系，等量代換即可證出；

(2)由圓周角相等推導出所對應的弧相等進一步得到弦相等，據(jù)此得出一AOC為等腰三角形，再根據(jù)NFBM

以及(1)中的NA/fiC=90。，進一步通過推導角度關系得到NN=NESC=NA6￡=N￡>C4,△MAC為等腰三角

形，再根據(jù)子母型相似得到.AOCs&wc,最終根據(jù)相似三角形的性質即可得出AC?=AO.NC.

【詳解】(1)如圖所示，

,/MB=ME,BD是ZABC的角平分線，

AZMBE=ZMEB,ZABE=NEBC,

又；8c為直徑，

：.ABAC=90°.

：.ZABE+ZMEB=90°,

：./EBC+/MBE=90。,

即3M與。。相切.

(2)VZABE=ZEBC,

AD=CD

，AD=CD

：.ZDAC=ZDCA,

：..A￡>C為等腰三角形，

又：NB￡>C=90°,

/.ZBDN=90°,

：.NN+NNGD=90。,

又,：/NGD=NBGF、且由⑴可得NMfiC=90°,NFBM,

/./NFB=90。,

即Z7V=/EBC=/ABE=/DCA,

zWC為等腰三角形，

在_40。和△MC中，

ZN=ZDAC=ZDCA,

：.^ADC^AAMC,

.ADDCAC

''~NA.~~AC~~NC'

/.AC2=DC-NC.

又：AD=CD,

故：AC?=AD.NC-

【點睛】本題考察了圓的綜合應用，切線的證明，等腰三角形的性質，直角三角形的性質及判定以及相似三角形的

性質及判定等知識點，綜合運用以上性質定理是解題的關鍵.

六、綜合題（本大題共2小題）

25.如圖①，E、尸是等腰RrABC的斜邊8C上的兩動點，ZEAF=45°,CgBC且CD=BE.

圖：）

BEHFC

圖②

(1)求證：；

(2)求證：EF2=BE2+CF2；

(3)如圖②，作AH，6C,垂足為“，設NEAH=a,AFAH=/3,不妨設A6=J5,請利用(2)的結論

c-c,八、tana+tanB

證明：當e+A=45°時，tan(a+/7)=-------------^成立.

1-tana-tanp

【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解；(3)證明見詳解.

【分析】⑴ZVIBC是等腰直角三角形，AB=AC,ZBAC=90°,由CDLBC,可求NOC4=NABE即可；

(2)由△ABE絲△AC。，可得/胡O=/EAF,可證△AEF之△ADF(SAS),可得EF=DF,在用△(?￡)尸中，根據(jù)勾

股定理，DF2=CD2+C尸即可；

(3)將△ABE逆時針繞點A旋轉90。到△ACC,由為等腰直角三角形，可求/ZJCG90。，由A3=血，在

RfAABC中由勾股定理=2,由可求BH=CH=AH=1,可表示EF=tana+tan夕,BE=l-tana,CF=l-tan/?,

可證AAE尸思AAOF(SAS),得到EF=DF,由E產=5爐+c尸可得(tanc+tan/?)?=(l-tana)2+(l-tan/?)2,

整理即得結論.

【詳解】(1)證明：:△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=AC,ZBAC=90°,

二ZABC=ZACB=45°,

'：CD±BC,

：.NDCB=90°,

：.ZDCA=90°-ZACB=90°-45o=45o^ZABE,

在^ABE和△ACQ中，

AB^AC

<NABE=NACD,

BE=CD

：.4ABE9&ACD(SAS),

(2)證明2AAC。，

：.ZBAE=ZCAD,AE=AD,

'：ZEAF=45°,

ZBA￡+ZMC=900-ZEAF=90°-45°=45°,

：.ZFAD=ZFAC+ZCAD=ZFAC+ZBAE=45°=ZEAF,

在aAEF和AA。尸中，

AE=AD

<ZEAF=ZDAF,

AF=AF

.".△AE