人教版初三數(shù)學(xué)第9講圖形的旋轉(zhuǎn)-教案

第九講圖形的旋轉(zhuǎn)

適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中三年級

適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）120

知識點一、圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念

二、掌握圖形旋轉(zhuǎn)的特征

三、主要簡單的旋轉(zhuǎn)作圖

四、旋轉(zhuǎn)在解題中的應(yīng)用，化繁為簡，化陌生為熟悉。

教學(xué)目標(biāo)認(rèn)識旋轉(zhuǎn)圖形，探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所

成的角彼此相等的性質(zhì)。

教學(xué)重點旋轉(zhuǎn)及對應(yīng)點的有關(guān)概念及其應(yīng)用。

教學(xué)難點運用旋轉(zhuǎn)的特征解決一些實際問題，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。

教學(xué)過程

一、課堂導(dǎo)入

請同學(xué)們看講臺上的大時鐘，有什么在不停地轉(zhuǎn)動？旋繞什么點呢？從現(xiàn)在到下課時鐘轉(zhuǎn)了多少度？分針轉(zhuǎn)了多

少度？秒針轉(zhuǎn)了多少度？

時針、分針、秒針在不停地轉(zhuǎn)動，它們都繞時針的中心.如果從現(xiàn)在到下課時針轉(zhuǎn)了度，分針轉(zhuǎn)了

度，秒針轉(zhuǎn)了度.

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

圖形的平移：把一個圖形沿著某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀，大小完全相同。圖形

的這種移動，叫做平移。

軸對稱：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線

就是它的對稱軸。

同軸對稱、平移一樣，圖形的旋轉(zhuǎn)也是一種常見的圖形變換，從以下幾個方面可全面把握圖形的旋轉(zhuǎn)。

三、知識講解

考點1圖形的旋轉(zhuǎn)

(1)定義：在平面內(nèi)，將一個圓形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋

轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

(2)生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動等；

另一類則是由某一基本圖形通過旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。

(3)圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形

外。

(4)會找對應(yīng)點，對應(yīng)線段和對應(yīng)角。

考點2旋轉(zhuǎn)的基本特征

(1)圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。

(2)圖形在旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；

(3)圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變。

幾點說明：

(1)在理解旋轉(zhuǎn)特征時，首先要對照圖形，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對應(yīng)點、旋轉(zhuǎn)角。

(2)旋轉(zhuǎn)的角度是對應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)頂點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。

(3)旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉(zhuǎn)過程中位置沒有改變，哪一點就

是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心。

考點3旋轉(zhuǎn)作圖

作旋轉(zhuǎn)圖形一定要先確定圖形的"關(guān)鍵點"，然后將每個關(guān)鍵點繞"旋轉(zhuǎn)中心”按規(guī)定點的“方向"旋轉(zhuǎn)一定的"角度

"得到新的"關(guān)鍵點"。便可連成旋轉(zhuǎn)后的圖形。

具體步驟：

1.連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心。

2.轉(zhuǎn)：即把連線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定的角度。（作旋轉(zhuǎn)角）

3.截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點。

4.連：即連接所得到的各點。

四、例題精析

考點一

例1

【題干】如圖，在月扣/86'中//6G90,AB=BC=近，將“8U繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60,，得到△例/\￡,連接BM,則BM

的長是_.

【答案】1+百

【解析】

由題意得：C4=C7VZN/aW=60。,

為等邊三角形，

:.AM=CM,^MAC=^MCA=^AMC=^;

?2ABC=90O,AB=BC=6,

:.AC=2=CM=2,

?：AB=BC,CM=AM,

.?.8例垂直平分/U,

:.BO=-AC=l,OM=CMsm60=y/3,

2

:.BM=BO+OM=1+^

考點二

例2

【題干】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，NEAF=45。，4ECF的周長為4,則正方形ABCD

的邊長為.

【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NEAF'=45°,進而得出4AE2AEAF',即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF=4,

得出正方形邊長即可.

【答案】解：將ADAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度到Y(jié)AF位置,

由題意可得出：ADAF2ABAF',

??.DF=BF',zDAF=zBAF',

...NEAF'=45°,

AF^AF

在AFAE和AEAF'中INFAE=Z.EAF,

AE^AE

??.△FAE學(xué)EAF'(SAS),

??.EF=EF',

???△ECF的周長為4,

??.EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF=DF+FC+BC=4

.-.2BC=4,

.-.BC=2.

故答案為：2.

考點三

例3

【題干】如圖,在RfABC中,zACB=90°,zB=30°,將3BC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后,得到9EC,點D

剛好落在AB邊上.

(1)求n的值；

(2)若F是DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由.

B

D/-\~~?----7E

AC

【解析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC=CD,進而得出AADC是等邊三角形，即可得出NACD的度數(shù)；

(2)利用直角三角形的性質(zhì)得出FC=DF,進而得出AD=AC=FC=DF,即可得出答案.

【答案】解：(1),??在RfABC中,zACB=90°,zB=30°,將SBC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后，得至hDEC,

.-.AC=DC,zA=60°,

.”ADC是等邊三角形，

.,.NACD=60°,

的值是60;

(2)四邊形ACFD是菱形；

理由:■.zDCE=zACB=90°,F是DE的中點,

.?.FC=DF=FE,

?.zCDF=zA=60°,

."DFC是等邊三角形，

.-.DF=DC=FC,

?:△ADC是等邊三角形，

.,.AD=AC=DC,

.?.AD=AC=FC=DF,

四邊形ACFD是菱形.

五、課堂運用

1、【題干】如圖，把一塊磚ABCD直立于地面上，然后將其輕輕推倒，在這個過程中A點保持不動，四邊形ABCD旋

轉(zhuǎn)到AD'C'B，位置。

(1)指出在這個過程中的旋轉(zhuǎn)中心，并說出旋轉(zhuǎn)角度是多大？

(2)指出圖中的對應(yīng)線段。

BAD'

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)中心是A,旋轉(zhuǎn)角度是90°

（2）對應(yīng)線段分別是：CD與，AB與A8,AD與，BC與B'C

【解析】因為四邊形ADCB'是由四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)得到的，A保持不動，因此A是旋轉(zhuǎn)中心，又因為AB、AU在

同一平面上，且AD垂直于地面，對應(yīng)線段AB與A8成90。，因此旋轉(zhuǎn)角度是90°；（2）中由于點A、B、C、D的對

應(yīng)點分別是A、8、C\，找出了對應(yīng)點，對應(yīng)線段也就不難找了。

2、【題干】在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，點A(4,0),點B(0,3),把AAB。繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得△A'Bb,

點A,。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A',0',記旋轉(zhuǎn)角為a.

(I)如圖①，若a=90。，求AA'的長；

(□)如圖②，若a=120°,求點0'的坐標(biāo)；

(IH)在(口)的條件下，邊0A上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P1,當(dāng)O'P+BP'取得最小值時，求點P'的坐標(biāo)(直接

【答案】解：(1)如圖①，

??點A(4,0),點B(0,3),

.1.0A=4,0B=3,

"<-AB=732+42=5，

■「△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得AAB。，

..BA=BA',zABA,=90°,

」.△ABA'為等腰直角三角形，

.?,AA=V2BA=5V2；

(2)作O'H_Ly軸于H,如圖②,

?「△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得560、

.-.B0=B0,=3,zOBO,=120°,

???NHBO'=60°,

在RbBH。'中，?.NBO'H=90°-zHBO'=30°,

.-.BH=|BO=-|,O，H=?BH=^,

.1.0H=0B+BH=3+-|=-|,

?,Q'點的坐標(biāo)為(萼，?)；

(3)”ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得AABO',點P的對應(yīng)點為P',

.?.BP=BP',

.?.O'P+BP'=O'P+BP,

作B點關(guān)于x軸的對稱點C,連結(jié)0(交x軸于P點，如圖②，

則O'P+BP=O'P+PC=O'C,此時O'P+BP的值最小,

???點C與點B關(guān)于x軸對稱，

.?.C(0,-3),

設(shè)直線O,C的解析式為y=kx+b,

cLf3>/39f,573

把。(￥，,),C(0,-3)代入得k+b=5,解得卡丁，

|b=-3|b=-3

.?直線O'C的解析式為V曰■又-3,

當(dāng)y=o時，畢x-3=0,解得乂=平，則P（攣

,0）,

o55

...OP二舉，

5

.-.O'P'=OP=^,

5

作P，DJ_O，H于D,

-.zBO,A=zBOA=90°,zBO/H=30°,

??.NDPO=30°,

??.O'D=1O,P,=^,PD=?O，D=2,

乙XuXu

.1.DH=O,H-O'D=-^S.

2105

??.P'點的坐標(biāo)為（畢，筌）.

50

【解析】幾何變換綜合題.

分析：(1)如圖①，先^用勾股定理計算出AB=5,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BA',NABA'=90。，則可判定^ABA為

等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AA'的長；

(2)作O'H_Ly軸于H,如圖②，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO'=3,zOBO=120°,則NHBO'=60°,再在RfBHO'中

利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出BH和OH的長，然后利用坐標(biāo)的表示方法寫出?！c的坐標(biāo)；

(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP',則O'P+BP'=O'P+BP,作B點關(guān)于x軸的對稱點C,連結(jié)O'C交x軸于P點,如圖②,

易得O'P+BP=CTC,利用兩點之間線段最短可判斷此時O'P+BP的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線O'C的解析

式為y=^x-3,從而得到P（攣，0），貝!JOP=OP=￥，作P'DXO'H于D,然后確定NDP'O，=30。后利用含

355

30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出P'D和DO,的長，從而可得到P'點的坐標(biāo).

【答案】（1）相等的線段有：AB=AD=DC=CB,AE=AE,DE=BE

相等的角有：NE=NE,NEDA=NEBA,NR4E=4AE（[J余直角外）

（2）AADE與AA3E的形狀和大小都一樣。

【解析】將一個圖形繞某一點按一定的方向旋轉(zhuǎn)一個角度后，到達另一位置，在這個運動過程中，圖形的形狀和大

小沒有改變，只是位置不同，且對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，本例中，—BE是AAOE旋轉(zhuǎn)得到的，A4BE與AA。石的

形狀和大小都不變。

3、【題干】(1)如圖1,點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，把3BP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點A與點C重合，點P

的對應(yīng)點是Q,若PA=3,PB=2V2,PC=5,求NBQC的度數(shù).

(2)點P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，若PA=12,PB=13,PC=13,求NBPA的度數(shù).

圖1圖2

【答案】解：（1）連接PQ.

由旋轉(zhuǎn)可知：BQ=BP=2無，QC=PA=3.

A

-----------------------.D八

一

Q

又.ABCD是正方形，圖1

??.△ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)了90°,才使點A與C重合

即NPBQ=90°,

，NPQB=45°,PQ=4.

貝?。菰赪QC中,PQ=4,QC=3,PC=5,

.1.PC2=PQ2+QC2.

即NPQC=90°.

故NBQC=900