2022高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué) 規(guī)范答題示范課-概率與統(tǒng)計(jì)解答題

規(guī)范答題示范課一一概率與統(tǒng)計(jì)解答題

破題之道

概率與統(tǒng)計(jì)問題需要從數(shù)據(jù)中獲取有用的信息，通過數(shù)據(jù)的篩選、分析構(gòu)建相關(guān)

模型特別是從圖表、直方圖中獲取信息，利用圖表信息進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

解題的關(guān)鍵是“辨”——辨析、辨型，求解要抓住幾點(diǎn)：

⑴準(zhǔn)確弄清問題所涉及的事件有什么特點(diǎn)，事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對(duì)立、

獨(dú)立等；

⑵理清事件以什么形式發(fā)生，如同時(shí)發(fā)生、至少有幾個(gè)發(fā)生、至多有幾個(gè)發(fā)生、

恰有幾個(gè)發(fā)生等；

(3)明確抽取方式，是放回還是不放回、抽取有無順序等；

(4)準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來計(jì)算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)概率計(jì)算

公式和性質(zhì)來計(jì)算事件的概率；

(5)確定隨機(jī)變量取值并求其對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列后再求均值、方差;

(6)會(huì)套用求b,X2的公式，再作進(jìn)一步求值與分析.

―，分析|―

-T辨析

概I—

率

統(tǒng)-4o]—

計(jì)

解

答

題

.T辨型I古典概型I--?

典例示范

(12分)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，

為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)

于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再

安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停

止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn),

若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1分；

若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得一1分；

若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和夕，

一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列.

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，p,(z=O,1,…，8)表示‘'甲藥的累計(jì)

得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則po=O,P8=l,pi=ap-

+bpi+cpi+\{i=\,2,…，7),其中a=P(X=-l),b=P(X=O),c=P(X=l).假

設(shè)a=0.5,4=0.8.

①證明：{pi+i—pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

②求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

(1)解X的所有可能取值為一1,0,1.1分

P(x=-1)=(1—種，

P(X=0)=a￡+(l-a)(l-』)，

P(X=l)=a(l一份，3分

所以X的分布列為

X-101

P(l-a)6—a)(l一份

4分

⑵①證明由(1)得a=0.4,8=0.5,c=0.1,

因此pi=0.4p(-1+0.5p(+0.1pi+i,

故0.1(p/+1~pi)=0.4(/?/—p(i),

則pi+1—pi=4(pi-pi-i).6分

又因?yàn)閜i—po=piWO,

所以{pi+1一.}a=O1,2,…,7)是公比為4,首項(xiàng)為0的等比數(shù)列.8分

②解由①得p8=p8~~p7+p7-p6T---\-p\—po+po

4^—1、

=(/78-〃7)+(0一，6)+…+”0)+川=~jpl.9分

3

由于"8=1,故Pl=【8_］，1。分

所以P4=(/74-〃3)+(〃3—pi)+(/?2-/71)+(/?1-/?())+p()

=3〃|=而11分

P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,

乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=備心0.0039,此時(shí)得出錯(cuò)誤

結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理.12分

高考狀元滿分心得

?得步驟分：對(duì)于解題過程中是得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以對(duì)于

得分點(diǎn)步驟一定要寫全.如第(1)問中，寫出隨機(jī)變量X的可能取值，第(2)問中說

明｛pi+i—p”的公比，首項(xiàng)，利用P4的值說明最后的結(jié)論合理性等.

?得關(guān)鍵分：對(duì)于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在答題時(shí)一

定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問分布列必須用表格表示，第(2)問中必+i—p,=4(p,

-pi1)的關(guān)系式及條件pi—po=piWO,否則都會(huì)導(dǎo)致扣分.

?得計(jì)算分：如第(2)問中累加求P8與pi的關(guān)系，由P8求小，P4的值，若出錯(cuò)，

會(huì)每次扣去1分.

滿分體驗(yàn)

1.(2021.徐州檢測(cè))已知6只小白鼠中有且僅有2只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)

血液來確定患病的小白鼠.血液化驗(yàn)呈陽(yáng)性即為患病，陰性為不患病.現(xiàn)將6只小

白鼠隨機(jī)排序并化驗(yàn)血液，每次測(cè)1只，且得到前一只小白鼠的血液化驗(yàn)結(jié)果之

后才化驗(yàn)下一只小白鼠的血液，直到能確定哪兩只小白鼠患病為止，并用X表示

化驗(yàn)總次數(shù).

⑴在第一只小白鼠驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性的條件下，求X=3的概率；

(2)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

解記A戶“第，次驗(yàn)血結(jié)果呈陽(yáng)性”，,七｛1,2,3,4,5,6),4表示4?的對(duì)

立事件.

(1)法一考慮6只小白鼠的排列順序，若4發(fā)生，則需從2只患病小白鼠中選

擇1只排在第一位，其他位置可隨意排，故符合條件的排列順序共有&用種.

若Ai與X=3同時(shí)發(fā)生，則2只患病小白鼠一定排在第一、第三兩個(gè)位置，其他

位置可隨意排不患病的小白鼠，對(duì)應(yīng)的排列順序共有A3A才種.

根據(jù)條件概率的定義及古典概型可知，

p(A/3)_A2Af_l

P(X=3|4)="了=也思=亍

法二根據(jù)題意可知，在4發(fā)生的條件下，X=3發(fā)生的充要條件是：第二次驗(yàn)

血的小白鼠不患病，且第三次驗(yàn)血的小白鼠患病，故P(X=3|4)=P(A2|4)P(A3|4A

(2)X的可能取值為2,3,4,5.

A2A41

由題意P(X=2)=P(4A2)=晟=不，

A2A49

P(X=3)=P(4A2A3)+P(A1A2A3)=2X

P(X=4)=P(4A2A3A4)+P(AiA2A3A4)+尸(A1A2A3A4)+P(4A243A4)

Q

故P(X=5)=1—P(X=2)—P(X=3)—P(X=4)=正,

故X的分布列為

X2345

1248

P15151515

124864

E(X)=2X—+3X—+4X—+5X—=—

XJJL。JLJ<1。JLJ

2.(2021.八省八校一聯(lián))國(guó)家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部于2017年發(fā)布了《生活

垃圾分類制度實(shí)施方案》，規(guī)定46個(gè)城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，

垃圾回收、利用率要達(dá)35%以上.截至2019年底，這46個(gè)重點(diǎn)城市生活垃圾分類

的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%.武漢市在實(shí)施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在

兩萬人左右的320個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)，對(duì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾

量(單位：噸)進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右的

社區(qū)垃圾量超過28噸/天的確定為“超標(biāo)”社區(qū).

[15.5[18.5[24.5[27.5[30.5

[21.5,

垃圾量力噸[12.5,15.5)99

24.5)

18.5)21.5)27.5)30.5)33.5]

頻數(shù)56912864

⑴通過頻數(shù)分布表估算出這50個(gè)社區(qū)這一天垃圾量的平均值x（精確到0.1）；

（2）若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N（〃，

小），其中〃近似為（1）中的樣本平均值x,r/近似為樣本方差s2,經(jīng)計(jì)算得sg52

請(qǐng)利用正態(tài)分布知識(shí)估計(jì)這320個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)；

⑶通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個(gè)社區(qū)中這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社

區(qū)，市政府決定對(duì)這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來源進(jìn)行跟蹤調(diào)查.現(xiàn)計(jì)劃在這8個(gè)

“超標(biāo)”社區(qū)中任取5個(gè)先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)丫為抽到的這一天的垃圾量至少為

30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)，求丫的分布列與數(shù)學(xué)期望.

[參考數(shù)據(jù)：PQLOVXW〃+（7）^0.6827,尸儀一2<7<XW/z+2㈤弋0.9545,P業(yè)一

3KXW〃+3a戶0.9974]

解（1）由頻數(shù)分布表得

-14X5+17X6+20X9+23X12+26X8+29X6+32X4

x=50

=22.76^22.8,

估計(jì)這50個(gè)社區(qū)這一天垃圾量的平均值為22.8噸.

(2)由(1)知22.8.?.飛%5.2,