2021年遼寧省沈陽市(初三學(xué)業(yè)水平考試)中考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

2021年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個答案是正確的，每小題2分，共20分）

1.9的相反數(shù)是（）

A.-B.--C.9D.-9

99

2.下圖是由6個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（）

與Ljj0

A.-111B.一?「C.1~!?D.E0

3.據(jù)報道，截至2021年5月24日16時，沈陽市新冠疫苗累計接種3270000劑次,將數(shù)據(jù)3270000用科學(xué)記數(shù)法

表示為（）

A.32.7xlO5B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.3.27xlO6

4.下列計算結(jié)果正確的是（）

A.a4-a2=（^B.6a-2a=4aC.?6-z-a2=a}D.(-a%)=—aAb~

5二.如圖，直線a,〃被直線c所截，若a//b,Zl=70°,則N2的度數(shù)是()

A.70°B.100°C.110°D.120°

6.信息技術(shù)課上，在老師的指導(dǎo)下，小好同學(xué)訓(xùn)練打字速度（字/min）,數(shù)據(jù)整理如下：15,17,23,15,17,17,

19,21,21,18,對于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A.眾數(shù)是17B.眾數(shù)是15C.中位數(shù)是17D.中位數(shù)是18

7.如圖，.4?。與△A4G位似，位似中心是點(diǎn)。，若。4：。4=1:2,則..ABC與"4G周長比是（）

C.1:4D.1:72

8.一次函數(shù)y=-3x+l圖象不經(jīng)過

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.下列說法正確的是（）

A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)一定是奇數(shù)

B.“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用壽命，采用抽樣調(diào)查的方式

D.若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，s甲2=0.3,s乙2=0.02,則甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定

10.如圖，.ABC是。。的內(nèi)接三角形，AB=26ZACB=60°,連接Q4,OB,則川？的長是（）

4萬

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，合計18分）

11.分解因式：ax2+2ax+a=.

研x-5<1

12.不等式組\匚八的解集是

[3x-5>0—

13.化簡：H一一—4）=________.

V%-4x-16J

k

14.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4是反比例函數(shù)y=—（A工0）圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)4分別作A"J_x

X

軸于點(diǎn)M.ANYy軸于點(diǎn)N.若四邊形AMON的面積為12,則k的值是.

15.某超市購進(jìn)一批單價為8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可銷售20件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活

用品的銷售單價每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少4件，那么將銷售價定為元時，才能使每天所獲銷售利

潤最大.

16.如圖，.A8C中，AC=3,BC=4,AB=5.四邊形43EF是正方形，點(diǎn)D是直線8C上一點(diǎn)，且CD=1/

2

是線段上一點(diǎn)，且尸。=1。后.過點(diǎn)P作直線/于8C平行，分別交45,AO于點(diǎn)GH,則G”的長是

三、解答題（第17小題6分，第18、19題各8分，共22分）

f1、一

17.計算：(乃—2021)°—3tan30°+|l—W+|j

33

18.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)MN分別是邊BC,。。上的點(diǎn)，BM=-BC,DN=-DC.連接AM,AN,

44

延長AN交線段BC延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：^ABM^ZXAND；

(2)若4)=4,則ME的長是.

19.某品牌免洗洗手液按劑型分為凝膠型、液體型，泡沫型三種型號(分別用人B,C依次表示這三種型號).小

辰和小安計劃每人購買一瓶該品牌免洗洗手液，上述三種型號中的每一種免洗洗手液被選中的可能性均相同.

(1)小辰隨機(jī)選擇一種型號是凝膠型免洗洗手液的概率是.

(2)請你用列表法或畫樹狀圖法，求小辰和小安選擇同一種型號免洗洗手液的概率.

四、解答題(每小題8分，共16分)

20.學(xué)史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行，在建黨100周年之際，某校對全校學(xué)生進(jìn)行了一次黨史知識測試,

成績評定共分為A,B,C,。四個等級，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績進(jìn)行調(diào)查，將獲得的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅

不完整的統(tǒng)計圖.

學(xué)生成績等級扇型統(tǒng)計圖

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：

(1)在這次調(diào)查中一共抽取了名學(xué)生；

(2)請根據(jù)以上信息直接在答題卡上補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)扇形統(tǒng)計圖中，。等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)是度；

(4)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請你估計該校2000學(xué)生中有多少名學(xué)生的成績評定為C等級.

21.某校團(tuán)體操表演隊(duì)伍有6行8列，后又增加了51人，使得團(tuán)體操表演隊(duì)伍增加的行、列數(shù)相同，求增加了多少

行或多少列？

五、解答題(本題10分)

22.如圖，AB是1。的直徑，AD與O交于點(diǎn)4點(diǎn)E是半徑Q4上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)O,A重合).連接

交。于點(diǎn)C連接C4,CB.若CA=CD,ZABC=AD.

(1)求證：AO是。。的切線.

(2)若AB=13,CA=CD=5,則的長是.

六、解答題(本題10分)

23.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。坐標(biāo)原點(diǎn)，直線丫=依+15(人工0)經(jīng)過點(diǎn)。(3,6),與x軸交于點(diǎn)A,與)，軸交

3

于點(diǎn)B.線段CO平行于x軸，交直線y=于點(diǎn)。連接。C,AD.

4

(2)求證：四邊形。4OC是平行四邊形；

(3)動點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，沿對角線。。以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，直到點(diǎn)D為止；動點(diǎn)。同時從點(diǎn)

D出發(fā)，沿對角線。。以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，直到點(diǎn)。為止.設(shè)兩個點(diǎn)的運(yùn)動時間均為，秒.

①當(dāng)f=l時，-CPQ的面積是.

②當(dāng)點(diǎn)P,。運(yùn)動至四邊形C7%Q為矩形時，請直接寫出此時■的值.

七、解答題(本題12分)

24.在一ABC中，AB^AC,"DE中,CE=CD(CENCA),BC=CD,ZD=a,ZACB+ZECD=1SO0.

點(diǎn)B,C,E不共線，點(diǎn)尸為直線OE上一點(diǎn)，且PB=PD

(1)如圖1,點(diǎn)。在線段3C延長線上，則NECD=ZABP=(用含a的代數(shù)式表示)；

(3)若NA6C=60°,fiC=V3+l,將圖3中的△CDE繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BPJ.0E時，直線PC

交于點(diǎn)G,點(diǎn)M是PO中點(diǎn)，請直接寫出GM的長.

A

D

八、解答題（本題12分）

25.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線了=-/+云+。與x軸交于A、2兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè)），

點(diǎn)8坐標(biāo)是（3,0）.拋物線與），軸交于點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，連接PC.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）直線8c與拋物線對稱軸交于點(diǎn)。點(diǎn)Q直線8C上一動點(diǎn).

①當(dāng)QA8的面積等于PCD面積的2倍時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②在①的條件下，當(dāng)點(diǎn)。在x軸上方時，過點(diǎn)。作直線/垂直于AQ,直線y=交直線/于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在直

17

線y=上，且AG=AQ時，請直接寫出Gb的長.

備用圖

2021年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個答案是正確的，每小題2分，共20分）

1.9的相反數(shù)是（）

A.-B.--C.9D.-9

99

【答案】D

【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)可得答案.

【詳解】解：9的相反數(shù)是-9,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)）的概念.

2.下圖是由6個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（）

A.日二BB.C.小D.出

【答案】B

【分析】利用主視圖的定義進(jìn)行判斷即可，即從幾何體的正面觀察得出視圖.

【詳解】解：從幾何體的正面看，底層是四個小正方形，上層的左端是一個小正方形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，正確把握觀察的角度是解題的關(guān)鍵.畫簡單組合體的三視圖要循序

漸進(jìn)，通過仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖.

3.據(jù)報道，截至2021年5月24日16時，沈陽市新冠疫苗累計接種3270000劑次，將數(shù)據(jù)3270000用科學(xué)記數(shù)法

表示為（）

A.32.7X105B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.3.27xlO6

【答案】D

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為axlO",其中L,匕1<10,“為整數(shù)，且〃比原來的整數(shù)位

數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：3270000=3.27xlO6.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為axlO",其中L,確定。與〃的值是

解題的關(guān)鍵.

4.下列計算結(jié)果正確的是（）

A.a4-a2=a8B.6a-2a=4aC.a6-i-a2=a3D.（一=-a4/—

【答案】B

【分析】依據(jù)同底數(shù)基的乘法法則、合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)幕的除法法則以及積的乘方法則進(jìn)行判斷即可得出結(jié)

論.

【詳解】解：A.故本選項(xiàng)錯誤；

B.6a-2a=4a，故本選項(xiàng)正確；

C./+/=/,故本選項(xiàng)錯誤；

D.（~a2b）2=a4b2,故本選項(xiàng)錯誤;

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)基的乘法法則、合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)幕的除法法則以及積的乘方法則的運(yùn)用，

關(guān)鍵是掌握合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

5.如圖，直線a,b被直線c所截，巖aHb,Nl=70。，則N2的度數(shù)是（）

A.70°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

分析】由已知條件a/可得N1=N3=7O°,由平角的性質(zhì)可得N2+N3=18（）°代入計算即可得出答案.

【詳解】解：如圖，

al1b,

.-.Z1=Z3=7O°,

■Z2+Z3=180°,

.?.Z2=180°-Z3=180o-70o=110°.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

6信息技術(shù)課上,在老師的指導(dǎo)下，小好同學(xué)訓(xùn)練打字速度（字/min）,數(shù)據(jù)整理如下：⑸17,23,15,17,17,

19,21,21,18,對于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A.眾數(shù)是17B.眾數(shù)是15C.中位數(shù)是17D.中位數(shù)是18

【答案】A

【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的概念求解可得.

【詳解】解：以上數(shù)據(jù)重新排列為：15,15,17,17,17,18,19,21,21,23,

，眾數(shù)為17、中位數(shù)為正”=17.5,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是眾數(shù)和中位數(shù)的概念；熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，，ABC與ZM4G位似，位似中心是點(diǎn)。，若。4:04=1:2,則「.ABC1與E4G的周長比是（）

C.1:4D,1：V2

【答案】A

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到/VlBCsaAMG，AC//A.C,,進(jìn)而得出AAOCszsAOG，根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：ZVIBC與位似，

.?.A48cs△A￡C|,AC//AG,

??.AAOCsaAOCi,

,ACOAI

"A;C'~OA'~2,

...A48c與△A4G的周長比為1:2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形是相似圖形、位似圖形的對應(yīng)邊平行是

解題的關(guān)鍵.

8.一次函數(shù)y=-3x+l的圖象下經(jīng)過

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解答即可.

【詳解】；3<0,1>0,

...圖像經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于產(chǎn)自+3（/為常數(shù)，M））,當(dāng)4>0,〃>0,嚴(yán)船+6的圖象在

一、二、三象限；當(dāng)人>0,b<0,尸"+6的圖象在一、三、四象限；當(dāng)k<0,b>0,）=履+〃的圖象在一、二、四

象限；當(dāng)％<0,b<0,廣爪+8的圖象在二、三、四象限.

9.下列說法正確是（）

A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)一定是奇數(shù)

B.“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用壽命，采用抽樣調(diào)查的方式

D.若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，s甲2=0.3,s/=o.02,則甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定

【答案】C

【分析】依據(jù)隨機(jī)事件、抽樣調(diào)查以及方差的概念進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)不一定是奇數(shù)，故原說法錯誤，不合題意；

B.“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是隨機(jī)事件，故原說法錯誤，不合題意；

C.了解一批冰箱的使用壽命，適合采用抽樣調(diào)查的方式，說法正確，符合題意；

D.若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，.%=0.3,.《=（）.02,則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，故原說法錯誤，不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件、抽樣調(diào)查以及方差的概念，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越

大，則各數(shù)據(jù)與平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

10.如圖，A3C是的內(nèi)接三角形，AB=2g,ZACB=60°,連接Q4,OB,則川？的長是（）

71「2萬4乃

A.—B.—C.71D.

33T

【答案】D

【分析】過點(diǎn)。作OD，AB于。，根據(jù)垂徑定理求出AD,根據(jù)圓周角定理求出NAQB，根據(jù)正弦的定義求出OA,

根據(jù)弧長公式計算求解.

【詳解】解：過點(diǎn)。作于O,

則A￡>=￡)B=,A5=G

2

由圓周角定理得：ZAOB=2ZACB=120°,

"A。。=60。，

八，AD6c

OA=----------=-尸=2

sinZAOD6，

T

I_120乃x2_4TT

..i.=--------=—,

AB1803

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，合計18分)

11.分解因式：ax"+2ax+a=.

【答案】a(x+1)2

【詳解】ax2+2ax+a

=a(X2+2X+1)

=a(x+1)".

x-5<1

12.不等式組'u八的解集是

3x-5>0

【答案】—?x<6

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定

不等式組的解集.

【詳解】解：解不等式得：x<6,

解不等式3x—5..0,得：%...-,

3

則不等式組的解集為g,,尤<6,

故答案為：|?x<6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大

小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

日化簡：［占一占卜>4）=--------

【答案】1

【分析】先將小括號內(nèi)的式子進(jìn)行通分計算，然后再算括號外面的.

8

【詳解】解:)?+4)

X2-16

x+4-8.

-----------(x4-4)

(x+4)(x-4)

x—4

————(x+4)

(x+4)(x-4)

=1，

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序.

14.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=K（AxO）圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)4分別作AM

軸于點(diǎn)M,ANry軸于點(diǎn)N,若四邊形AMON的面積為12,則k的值是

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)攵的幾何意義得到網(wǎng)=12,然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定上的值.

【詳解】解：四邊形AMQV的面積為12,

：.\k\^l2,

反比例函數(shù)圖象在二四象限，

：.k<0,

：.k=-n,

故答案為：-12.

k

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)函數(shù)Z的幾何意義：在反比例函數(shù)y=一圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向X軸和y

x

軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值1幻.

15.某超市購進(jìn)一批單價為8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可銷售20件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活

用品的銷售單價每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少4件，那么將銷售價定為元時，才能使每天所獲銷售利

潤最大.

【答案】11

【分析】根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)銷售單價定為X元(X.9),每天所獲利潤為y元，

則y=[20-4(x-9)]-(x-8)

=-4X2+88X-448

=-4(X-11)2+36,

所以將銷售定價定為11元時，才能使每天所獲銷售利潤最大，

故答案為11.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解

答.

16.如圖，ABC中，AC=3,BC=4,AJ3=5.四邊形A班戶是正方形，點(diǎn)。是直線BC上一點(diǎn)，且CO=1/

2

是線段上一點(diǎn)，且尸。=—.過點(diǎn)P作直線/于8c平行，分別交AB,AO于點(diǎn)G,H,則G”的長是

3

【分析】結(jié)合勾股定理逆定理判斷AABC是直角三角形，通過證明△G3MSMC4,,然后利

用相似三角形的性質(zhì)求解，然后分當(dāng)點(diǎn)。位于。點(diǎn)左側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)。位于C點(diǎn)右側(cè)時，進(jìn)行分類討論.

【詳解】解：AABC中，AC=3,BC=4,AB=5,

AC2+BC2=25.AB2=25.

AC2+BC2AB2,

...A48c為直角三角形,

①當(dāng)點(diǎn)。位于C點(diǎn)左側(cè)時，如圖:

設(shè)直線/交班于點(diǎn)M,

I//BC,

BMD.P

?,■-=777>^MGB=ZABC,

BEDtE

2

又四邊形/WEF是正方形，且

:.BE=AB=5,ZEBA=90°,

解得：BM

3

?.ZMGB=ZABC,ZEBA=ZACB=90°,

,GBBC

GB4

103?

T

40

解得：GB=—,

9

AG=AB-GB=~,

9

1//BC,

：.\AGH^\ABD,,

GHAG

BD、=BC—CD1=3,

5

GH9,

~Y~~5

解得：GH=g；

②當(dāng)點(diǎn)。位于。點(diǎn)右側(cè)時，如圖:

5

GH9?

亨一二

解得：GW=1,

綜上，G”的長為！或3,

39

故答案為：彳或

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，證明出AGBA/SABCA,特別注意分

類思想的運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

三、解答題(第17小題6分，第18、19題各8分，共22分)

17.計算：(7-2021)°—3tan30°+卜—內(nèi)卜(3).

【答案】4

【分析】首先計算零指數(shù)基、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計

算，求出算式的值是多少即可.

【詳解】解：-2021)°-3tan300+11-^|+(1)-2

=l-3x—+V3-1+4

3

=1-G+百T+4

=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，特殊角三角函數(shù)值，絕對值的化簡，掌握特殊角

三角函數(shù)值，零指數(shù)基，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

33

18.如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)MN分別是邊BC,DC上的點(diǎn)，BM=-BC,DN=-DC.連接40,AN,

44

延長AN交線段BC延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：^ABM^/\AND；

(2)若AT)=4,則ME的長是.

7

【答案】(1)見解析；(2)y.

33

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得4?=AO=8C=a),ZB=ZD，根據(jù)8M=—8C,DN=-DC,可得

44

BM=DN,利用S45即可證明；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明AAAT^AENC,根據(jù)相似的性質(zhì)可求得CE的長度，進(jìn)而可求ME.

【詳解】解：(1)證明：四邊形ABCD為菱形，

：.AB=AD=BC=CD,ZB=ZD,

33

BM=-BC,DN=-DC,

44

BM=DN,

在MBM和AADN中，

AB=AD

NB=ND,

BM=DN

\ABM=/^ADN(SAS),

（2）四邊形ABC。為菱形,

:.AD//CE,

:"DAN=/CEN,

ZAND=ZCNE,

...MA?^AENC,

AD_DN

~CE"CW'

DN二=-DC,

4

ADDN

~CE~~CN~

4_3

=-，

~CE1

4

CE=:一，

3

BM：=-BC,

4

:.MC=-BC=1,

4

7

：.ME=MC+CE=-.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，通過菱形的性質(zhì)得到

ZWDsAENC是關(guān)鍵.

19.某品牌免洗洗手液按劑型分為凝膠型、液體型，泡沫型三種型號（分別用A.B.C依次表示這三種型號）.小

辰和小安計劃每人購買一瓶該品牌免洗洗手液，上述三種型號中的每一種免洗洗手液被選中的可能性均相同.

（1）小辰隨機(jī)選擇一種型號是凝膠型免洗洗手液的概率是.

（2）請你用列表法或畫樹狀圖法，求小辰和小安選擇同一種型號免洗洗手液的概率.

【答案】（1）工；（2）工

33

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：（1）小辰隨機(jī)選擇一種型號是凝膠型免洗洗手液的概率是:，

故答案為：—;

(2)列表如下:

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中小辰和小安選擇同一種型號免洗洗手液有3種結(jié)果，

31

所以小辰和小安選擇同一種型號免洗洗手液的概率為J.

點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步

完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

四、解答題(每小題8分，共16分)

20.學(xué)史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行，在建黨100周年之際，某校對全校學(xué)生進(jìn)行了一次黨史知識測試,

成績評定共分為A,B,C,。四個等級，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績進(jìn)行調(diào)查，將獲得的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅

不完整的統(tǒng)計圖.

學(xué)生成績等級條形統(tǒng)計圖學(xué)生成績等級扇型統(tǒng)計圖

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：

(1)在這次調(diào)查中一共抽取了名學(xué)生；

(2)請根據(jù)以上信息直接在答題卡上補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)扇形統(tǒng)計圖中，/)等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)是度；

(4)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請你估計該校2000學(xué)生中有多少名學(xué)生的成績評定為C等級.

【答案】⑴80；(2)見解析；⑶36；(4)600名

【分析】（1）根據(jù)A等級的人數(shù)以及所占的百分比即可求出本次調(diào)查中共抽取的學(xué)生數(shù);

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出8等級的人數(shù)，然后即可將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整:

（3）根據(jù)。等級的人數(shù)以及抽取的學(xué)生數(shù)計算出。等級所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);

（4）求出C等級所占整體的百分比即可求出相應(yīng)的人數(shù).

【詳解】解：⑴32+40%=8（）（名）,

故答案為：80；

（2）3等級的學(xué)生為：80x20%=16（名）,

補(bǔ)全條形圖如下，

學(xué)生成績等級條形統(tǒng)計圖

O

（3）D等級所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：360。、京=36。；

80

24

（4）2000X—=600（名），

80

答：估計該校2000學(xué)生中有600名學(xué)生的成績評定為C等級.

【點(diǎn)睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，理解兩個統(tǒng)計圖中數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

21.某校團(tuán)體操表演隊(duì)伍有6行8列，后又增加了51人，使得團(tuán)體操表演隊(duì)伍增加的行、列數(shù)相同，求增加了多少

行或多少列？

【答案】增加了3行3歹U.

【分析】設(shè)增加了x行，則增加的列數(shù)為x,用增加后的總?cè)藬?shù)一原隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)=51列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)增加了x行，則增加的列數(shù)為x,

根據(jù)題意，得：(6+x)(8+x)-6*8=51,

整理，得：/+14了-51=0,

解得玉=3,x2=-17（舍），

答：增加了3行3列.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系.

五、解答題（本題10分）

22.如圖，AB是「。的直徑，AD與「。交于點(diǎn)A,點(diǎn)E是半徑Q4上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)O.A重合）.連接￡）E

交。于點(diǎn)C連接C4,CB.若CA=CD,ZABC^ZD.

⑴求證：AD是：。的切線.

（2）若AB=13,CA=CD=5,則的長是

【答案】（1）見解析；（2）詈120

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，在利用等腰三角形的性質(zhì)以及等量代換可得

ZCAD+ZBAC=90°,進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的判定可得CE=C4=CO=5,再根據(jù)勾股定理和相似三角形求出答案即可.

【詳解】解：（1）QA3是。的直徑，

ZACB=90°,

:.ZBAC+ZABC=90°.

又CA=CD,

..ZD^ZCAD,

又-ZABC=ND,

..ZCAD+ZBAC^90°,

即。4LAD,

.?.4)是(。的切線；

(2)由(1)可得N4BC+NJR4C=9()°=N￡>+NOE4,

ZABC=ND,

:.NBAC=NDEA,

：.CE=CA=CD=5,

DE=10,

在RtAABC中，由勾股定理得，

BC=y/AB2-AC2=V132-52=12-

ZACB=/DAE=90°,ZABC=ZD,

：.\ABCs莊DA,

,ABBC

~ED~~AD

1312

即Hn一=——，

10AD

120

解得AO=——

13

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理以及相似三角形，掌握切線的判定方法和圓周角定理、相似三角形的判

定和性質(zhì)是解決問題的前提.

六、解答題(本題10分)

23.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線丁=入+15(人工0)經(jīng)過點(diǎn)C(3,6),與x軸交于點(diǎn)A,與)，軸交

3

于點(diǎn)B.線段平行于無軸，交直線y=于點(diǎn)D連接OC,AD

4

(2)求證：四邊形OADC是平行四邊形；

(3)動點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿對角線。。以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，直到點(diǎn)D為止；動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)

。出發(fā)，沿對角線?！?以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，直到點(diǎn)O

為止.設(shè)兩個點(diǎn)的運(yùn)動時間均為r秒.

①當(dāng)『=1時，-CPQ的面積是.

②當(dāng)點(diǎn)P,。運(yùn)動至四邊形CB4Q為矩形時，請直接寫出此時/的值.

【答案】(1)-3,5,0；(2)見解析；⑶①12；②5-何或5+而.

【分析】(1)代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可得出左值確定直線的解析式，進(jìn)而求出A點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(2)求出AO點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)CD=Q4,CD//OA,即可證四邊形O4DC是平行四邊形；

(3)①作CHL0D于“，設(shè)出”點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理計算出C4的長度，根據(jù)運(yùn)動時間求出PQ的長度即

可確定ACPQ的面積；

②根據(jù)對角線相等確定PQ的長度，再根據(jù)P、Q的位置分情況計算出f值即可.

【詳解】解：(1)直線y=^+15(Z#0)經(jīng)過點(diǎn)C(3,6),

.?.3%+15=6,

解得Z=—3,

即直線的解析式為y=-3x+15,

當(dāng)y=0時，x=5,

A(5.0),

(2)線段C。平行于x軸，

點(diǎn)的縱坐標(biāo)與C點(diǎn)一樣，

又QO點(diǎn)在直線丫=彳》上，

當(dāng)y=6時，％=8,

即0(8,6),

.?.05=8—3=5,

OA=5,

0A—CD，

又OA//CD,

四邊形Q4DC是平行四邊形;

(3)①作于H,

:.CH2=(m-3)2+(|/n-6)2,DH2=(m-8)2+(|m-6)2,

由勾股定理，得CH?+DH?=CD?，

即(/〃-3)2+(-m-6)2+(m-8)2+(-m-6)2=52，

44

24

整理得加=彳或8(舍去)，

:.CH=3,

OD7s=1()，

.?.當(dāng)f=l時，PQ=OD-t-t=lO-\-l=S,

??.SAb2=；PQC”=gx8x3=12,

②。。。=10,

當(dāng)噴i)5時，PQ=\0-2t,

當(dāng)5領(lǐng))10時，PQ=2t-\Q,

當(dāng)點(diǎn)P,。運(yùn)動至四邊形CPAQ為矩形時，PQ=AC,

AC=7(5-3)2+62=2V10-

當(dāng)噴1)5時，10—2/=2而，

解得￡=5-河，

當(dāng)5和10時，2t-10=2y/l0，

解得f=5+而，

綜上，當(dāng)點(diǎn)P,。運(yùn)動至四邊形CPAQ為矩形時，的值為5-麗或5+屈.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

七、解答題(本題12分)

24.在一ABC中，AB^AC,"DE中,CE=CD(CENCA),BC=CD,ZD=a,ZACB+ZECD=1SO0.

點(diǎn)B,C,E不共線，點(diǎn)尸為直線OE上一點(diǎn)，且PB=PD

(1)如圖1,點(diǎn)。在線段3C延長線上，則NECD=ZABP=(用含a代數(shù)式表示)；

(3)若NA6C=60°,fiC=V3+l,將圖3中的△CDE繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BPJ.0E時，直線PC

交于點(diǎn)G,點(diǎn)M是PO中點(diǎn)，請直接寫出GM的長.

E

A

【答案】⑴180°-2a,a；（2）見解析：（3）GM的長為返電或上.

22

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

（2）如圖2中，連接3。.證明NP8C=NCDE=a,可得結(jié)論.

（3）分兩種情形：如圖3-1中，設(shè)交AC于J.圖3—2中，設(shè)PC交于K，當(dāng)BPJ_PC時，利用三角

形的中位線定理，可得GM=』PB,求出心，可得結(jié)論.

2

詳解】（1）解：如圖1中，

圖1

?;CE=CD,

ZD=NE=a，

:.ZECD=l80°-2a,

:?/ECB=4E+/D=2a,

AB=AC,

ZABC=ZACB^2a,

PB=PD，

：.ZPBD=ZD=a,

ZABP=ZABC-ZPBD=a,

（2）證明：如圖2中，連接BO.

E

圖2

CB=CD,PB=PD，

:,NCBD=/CDB,ZPBD=4DB，

:.ZPBC=ZPDC=a,

ZABC=2a,

ZABP=NPBC=a,

.?.PB平分NABC.

(3)解：如圖3-1中，設(shè)BP交AC于/.

圖3-1

BP工PD，BP=PD，

△心。是等腰直角三角形,

?；CB=CD,PB=PD，

」.PG垂直平分線段8G,

BG=DG,

PM=MD,

：.GM=-PB,

2

ZABC=ZACB^60°,

：.ZECD=180°-60°=120°,MCB是等邊三角形,

CE=CD,

NCDE=30。,

:?/PBC=NPDC=30°,

.-.ZBJC=90°,

1+1

.r/__^Rl_liri_3+V3

..C*/=-￡>C=------，DJ-73CJ=-------，

222

?/ZCPD=ZCPJ=45°,