高考必做解答題――概率統(tǒng)計(jì)題

高考必做解答題一一概率統(tǒng)計(jì)題

隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型

()必做1某人居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位上班，若

該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事

件最多只有一次，發(fā)生堵車時(shí)間的概率如圖1(例如ACD算兩個(gè)路段：

路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為).請

你為其選擇一條由A至B的線路，使途中發(fā)生堵車的概率最小.

圖1

精妙解法由A至B的線路有三種選擇：ACDB,ACFB,AEFB.按

線路ACDB來走，發(fā)生堵車的可能包括：三個(gè)路段中恰有一個(gè)發(fā)生堵

車，或恰有兩個(gè)發(fā)生堵車，或三個(gè)均發(fā)生堵車，其反面為三個(gè)路段均

不發(fā)生堵車事件.故途中發(fā)生堵車的概率為：1—1—?1—1—三同

理，按線路ACFB來走，途中發(fā)生堵車的概率為：1—1—1—1一二；按

線路AEFB來走，途中發(fā)生堵車的概率為：1—1—1—?1-=.由于>>,

故選擇ACFB的線路，途中發(fā)生堵車的概率最小.

()必做2某市有A、B兩所示范高中響應(yīng)政府號召，對該市甲、

乙兩個(gè)教育落后地區(qū)開展支教活動(dòng).經(jīng)上級研究決定：向甲地派出

3名A校教師和2名B校教師，向乙地派出3名A校教師和3名B校

教師.由于客觀原因，需從擬派往甲、乙兩地的教師中各自任選一

名互換支教地區(qū).

(1)求互換后兩校派往兩地區(qū)教師人數(shù)不變的概率；

(2)求互換后A校教師派往甲地區(qū)人數(shù)不少于3名的概率.

精妙解法(1)記“互換后派往兩地區(qū)的兩校的教師人數(shù)不變”

為事件E,有以下兩種情況：

①互換的是A校的教師，記此事件為E1,則P(E1)二?二；

②互換的是B校的教師，記此事件為E2,則P(E2)=?=.則

互換后派往兩地區(qū)的兩校的教師人數(shù)不變的概率為P(E)=P(El)

+P(E2)=+=.

(2)令“甲地區(qū)A校教師人數(shù)不少于3名”為事件F,包括兩

個(gè)事件：“甲地區(qū)A校教師人數(shù)有3名”設(shè)為事件F1；“甲地區(qū)A

校教師人數(shù)有4名”設(shè)為事件F2,且事件Fl,F2互斥.則P(F1)

二?+?二；P(F2)=?=.甲地區(qū)A校教師人數(shù)不少于3名的概率為

P(F)=P(Fl)+P(F2)=+=.

()必做3已知函數(shù)f(x)=x3—(a—1)x2+b2x,其中a,b

為實(shí)常數(shù)，

(1)若任取ae{0,1,2,3,4},be[0,1,2,3),求函

數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)的概率；

(2)若任取[0,4],be[0,3],求函數(shù)f(x)在R上是

增函數(shù)的概率.

破解思路函數(shù)在R上單調(diào)遞增，說明其導(dǎo)數(shù)值不小于零是條

件.第1問中(a,b)取值個(gè)數(shù)有限，是古典概型；第2問中(a,

b)的取值個(gè)數(shù)無限，是幾何概型，把(a,b)看做坐標(biāo)平面上的點(diǎn),

就構(gòu)造出了基本事件所在的面，只要算出隨機(jī)事件在這個(gè)面內(nèi)占有的

面積即可.

精妙解法f'(x)=x2-2(a-1)x+b2.

若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則f'(x)20在R上恒成立，

所以對f'(*)內(nèi)2—2%—1)乂+52,恒有A=4(a-l)2-4b2^0,

即a-IWb

(1)設(shè)“f(x)在R上是增函數(shù)”為事件A,其對應(yīng)區(qū)域?yàn)閧(a,

b)a-l〈b}.因?yàn)閧1,2,3,4),b￡{1,2,3},所以(a,

b)的所有可能為：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,

3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共計(jì)12

種.那么滿足"f'(x)20恒成立的要求”的(a,b)的所有可

能為：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),

(3,3),(4,3),共計(jì)9種，

所以其概率為P==.

(2)設(shè)“f(x)在R上是增函數(shù)”為事件B,對應(yīng)區(qū)域?yàn)閧(a,

b)a—IWb},全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Q={(a,b)0WaW4,0WbW3},

如圖2：

圖2

所以S陰影二3X4-XIX1—X3X3.又S。=3義4,所以P(B)

金刊提醒

求解古典概型由三步完成：第一步求解試驗(yàn)所有基本事件數(shù)n；

第二步求解隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)rn,該步同學(xué)們要認(rèn)真審題,

理順已知條件以及隱含條件，對復(fù)雜問題應(yīng)采取分類討論的策略，各

個(gè)擊破，但要不重不漏；第三步運(yùn)用古典概型計(jì)算公式P(A)=.同

時(shí)，牢記互斥事件的加法法則“若事件A與B互斥，則P(A+B)

=P(A)+P(B)”，對立事件的減法法則“P()=1—P(A)”，

以及獨(dú)立事件的乘法法則“若事件A與B相互獨(dú)立，則P(AB)=

P(A)P(B)”.

離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

()必做4某高校的自主招生考試數(shù)學(xué)試卷共有8道選擇題，

每個(gè)選擇題都給了4個(gè)選項(xiàng)(其中有且僅有一個(gè)是正確的).評分標(biāo)

準(zhǔn)規(guī)定：每題只選1項(xiàng)，答對得5分，不答或答錯(cuò)得0分.某考生

每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題

中，有兩道題每題都可判斷其中兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判

斷其中一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜.對

于這8道選擇題，試求：

(1)該考生得分為40分的概率；

(2)該考生所得分?jǐn)?shù)€的分布列及數(shù)學(xué)期望Eg.

精妙解法(1)要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四

道題中，有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為，還有一道

題答對的概率為，所以得40分的概率為P=XXX-

(2)依題意，該考生得分&的取值是20,25,30,35,40,

得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯(cuò)，故所求概率為P

(1=20)=XXX二；同樣可求得得分為25分的概率為P(€=25)

=CXXXX+XXX+XXX=；得分為30分的概率為P(€=30)=；

得分為35分的概率為P(1=35)二；得分為40分的概率為P(g=40)

=.于是€的分布列為：

故E&二20X+25X+30X+35X+40X二，該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期

望為.

()必做5某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬試驗(yàn)，準(zhǔn)備

用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨,

其試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下.

假定對甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不影響，請你根據(jù)

人工降雨模擬試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，

(1)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；

(2)考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀

態(tài)，乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài)，丙地只需小雨或中雨即達(dá)到理

想狀態(tài)，記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個(gè)數(shù)”為隨機(jī)變量€，

求隨機(jī)變量l的分布列和數(shù)學(xué)期望E€.

精妙解法(1)記“甲、乙、丙三地都恰好為中雨”為事件M,

根據(jù)人工降雨模擬試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到用A,B,C三種降雨方式為

中雨的概率分別是，一因?yàn)榧住⒁?、丙三地?shí)施的人工降雨彼此互

不影響，所以甲、乙、丙三地都恰好為中雨的概率P(M)=XX=.

(2)設(shè)甲、乙、丙三地降雨量達(dá)到理想狀態(tài)的概率分別是pl,

p2,p3,則pl=，p2=,p3=+二.&的可能取值為0,1,2,3,P(二0)

二XX=，P(€=1)=xX+XX+XX=,P(c=2)=xx+xx+xx=,

P（C=3）=XX=,

所以Eg=X0+Xl+X2+X3=.

極速突擊解決此類題目的思路是“正確求解隨機(jī)變量己的取

值列出C的分布列計(jì)算期望E&二xipi”.

金刊提醒

求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，必須先求出其分布列，然

后套用公式EX=xipi和DX=（xi-EC）2pi.

抽樣方法與總體分布的估計(jì)

（）必做6某校在2012年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100

名學(xué)生的筆試成績，被抽取學(xué)生的成績均不低于160分，且低于185

分，圖3是按成績分組得到的頻率分布表的一部分（每一組均包括左

端點(diǎn)數(shù)據(jù)而不包括右端點(diǎn)數(shù)據(jù)），且第3組、第4組、第5組的頻數(shù)

之比依次為3：2：1.

（1）請完成頻率分布直方圖；

（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，該高校決定在筆試成績較高

的第3組、第4組、第5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第

二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；

（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)

生由考官A面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率.

精妙解法（1）由題意知第1、2組的頻數(shù)分別為J00X0.01X5=5,

100X0.07X5=35.故第3、4、5組的頻數(shù)之和為：100-5-35=60,

從而可得其頻數(shù)依次為30,20,10,其頻率依次為0.3,0.2,0.1,

其頻率分布直方圖如圖4.

(2)由第3、4、5組共60人，用分層抽樣抽取6人.故第3、

4、5組中應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)依次為：第3組：X6=3人；第4組：X6=2

人；第5組：X6=l人.

(3)由(2)知共有6人(記為Al,A2,A3,Bl,B2,C)被抽

出，其中第4組有2人(記為Bl,B2).有題意可知：抽取兩人作

為一組共有(Al,A2),(Al,A3),(Al,Bl),(Al,B2),(Al,C),

(A2,A3),(A2,Bl),(A2,B2),(A2,C),(A3,Bl),(A3,B2),

(A3,C),(Bl,B2),(Bl,C),(B2,C)共15種等可能的情況,而

滿足題意的情況有(Al,Bl),(Al,B2),(A2,Bl),(A2,B2),(A3,

Bl),(A3,B2),(Bl,B2),(Bl,C),(B2,C)共9種，因此所求事

件的概率為二.

()必做7某市為“市中學(xué)生知識競賽”進(jìn)行選拔性測試，且

規(guī)定：成績大于或等于90分的有參賽資格，90分以下(不包括90

分)的則被淘汰.若現(xiàn)有500人參加測試，學(xué)生成績的頻率分布直方

圖如圖5.

圖5

(1)求獲得參賽資格的人數(shù)；

(2)根據(jù)頻率直方圖，估算這500名學(xué)生測試的平均成績；

(3)若知識競賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5次選題

答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)答對3題或答錯(cuò)3題即終止，答對3題者方可參加

復(fù)賽，已知參賽者甲答對每一個(gè)問題的概率都相同，并且相互之間沒

有影響，已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分

布列及數(shù)學(xué)期望.

精妙解法(1)由頻率分布直方圖得，獲得參賽資格的人數(shù)為

500X(0.0050+0.0043+0.0032)X20=125人.

(2)設(shè)500名學(xué)生的平均成績?yōu)椋瑒t=

(X0.0065+X0.0140+X0.0170+X0.0050+X0.0043+X0.0032)

X20=78.48分.

(3)設(shè)學(xué)生甲每道題答對的概率為P(A),則(1-P(A))2二，

所以P(A)=.學(xué)生甲答題個(gè)數(shù)X的可能值為3,4,5,則P(X=3)

二+二，P(X=4)=C+C?=，P(X=5)=C=.所以X服從分布列

E(X)=X3+X4+X5=.

金刊提醒

近幾年高考試卷往往有機(jī)地將統(tǒng)計(jì)與概率綜合考查，首先以統(tǒng)計(jì)

圖表呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，考查對莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖的認(rèn)識,

然后通過分層抽樣，并對抽樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，考查各類分布列.

回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

()必做8數(shù)學(xué)課程改革試驗(yàn)中，某數(shù)學(xué)教師分別用A、B兩種

不同的教學(xué)方式實(shí)驗(yàn)甲、乙兩個(gè)高一新班(均為60人，入學(xué)數(shù)學(xué)平

均分和優(yōu)秀率都相同，勤奮程度和自覺性都一樣).現(xiàn)隨機(jī)抽取甲、

乙兩班各20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末市統(tǒng)考成績，得莖葉圖(如圖6)：

甲班乙班

2901568

66321801256689

832217368

9877665799

99885

圖6

(1)依莖葉圖判斷哪個(gè)班級的平均分高；

(2)學(xué)校規(guī)定：成績不低于85分為優(yōu)秀，請?zhí)顚懴旅?義2列

聯(lián)表,并判斷能否以97.5%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”；

(3)現(xiàn)從乙班數(shù)學(xué)成績不低于85分的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，成

績不低于90分的同學(xué)獎(jiǎng)100元，否則獎(jiǎng)50元，記X為這2人所得的

獎(jiǎng)金和，求X的分布列和數(shù)