2022-2023學年新教材高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何單元綜合測試卷新人教A版選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何單元綜合測試卷

一、單選題

1.兩個不同平面夕的法向量分別為非零向量兩條不同直線明方的方向向量

分別為非零向量E，E，則下列敘述不正確的是（)

A.a，尸的充要條件為々=。

B.q1b的充要條件為4多=。

C.a〃尸的充要條件為存在實數(shù)4使得1=2元

D.a〃a的充要條件為『1=0

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)面面垂直的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項A；依據(jù)線線垂直的定義及向量數(shù)量

積的幾何意義判斷選項B：依據(jù)面面平行的定義及數(shù)乘向量的幾何意義判斷選項C；依據(jù)線

面平行的定義及向量數(shù)量積的兒何意義判斷選項D.

【詳解】

選項A：aJ_夕o_L〃2u>>S=。?判斷正確;

選項B：aJLbo匕J,匕。%=°?判斷正確；

選項C：a〃夕u>nj/n2o存在實數(shù)4使得〃產(chǎn)4%?判斷正確；

選項D：若〃〃a,則有匕.勺=0；若巧.〃]=0,則有〃〃a或aua,

則《〃a是??點=0的充分不必要條件.判斷錯誤.

故選：D

2.以下四組向量在同一平面的是（)

A.（1」,0）、（0,1,1）、（1,0,1）B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)

C.（1,2,3）、（1,3,2）、（2,3,1）D.(1,0,0)、(0,0,2)、(0,3,0)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用共面向量的基本定理逐項判斷可得出合適的選項.

【詳解】

1

n=1

對于A選項，設(1,1,0)二m(0,1,1)+〃(1,0,1),所以，5=1,無解;

m+n=Q

對于B選項，因為(2,2,4)=0-(3,0,0)+2(1,1,2),故B選項中的三個向量共面:

x+2y=i

對于C選項，設(l,2,3)=x(l,3,2)+y(2,3,l),所以，,3x+3y=2,無解；

2x+y=3

0=1

對于D選項，設(1,0,0)=。(0,0,2)+/乂0,3,0),所以，＜36=0,矛盾.

2a=0

故選：B.

3.若位瓦占構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是()

A.a+c,a,a-cB.a+b,a+b+c,c

C.a-b,a+b,cD.a-b,b+c,a+c

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)向量共面定理即可求解.

【詳解】

解：對A：(q+c)+(a-c)=2a,故A選項中向量共面;

對B：R+5)+"=￡+5+",故B選項中向量共面；

對D：(q+c)-0+c)=a-5,故D選項中向量共面；

假設a+否，a-h＞。共面，則存在實數(shù)MV使得c=x(a+初+y(a-5)=(x+y)a+(x-y)3,

則￡35共面，與已知矛盾，故C選項中向量不共面；

故選：C.

4.在四面體O48C中，OA=a，OB=b反="，點”在CM上，且OM=2M4,N是BC

的中點，則麗=()

A.匕-匕+=2r2flr

B.一a+-o-c

232332

1-11-_2々+匕+匕

C.—a+—hT——cD.

222322

【答案】D

【解析】

【分析】

2

利用空間向量的線性運算可得出而關于5、"的表達式，再利用麗=麗-西可求得結(jié)

果.

【詳解】

由已知麗=麗+麗=麗+（而=麗+；（雙一麗）=

所以，MN=ON-OM=-（b+c\--a=--a+-b+-c,

2、/3322

故選：D.

5.已知A,B,。三點不共線，。為平面48。外一點，下列條件中能確定P,A,B,C

四點共面的是（）

A.OP=OA+OB+OCB.0P=20A-0B-0C

C.OP=-OA+-OB+-OCD.OP=-OA+-OB+-OC

532333

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)點P與點48,C共面，可得x+y+z=l,驗證選項，即可得到答案.

【詳解】

UU1UULUU1UUU

設OP=xOA+yOB+zOC，

若點P與點48,C共面，

則x+y+z=l,

對于選項A：x+y+z=l+l+l=3wl,不滿足題意;

對「選項B：x+y+z=2-l-l=001,不滿足題意;

對于i正項C：x+^+z=l+|+l=|1^1.不滿足題意:

對于選項D：x+y+z=；+g+:=1,滿足題意.

故選：D.

6.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若

ZAiAB=ZAiAD=6G\且44=3,則4G的長為（）

3

【答案】D

【解析】

【分析】

由向最線性運算得有=而+而+羽，利用數(shù)最積的定義和運算律可求得延2,由此可求

得|回.

【詳解】

由題意得：|布卜|茄卜1，|不4=3,且關.%=0，

又荏刀=|麗?同COS60。='，而?麗=|囹?網(wǎng)COS60。=|,

,/4cl=AB+AD+AAy,

jcj2=（而+詬+河*=|^|2+|JD|2+|Z^|2+2J5-J5+2J5-Z^+2JD-Z^

=1+1+9+3+3=17,.-.|jq|=>/i7.

故選：D.

7.如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（）

A.異面直線力。與8G所成的角為60,

B.二面角力-80-8的正切值為近

C.直線力4與平面"G〃所成的角為45。

D.四面體。-48（的外接球體積為由兀

2

4

【答案】c

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標系，利用空間向量求解異面直線的夾角，二面角及線面角，判斷ABC選項,

D選項，四面體A-44。的外接球即為正方體的外接球，從而求出外接球半徑和體積.

【詳解】

以〃為坐標原點，DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則^(i,o,o),c(o,1,o),^(1,1,o),q(o,1,i),^i(U,i),z>,(o,o,i),

A選項，設異面直線/c與所成的角為e,

則cose=卜os玄，畫卜|(川,=L

V2xx/22

故異面直線ZC與8G所成的角為6(T，A正確：

B選項，設平面的法向量為m=(x,y,z),

則有—，令y=l得：x=\,z=-\,

初4C=r+y=0

則何=(1J—1),

平面EH。的法向最為〃=(0,1,0),

/\m-nIV3

設二面角4一81。-8的大小為a,顯然a為銳角，貝Ucosa=cos沌萬，

所以sina=巫，tana=Ji，故二面角4一4。-8的正切值為a,B正確；

3

C選項，設平面45GA的法向量為,=(和％馬),

則收整必二。I,則口，

?JC,=一再+必+Z[=0

所以)=(1,0,1),

設直線AB｝與平面718GA所成的角為p,

則sin>8=|cosAB?胃=皎啜%」=1,

則/=30。，C錯誤;

D選項，四面體4-4片。的外接球即為正方體力8cO-48GA的外接球，

5

設外接球半徑為R,則R=g,則外接球體積為由兀，D正確.

22

故選：C

8.已知四面體48C0的所有棱長均為五，分別為棱426。的中點，廠為棱力8上異

于48的動點.有下列結(jié)論:

①線段MV的長度為1；②點

C到面MFN的距離范圍為0,

③AFMN周長的最小值為上+1：④NMQV的余弦值的取值

范圍為0,

其中正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3C.4

【答案】D

【解析】

【分析】

作。。平面力6C,垂足為O,取力。中點G,利用長度關系可求得MG,NG,利用勾股定

2

理可知①正確：在力B上取點T,使得力7=§48,以。為坐標原點可建立空間直角坐標系,

，爭-停,0,利用點到平面距離

設尸(x,y,z),萬=2荏(0<2<1),可表示出

6

\[b1—A也

2'~r

的向量求法可表示出"令-—―=/>0,可得4=召——,由此確定②正

確；將等邊三角形與"。沿48展開，可知M/+N尸之MN,由此可知③正確；設。為

力8中點，若點尸在線段8。上，沒8尸=立-x，利用余弦定理表示出

2

cos4MFN=j------------'-rj、"八1當0<x<立時,

匚\，可知當x=0時,cosNMFN=0；

Jx+—X+一2

V24

[1111,,結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可求得cos/MBV的范圍，知④

V4/2/

正確.

【詳解】

四面體488所有棱長均為拉，1?四面體為正四面體；

對于①，作0￡>_L平面48C,垂足為0，

2

?四面體/BCO為正四面體，..0為A/BC的中心，.且/0=§4N；

取40中點G,連接MG,則MG//OO,MG=』Q。且MG_L平面/8C：

2

vAN=：.AO=GN=-AN=—，:.MG=-D0=-x

3322

???MG1平面48C,GNu平面4BC,:.MG上GN,MN=[+'=1,①正確;

2

對于②，在月8上取點7,使得4r=]48,則O77/8C,.?.力N_LOT,

則以o為坐標原點，而，而正方向為XJ，N軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

7

則/0,告0,B條器，o)N0,除，o)，D0,0,割,C-冬船

《。，4用，..甌=隹。4麗=(。卓-用，

設產(chǎn)(x,y,z),JF=2J5(O<2<]),

??蘇=gy+冬｝荏=(今乎,0),…爭”爭一爭z=0,

設平面MNE的法向量〃=(a,6,c)：

MN?n=——b-----c=0

33\?3—yf^A.

令b=l,解得：c=V2?

^p.n=—Aa+[—A-^X=0-2-

2122f

A

\/

???1+>1，/.O"〈等，即點C到平面MFN的距離的取值范圍為「，孝，②正確;

對于③，將等邊三角形4BC與加。沿48展開，可得展開圖如卜圖所示,

8

則MF+NF2MN（當且僅當下為48中點時取等號），

???四邊形NC8O為菱形，河,"分別為40,5。中點，.?.血=血,

:.MF+NFN近，

則在四面體"CZ）中，周長的最小值為收+1,③正確；

對于④，設。為28中點，若點尸在線段8。上，設6尸=巫-彳，則/尸=①+刈其中

22

0<x<—?

2

在zUM尸中，同理可得：MF2=?+-%+-，

22

cos4MFN=----------------

當x=0時，cos/MFN=0；

9

屋，+37+1

1111,,w

—+r+1>3,0<cosZ.MFN<—

4x42x23

???cos/MEN的取值范圍為0,

同理可得：當尸在線段4。上時，cos/W/W的取值范圍為

綜上所述：NMFN的余弦值的取值范圍為

故選：D.

二、多選題

9.給定下列命題，其中正確的命題是（

ULU1八一一

A.若,叫分別是平面。，尸的法向量，則〃[〃〃20。〃夕

u.UB.c一—

B.若〃],%分別是平面尸的法向量，則a〃尸=〃]，，4=0

C.若G是平面a的法向量，且向量￡是平面。內(nèi)的直線/的方向向量，則￡i=0

D.若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)平面的法向量與平面的關系依次判斷即可得出答案.

【詳解】

IXUfl-__

對A,若〃1,〃2分別是平面a，夕的法向量，則〃|〃%=?！ㄏ?，故A正確B錯誤；

對C,若熱是平面。的法向量，則7與平面。的任意直線的方向向量均垂直，所以￡i=0,

故C正確；

對D,若兩個平面垂直時，它們的法向量垂直是真命題，所以它的逆否命題“若兩個平面的

法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直”也是真命題，故D正確.

故選：ACD.

10.如圖，已知四邊形被力是邊長為1的正方形，血1平面力比〃陽1平面/及力，且場

=NB=1,￡為.，必的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

10

DC

A.平面兆及L平面/IHVB.MCyAN

C.平面Q￡V_L平面4郵D.平面底〃平面4也V

【答案】ABD

【解析】

【分析】

在A中，推導出5d8,BC1NB,從而8CJ_平面力8N,進而平面8CE_L平面48N；

在B中，以8為原點，84為不軸，4C為V軸，4N為z軸，建立空間直角坐標系，利用向

量法能求出MCI4N;在C中，求出平面4WV的法向量和平面CMN的法向量，利用向量

法推導出平面CMN勺平面4A/N不垂直；在D中，求出平面8DE的法向量，利用向量法能

推導出平面5DE//平面4WV.

【詳解】

解：在A中，???四邊形力88是邊長為1的正方形，."CJ.48,

?.?NBA.平面4BCD,8Cu平面力BCO,/.BCLNB,

4B,NBu平面4BN,,；.BC工平面4BN,

???5Cu平面BCE,.??平面8CE_1_平面48N,故A正確；

在B中，以8為原點，以為x軸，8C為V軸，8N為n軸，建立空間直角坐標系，

A/(l,1,1),C(0,1,0),41,0,0),N(0,0,1),

MC=(-1,0,T),AN=(-1,0,1),

MCAN=0i:.MC1ANt故B正確；

在C中，NM=(\,1,0),A^=(l,0,-1),AfC=(O,1,-1),

設平面4MN的法向量所二(x,y.z),

,,,m-NM=x+y=0

則〈_取x=l得而=(1-1,】)，

m-NA=x-z=0

設平面CMV的法向量無=。,yltzj,

ri'NM=%+y=0

則，,取X[=1,得力=(1,-i,-1),

ii-NC=y1-4=0

m-w=l+l-I=l*0,

平面CMN與平面AMN不垂直,故C錯誤;

在D中,麗=(1,1,0),而=6K),

11

設平面BOE的法向量7=(%b,c),

p-BD=a+b=0

則—―11，取a=l,得萬=(1,一1,1)

p-BE=—a+b+—c=0

[22

??,平面NMN的法向量加=(1,所以而即，

平面8QE〃平面4WN,故D正確.

故選：ABD.

11.下列四個命題中，正確命題的有()

A.若一向量萬在基底舊范同下的坐標為(L-2,3),則向量方在基底F+后-4耳下的坐標

B.若向量3=(2,-1,2),3=(-4,2,⑼且］與否的夾角為鈍角，則實數(shù)，〃的取值范圍為m<5；

C.已知直線/的方向向量為。=(1,0,1),點4(12-1)在/上，則點尸(2』,1)到/的距離為當;

D.若兩個不同平面。，夕的法向量分別是二且「二(1,2,-2),^=(-2,-4,4),貝ija〃夕.

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，逐項分析，結(jié)合相關公式和概念即可求解.

【詳解】

對于A,因為向量力在基底口,礙下的坐標為(1，-2,3),則萬=1-23+35,

設向量/在基底｛￡+友￡-51｝下的坐標為“，兒z,),

12

則p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x-￥y)a+(x-y)b+zc?

x+y=1

,解得x=-；,z=3,

所以x-y=-2y=^,

z=3

所以向量7在基底+下的坐標為卜;3）.故選項A不正確；

對于B,??響量〉=（2,-1,2）,坂=（-4,2,?。?，且1與5的夾角為鈍角，

2-12

5-^=-8-2+2/?<0?且一;=?;一,解得〃1<5,且膽工-4,,故選項B不正確；

-42m

對于C,直線/的方向向量為力=0,0,1）,點力。,2,T）在/上，

則點P（2,1,1）到/的距離為：

d=|同“-（cos<不,M=S+l+4『奇言懸:=半’故選項C正確;

對于D,兩個不同平面。，P的法向量分別是心V，且正=（1,2,-2）,v=（-2,^,4），因為E=-2i7,

所以/〃萬，則?！ㄏ?，故選項D正確.

故選：CD.

12.如圖，在平行六面體48co-4產(chǎn)￡。中，

ZDAB=ZDAAX=ZBAAX=60°,48=4。=44,點M,N分別是棱4GC4的中點，則下

列說法中正確的有（）

A.MN±AC}

UUUlULUUUU

B.向量4共面

UUUIUUBUUUUUUU

C.AC^AB-C^+B^

D.若48=1,則該平行六面體的高為在

3

13

【答案】ACD

【解析】

【分析】

選定空間的一個基底｛而，力，刀；｝，表示出相關向量，計算數(shù)量積判斷A；利用共面向量定

理判斷B；求出正四面體4/8D的高判斷D作答.

【詳解】

在平行六面體48cz)-/產(chǎn)￡。1中，令AB=d,AD=b,AA[=E,不妨令|。|=|8|=?=1,

rrrrrr(__

依題意，ab=hc=ca=—,ACX=5+S+c,C4j=-a-b+c,

因點M*分別是棱AG，G片的中點，則麗=；麗=；(萬-5),

22

MNAC^=-(a-b)(a+b+c)=^(a-b+ac-bc)=0t則有MN_L4G，A正確；

22

uuuruuiruuuriuurrirruumuiuuuu

AM=AA1+AD+-AB=c+-a+b,若向量4必,8。,8片共面，

則存在唯一實數(shù)對入〃使得筋=4就+4西，

r1rrrrrLLi

即6+5°+°=/1/>+”,而〃,Z\c不共面，則有5=0，顯然不成立，B不正確；

-uuiuuuuuuuuiauuiuuuuuuuuuruuur

由4G=8C,則/8—GC+4G=48+8C—GC=/C+CG=/q,故c正確.

連接48,4。，依題意，AlB=AiD=BD=AAl=AB=AD,即四面體4/8。是正四面體，

因此，平行六面體的高等于點4到平面彳8。的距離，即正四面體力/BO的高力，

由A[B?AC】=伍一3)?伍+B+不)=力2—孑？+1.另一3.日=0知4GLA｛B,

由選項A知4aA、BcBD=B,

uum______

則4C1_L平面是平面4如的一個法向量，ABAC.=a(a+b+c)=2,

14

ULU'UUllf_

則人必依=2=坐，所以平行六面體的高為逅，D正確.

|AC.|V633

故選：ACD

三、填空題

13.已知向量九否滿足￡=忖=2,且歸++封1可.則％+坂在［上的投影向

量的坐標為

’32逑'

【答案】2"2"~

\Z

【解析】

【分析】

對B十可=6*@兩邊平方后得到75=2，代入投影向量的公式進行求解即可.

【詳解】

口+,=百.一可兩邊平方化簡得：2萬2-8萬.5+2后=0,①

因為1=（1,1,后），所以同=Jl+l+2=2,

又忖=2,代入①得：8-8萬萬+8=0,解得：ab=2^

所以ZB在￡上的投影向量坐標為

2

（萬+5）?萬d_a+ab（LL&）_4+2。，1，&）-33

\a\\a\2222（222）

533五、

故答案為:

2,2，^-

X/

14.已知空間四邊形48co的每條邊和對角線的長都等于1,點石，尸分別是8C,力￡）的

中點，則萬?麗的值為

【答案】-g##-0.5

【解析】

【分析】

如圖，在正三棱錐中，以前,而同為基底，AE=^BC-BAt#=那+；麗-反，利

用向量數(shù)量積性質(zhì)進行計算即可得解.

【詳解】

15

根據(jù)題意48co為正四面體，

品，而，互5兩兩成60°角，

所以荏=而-瓦5前-瓦5,

2

CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,

22

所以荏耳=(3元—?(3或+;而_元)

iiiiiiiii1

=—X—+—X---------------------------X—+—=——.

4242222222

故答案為：

15.已知向量方=0,/,2),5=(0,1,2)忑=(1,0,0),若2瓦1共面，則工=.

【答案】±1

【解析】

【分析】

利用共面向量定理直接求解

【詳解】

因為向量不=(1/2,2)/=(0,1,2)忑=(1,0,0)共面,

所以存在實數(shù)勿、n,使得值=+〃人勿WO,〃W0,即(1/2,2)=(〃,/w,2m),

\=n

所以"—=〃？，解得X?=/”=1,所以尸±1.

2=2m

故答案為：±1.

16.在棱長為1的正方體力8CO-4產(chǎn)￡2中，點尸是對角線/G的動點(點尸與4G不重

合)，則下列結(jié)論正確的有__________.

16

①存在點尸，使得平面40P〃平面BCA；

②存在點凡使得力G，平面4QP；

③席邑分別是在平面48G平面84cc上的正投影圖形的面積，對任意的點尸

都有s產(chǎn)S?；

④對任意的點凡△4。尸的面積都不等于它.

6

【答案】①②④

【解析】

【分析】

當P為直線4G與平面力力。的交點時，根據(jù)面面平行的判定定理即可判斷①正確；當尸為

直線4G與平面4比＞的交點時，根據(jù)線面垂直的判定定理即可判斷②；計算出￡=邑的條

件即可判斷③；求出△ADP的面積的最小值即可判斷④.

【詳解】

對于①，如圖，因為BQJfBD,B.C//A.D,8。。4。=。，

所以平面48。〃平面5c。，

當直線交平面力嚴。于點尸時，有平面4。。〃平面8cA,故①正確；

對于②，如圖，設正方體的棱長為2,則4(2,2,0),0(0,2,0),4(222),&(0,0,2),8(2,0,0),

17

則AC]=(-2-2,2)而=(-2,0,-2i,B5=(-2,2,0),

有苑而=0,而?麗=0.所以襦_L而.苑_L麗，

又BDCAQ=D,BD、%Ou平面彳產(chǎn)。，所以/。1，平面4班),

當直線/G交平面48。于點尸時，有ZGJ?平面4。尸，故②正確;

對于③，因為設"=x4C](其中Ovxcl),

則△4。尸在平面48CQ的正投影面積為，X"￡=5,

又X40P在平面BBgC上的正投影圖形的面積與在平面AAAD的正投影圖形面積相等,

所以S2=；4?x-/4

X1I

若耳=邑，則5=》一丁解得、=1或x=『

因為O<X<1,所以％=；,故存在點P,使得耳=S?；故③錯誤；

對于④，由于4。固定不變，只要找4G上的點到4。的距離最短即可，

取4。中點。，連接OP、0A,

由②的分析可證得ACX1平面A}BD,由OPu平面ABD得ACt1OP：

又4。，平面力GA,OPU平面4GA，所以4。，。尸，

18

所以。尸為直線ACX與4。的公垂線，此時△A.DP的面積最小:

因為在正方體中，易知/尸=,力&=巫，

313

又AO=；AD\=^，所以OP=Mo—p2二船,

因此，S.=-ADxOP=—>—：

出DP所2勺i66

所以對任意點P,2X4。尸的面積都不等于正，故④正確.

6

故答案為：①②④

四、解答題

17.如圖，四棱錐尸-488中，AD=PD=2,底面/I直》是正方形.且平面尸C0JL平面

ABCD,ZPDC=120°.

(1)若麗='ll,前=；后，尸為48的中點，N為優(yōu)的中點，證明四邊形.四W為梯形;

(2)若點￡為夕C的中點，試判斷在線段力8上是否存在一點收使得二面角C-QE-產(chǎn)平面

角為若存在，求出匕1的值.若不存在，請說明理由.

3\AB\

【答案】(1)證明見解析

⑵存在,6\AF\H2

【解析】

【分析】

(1)首先連接“￡，EN,NF,FM,AC,根據(jù)題意得到E/V〃破且EV#ME,即可

證明四邊形MEN尸為梯形.

(2)首先在平面PCD中,過點D作DH1DC,交PCrH,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到DH1

平面彳8。￡>.以。為原點，D4所在直線為x軸，ZX7所在直線為y軸，所在直線為z軸,

19

建立空間直角坐標系，再利用空間向量法求解即可.

(1)

連接ME,EN,NF,FM,AC,如圖所示：

—2——...1—

因為PE=PC,AM=^APt

所以兩=：方，又因為麗=|前，即中黑=翳=:

2

所以ME〃/。且朋E=—4C,

3

???△48C中，尸為48的中點，N為4c的中點

所以FN〃AC且FN==AC,

2

所以/W〃ME且產(chǎn)N工ME,

即證：四邊形MEN尸為梯形.

(2)

在線段AB存在一點產(chǎn)滿足臣=￡,使得二面角C-。石-"平面角為

因為平面?C0_L平面/8C。，平面PCZ)n平面4BC0=Z)C,

在平面尸。中，過點D作。〃_LDC,交PC于H.

所以。H_L平面45co.

如圖所示，以0為原點，04所在直線為％軸，QC所在直線為y軸，

所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

20

因為4O=PO=2,設H尸|=機，四邊形498為正方形，ZPDC=120°,

所以0(0,0,0),C(0,2,0),P(0,-l,V3),E0,1,廠(2,見0)一

\/

平面尸切的一個法向量厲=(2,0,0),

所以瓦=(0；,*,而=(2,也0),

設平面OE"的一個法向量〃=(x,y,z),

n-DE=-y+—z=0令=2，則y=-2百，x=.〃，而=(鬲，-2瓜2卜

n?DF=2x+my=0

因為二面角C-OE-尸平面角為:，

4

-

M網(wǎng)2

所以

解得3

=--

H司23-

18.如圖，在四棱錐產(chǎn)一46c。中：P4J_底面48CQ,AB//DC,DA1AB,AB=AP=2,

2

DA=DC=\,E為PC上一點,且PE=§PC.

21

E

(D求證：/E_L平面P8C；

(2)求平面AEB與平面4EO所成的銳二面角的大小.

【答案】(1)證明見解析

%

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)空間直角坐標系，可得空間向量，進而可根據(jù)向量垂直證明線線垂直，進而可得

線面垂直.(2)求解兩個平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角與二面角的關系即可求解.

(1)

證明：：H4_L底面48C。，ABLAD,

故以A為原點，4&4Z4P分別為x軸、了軸、n軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,0,0)、P(0,0,2)、“1,1,0)、3(2,0,0)、D(0,l,0),

所以力￡=/?C=(-1,l,0),/?P=(-2,0,2),

則比?荏=0，麗?屈=0，GPBCJ.AE,BP1AE,

又BCCBP=B,所以平面P8C

22

p

(2)

--(222、.uum

由⑴知=48=(2,0,0),力。=(0』,0),

設平面力歐的一個法向量為〃=(xj,z),則方G=0，荏i=0，

2x=0t

即，旦+型+”，令歹=1,可得；=(oj-1),

T+T+T=

設平面NEO的一個法向量為薪=38c),則而?■=()，荏橘=0,

6=0

即，2a2b2c八，令。=1,可得-/\I/_八1\m'n\11

加二(1,0,.I),MW，訃麗二萬7r于

—+—+—=0

333

所以平面/￡5與平面力￡1￡＞銳二面角的大小為g

19.如圖，在直三棱柱48C-44。中，四邊形力4￡。是邊長為4的正方形，AB=3,8c=5.

(1)求直線力乃與直線4G所成角的余弦值.

BD

(2)若在線段8G上存在一點〃，且五萬二t,當/1O_L48時，求￡的值.

【答案】(1)辿

5

23

⑵看

【解析】

【分析】

(1)首先由勾股定理逆定理得到/C18C,再根據(jù)直棱柱的性質(zhì)建立空間直角坐標系，利

用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值；

(2)依題意可得=求出力、45的坐標，依題意可得40_L48，則

瓦?福=0,即可得到方程，解得即可；

(1)

解:在直三棱柱/8C-44G中，四邊形A4G。是邊長為4的正方形，48=3,BC=5.

所以4c2+/52=3。2,所以4d8,

又AA.1平面ABC,

以點A為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，

則4(0,0,4),3(0,3Q),B,(0,3,4),C,(4,0,4),4(0,0,0),

所以苑=(4,0,4),54=(0,-3,4)，

設直線48與直線4G所成角為仇

⑵

24

解：依題意而=i匹,/e[O,i],

-UUU__

因為86=(4,-3,4).43=(03-4).J/?=(O,3,O)

所以而=而+而二刀+f苑=(0,3,0)+(4,一3,4)=(4八3-3八取)

因為而福，

則萬福=4/x0+3(3-3l)-4x4r=0,

9

解得好行

…BD9

所以近二不，

20.如圖，在四棱錐尸-48C。中，PAJ_平面ABCD,底面48。。是直角梯形，其中ADHBC,

ABLAD,PA=4,AB=AD=-BC=2￡為棱8C上的點，且

2t4

(1)求證：0￡_1_平面P力。；

(2)求二面角4-尸C-Q的余弦值；

⑶求點￡到平面尸C。的距離.

【答案】(1)證明過程見解析；

⑵竽：

⑶2.

【解析】

【分析】

(1)建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進

行計算證明即可；

(2)利用空間向量夾角公式進行求解即可；

(3)利用空間向量夾角公式，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可.

(1)

因為尸4J_平面48CD,48,4。u平面力88,

25

所以而力因此可以建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則有P(0,0,4),3(2,0,0),C(2,4,0),伙0,2,0),￡(2,1,0),

D￡=(2,-l,0),"=(0,0,4),就=(2,4,0),

J?=2x0+(-l)x0+0x4=0,DEJC=2x2+(-l)x4+0x0=0,

所以OE_LP4OE，4C,而P4/CU平面H4C,

設平面PDC的法向量為m=(x,y,z),

定=(2,4,-4)質(zhì)=(0,2,-4),

inLPCinPC=0⑵2x+/4y=-04z=0="一2,2」)，

則有，__=>?_="

mVPDm-PD=0

由⑴可知平面尸4c的法向量為瓦=(2,-1,0),

m-DE—2x2-2x12石

所以有0。碗,函二行三有”+七k+㈠廠—

由圖知二面角力-尸。-。為銳角，所以二面角4-PC-。的余弦值為竽;

(3)

由(2)可知：平面POC的法向量為正=(-2,2,1),

而=(2』,-4),所以可得：

cos〈而向=配1-----------F-----------

r|-2x2+2xl-4xl|2

\PE\?時/(-2)2+22+12X匯+―+(-4)2而

所以點E到平面尸CO的距離為|麗|?cos(麗，藍〉=722+12+(-4)2X