高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 概率 第3講 幾何概型學(xué)案-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

第3講幾何概型

考點回顧考綱解讀考向預(yù)測

年份卷型考點題號分值2019年預(yù)計考查：①與長度有關(guān)：涉及

以理解幾何概型的概念、幾

函數(shù)、向量、不等式；②與面積有關(guān)：涉及導(dǎo)

2017幾何概型4何概型概率公式為主，會求一些

數(shù)、線性規(guī)劃；③與體積有關(guān)：涉及幾何體的

簡單的幾何概型的概率，常與平

體積；④幾何概型與解答題的結(jié)合.

幾何概型面幾何、線性規(guī)劃、不等式的解

2016II解題時關(guān)犍是找到引起變化的變量，一個

集、方程的根的存在區(qū)間、定積

變量用長度；兩個變量用面積；三個變量用體

分等知識交匯考查.

2015積.

板塊一知識梳理?自主學(xué)習(xí)

［必備知識］

考點1幾何概型

1.幾何概型的定義

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，那么稱這樣

的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

2.幾何概型的兩個基本特點

考點2幾何概型的概率公式

p（.構(gòu)成事件4的區(qū)域長度（面積或體積）

"”一試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）.

［必會結(jié)論］

幾種常見的幾何概型

（1）與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)；

（2）與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，

可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)

域，即可借助平面區(qū)域解決問題；

（3）與體積有關(guān)的兒何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題.

［考點自測］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“，錯誤的打“X”）

（1）在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零.（）

(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域

中的每一點被取到的機會相等.()

(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.()

(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.()

(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).()

(6)從區(qū)間［1,10］內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是「去()

答案⑴V(2)V(3)V(4)V(5)X(6)X

2.［2017?全國卷I］如圖，正方形力靦內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切

圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點

取自黑色部分的概率是()

11JI

AB.-C.~

oZD-T

答案B

解析不妨設(shè)正方形48切的邊長為2,則正方形內(nèi)切圓的半徑為1,5正方彩=4.

由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得5*=$百=*=5,

JT

、.S?2Ji

所以由幾何概型知所求概率尸=「=7=k.故選B.

》正方形4o

3.［2018?重慶一中模擬］在［-2,3］上隨機取一個數(shù)x,則(x+l)(x—3)W0的概率為

)

2、1八3、4

AB.TC.三D.7

-5455

答案D

4

解析由(x+l)(x—3)W0,得一1WXW3.由幾何概型得所求概率為

□

4.［2018?衡水中學(xué)調(diào)研］已知正方體46必一48G以內(nèi)有一個內(nèi)切球0,則在正方體4讖

—45G〃內(nèi)任取點M點"在球。內(nèi)的概率是()

JTJinJT

ABC

-T-T-TD.適

答案c

解析設(shè)正方體棱長為a,則正方體的體積為內(nèi)切球的體積為等義圖=制,

H

故必在球。內(nèi)的概6-

5.［2016?全國卷II］從區(qū)間［0,1］隨機抽取2〃個數(shù)X，如…，為，yi,及，…，力，

構(gòu)成刀個數(shù)對（亂為，（如㈤，…，（照，％）,其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有勿個,

則用隨機模擬的方法得到的圓周率n的近似值為（）

4/72/74/772m

A.—B.—C.—D.一

1nml1n

答案C

0Wx〃〈l

解析設(shè)由I1，構(gòu)成的正方形的面積為S,北+/Q構(gòu)成的圖形的面積為￡,

OWyW1

1

-JI

S4m4m［…

所以y=-=-，所以”=一.故選C.

Sinn

板塊二典例探究?考向突破

考向”與長度有關(guān)的幾何概型

例1（1）［2016?全國卷H］某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持

續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率

為（）

7533

A—R-「一D—

108810

答案B

解析行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達該路口，即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈,

根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率々/=：.故選B.

勺Uo

（2）［2017?江蘇高考］記函數(shù)f（x）=N6+x-x?的定義域為〃在區(qū)間［-4,5］上隨機取

一個數(shù)x,則xd〃的概率是.

答案j

解析由6+x—才220,解得—2WxW3,，〃=［—2,3］.如圖，區(qū)間［—4,5］的長度為

5

9,定義域〃的長度為5,??./』不.

<----------------［-4,5］----------------->

-----------D------------->

__________111111111M.

-4-3-2-1012345久

觸類旁通

求解與長度有關(guān)的幾何概型應(yīng)注意的問題

(1)求解幾何概型問題，解題的突破口為弄清是長度之比、面積之比還是體積之比；

(2)求與長度有關(guān)的幾何概型的概率的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的

長度，然后求解，應(yīng)特別注意準(zhǔn)確表示所確定的線段的長度.

【變式訓(xùn)練i］(1)［2018?遼寧模擬］在長為12cm的線段4?上任取一點C,現(xiàn)作一

矩形，鄰邊長分別等于線段4Gb的長，則該矩形面積小于32cm?的概率為()

1124

A-6B,3C,3D'5

答案C

解析設(shè)47=xcm(0〈;r<12),

則貶=(12—x)cm,則矩形面積S=x(12—x)=12x—x、32,即(x—8)(x—4)>0,解得

0<x<4或8<K12,在數(shù)軸上表示為

04812X

o9

由幾何概型概率公式，得概率為石=彳.故選C.

?1.乙J

(2)某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間

不超過3分鐘的概率是.

田自3

答案5

解析本題可以看成向區(qū)間［0,5］內(nèi)均勻投點，設(shè)4=｛某乘客候車時間不超過3分鐘｝,

區(qū)間［2,5］的長度3

人nJlPCl4)l一區(qū)間［0,5］的長度一號

考向圖與面積有關(guān)的幾何概型

?余題免度」…與史面圖彩面積有關(guān)的問題

例2[2015?陜西高考]設(shè)復(fù)數(shù)z=(x—1)+yi(x,yeR),若|z|WL則的概

率為()

3,11.1

A.TOB.~+—

4+2-冗2n

1111

C.7---D.-----

42n2n

答案C

解析.?.(*-1)2+/W1,表示以為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，

該圓的面積為n.易知直線y=x與圓(x—1y+/=1相交于0(0,0),川1,1)兩點，作圖如

右：

JT1JI1

〃例=90°,；?S陰影=彳一,X1X1=彳一萬.

n1

故所求的概率々等=二2=;一/.

D0,v兀42n

?命題免度2…與線性規(guī)劃交匯的問題

例3[2018?湖北聯(lián)考]在區(qū)間[0,4]上隨機取兩個實數(shù)x,y,使得x+2^8的概率

為()

1363

A.-B.-C,—D.T

416194

答案D

解析如圖所示,八一-表示的平面區(qū)域為正方形。筋及其內(nèi)部，x+2j<8(x,

[0WZ4

1

4X4--X4X2

ye[0,4])表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，所以所求概率P=—————=%故選D.

?能題角.度3…隨機模擬估算

例4如圖，矩形長為6,寬為4,在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的

黃豆為96顆，以此試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)估計橢圓的面積為（）

A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32

答案C

解析由隨機模擬的思想方法，可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為一^一=0.68.由幾何概

?JVV

型的概率計算公式，可

得產(chǎn)=0.68,而S矩彩=6X4=24,貝ijS?w=0.68X24=16.32.

觸類旁通

落在橢圓內(nèi)的黃豆數(shù)—橢圓的面積

用落在矩形內(nèi)的黃豆數(shù)一矩形的面積.

考向國與體積有關(guān)的幾何概型

例5有一個底面半徑為1,高為2的圓柱，點。為這個圓柱底面圓的圓心，在這個

圓柱內(nèi)隨機抽取一點P,則點一到點。的距離大于1的概率為.

解析圓柱的體積%=兀應(yīng)?=2n,

1A。2

半球的體積/半球"=可弘.

乙JO

，圓柱內(nèi)一點尸到點。的距離小于等于1的概率為1.?.點一到點。的距離大于1的概率

O

觸類旁通

與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點

對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積（總空間）以及事件的體積

（事件空間），對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求.

【變式訓(xùn)練2】已知正三棱錐4%的底面邊長為4,高為3,則在正三棱錐內(nèi)任取

一點P,則點尸滿足V:核侏?做＜夕，tos-w的概率是一

7

答案8

解析設(shè)三棱錐46c的高為力.由Ji姚?楓〈“淞維s-戚，得與8處?/）§?：心械3,

31

解得從5,即點尸在三棱錐的中截面以下的空間.，點尸滿足，：斕一展,/淞叱-.的概率

考向目與角度有關(guān)的幾何概型

例6[2017?鞍山模擬]過等腰RtZVWC的直角頂點。在內(nèi)部隨機作一條射線,

設(shè)射線與45相交于點D,求4X4。的概率.

解在46上取一點反使AE=AC,連接四（如圖），則當(dāng)射線位落在N4◎'內(nèi)部時,1次月C

675°

易知N4T=67.5°,.?"ZK/C的概率—go：=0.75.

觸類旁通

與角度有關(guān)的幾何概型的求解方法

（1）若試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為

_構(gòu)成事件/的區(qū)域角度

"劃一試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的角度.

(2)解決此類問題時注意事件的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事件的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)

域，然后再利用公式計算.

【變式訓(xùn)練3】如圖所示，在△49C中，/6=60°,/。=45°,高4?=小，在NBAC

內(nèi)作射線4"交8c于點、M,求8帳1的概率.

解因為N6=60°,NU45°,所以/物。=75°,在RtZU勿中，AD=木,NB=

An

60°,所以應(yīng)亦。=1，NBAD=30°.

tanoO

記事件A‘為"在/胡C內(nèi)作射線4V交比1于點M使6放1”，則可得/胡狀/胡〃時事

件"發(fā)生.由幾何概型的概率公式，得尸(加=30祟°-=12.

755

/---------------------------1怎幺師'爸記?領(lǐng)悟I-----------------------------------

IMINGSHiniJIC^^GUTNAUNGWll

二:核心規(guī)律

幾何概型中的轉(zhuǎn)化思想

(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在坐標(biāo)軸

上即可.

(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它

的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型.

(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這個變量組成的有序數(shù)組來表

示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型.

。滿分策略

幾何概型求解中的注意事項

(1)計算幾何概型問題的關(guān)鍵是怎樣把具體問題(如時間問題等)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)類型的幾何

概型問題.

(2)幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.

(3)幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”“角度”“面積”“體

積”等，但要注意求概率時作比的上下“測度”要一致.

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

數(shù)學(xué)思想系列11一一轉(zhuǎn)化與化歸思想解決幾何概型的應(yīng)用問題

[2018?珠海模擬]某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30?

7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分

鐘到校的概率為.(用數(shù)字作答)

解題視點先設(shè)出兩人到校的時間，得到兩變量滿足的不等式組，再在平面直角坐標(biāo)系

中畫出不等式組表示的區(qū)域，最后根據(jù)面積型幾何概型求概率.

解析設(shè)小張和小王的到校時間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘，根據(jù)題意可畫出

圖形，如圖所示.則總事件所占的面積為(50—30)2=400.小張比小王至少早5分鐘到校表

示的事件/={(x,y)lr-x25,30〈xW50,30Wj<50},如圖中陰影部分所示，陰影部分所

225

12252Q

占的面積為5義15X15=寸，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為/(4=訴=言.

乙4UUJ/

9

答案記

答題啟示本題通過設(shè)置小張、小王兩人到校的時間這兩個變量X,必將已知轉(zhuǎn)化為X,

y所滿足的不等式，進而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(x,力的相關(guān)約束條件，從而把時間這個長

度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，進而轉(zhuǎn)化成面積型的幾何概型問題求解.若題中涉

及到三個相互獨立的變量，則需將其轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積問題加以求解.

/跟蹤訓(xùn)練

[2018?海口調(diào)研]張先生訂了一份《南昌晚報》，送報人在早上6：30~7：30之間把報

紙送到他家，張先生離開家去上班的時間在早上7：00?8：00之間，則張先生在離開家之

前能拿到報紙的概率是.

7

答案0

解析以橫坐標(biāo)x表示報紙送到時間，以縱坐標(biāo)y表示張先生離家時間，建立平面直角

坐標(biāo)系，如圖.因為隨機試驗落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條

件.根據(jù)題意只要點落在陰影部分，就表示張先生在離開家之前能拿到報紙，即所求事件/

11

XX

1X12-一

發(fā)生，所以？(/)=——

板塊四模擬演練?提能增分

[A級基礎(chǔ)達標(biāo)]

1.在長為6m的木棒上任取一點P,使點P到木棒兩端點的距離都大于2m的概率是

()

1112

A.~B.~C.-D.-

q。乙j

答案B

2

解析將木棒三等分，當(dāng)戶位于中間一段時，到兩端兒6的距離都大于2m,，戶=鼻=

1

3,

2.如圖所示，在圓心角為90°的扇形中，以圓心。為起點作射線。G則使得N4必和

/皮&都不小于15°的概率為()

1112

A.-B.-C.$D."

’1j乙j

答案D

解析依題意可知,75°],/6a石[15°,75°],故3活動區(qū)域為與

0A,如構(gòu)成的角均為15°的扇形區(qū)域，可求得該扇形圓心角為(90°-30°)=60°.0(4)

_位活動區(qū)域的圓心角度數(shù)_60°_2

的度數(shù)=90^=?

3.[2018?山東師大附中模擬]設(shè)xG[0,句，則sinxg的概率為()

1111

A-6B-4C-3D-2

答案c

1「n「5n

解析由sinx</且xG[0,Jt],借助于正弦曲線可得xG0,—U—,n，，片

n-03-

4.[2018?湖南長沙聯(lián)考]如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底

圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在

向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是()

JIJIJIJI

A1——B—C—D1——

八.14D.]254u-112

答案A

解析魚缸底面正方形的面積為于=4,圓錐底面圓的面積為九所以“魚食能被魚缸

內(nèi)的圓錐外面的魚吃到”的概率是1一？.故選A.

5.[2018?福建莆田質(zhì)檢]從區(qū)間(0,1)中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則

所取的兩個數(shù)使得斜邊長不大于1的概率是()

答案B

解析任取的兩個數(shù)記為X,y,所在區(qū)域是正方形如比內(nèi)部，而符合題意的X,y位

n2

—XI

471

于陰影區(qū)域內(nèi)（不包括*,y軸），故所求概率尸=不丁=7.

1A14

6.在棱長為2的正方體45G4中，點0為底面4靦的中心，在正方體ABCD-

484。內(nèi)隨機取一點R則點尸到點。的距離大于1的概率為（）

itJIJIjr

A?適B.一訪C-D.1--

答案B

解析正方體的體積為：2X2X2=8,以。為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的

2H

體積為："”"=裊等'['=4,則點—到點0的距離大于1的概率為：1--^-=1—

ZJZJJoJL/

7.[2018?鐵嶺模擬]已知中，N/%=60°,48=2,BC=6,在優(yōu)'上任取一點〃,

則使△/劭為鈍角三角形的概率為（）

1112

A.-B.-C-D.-

o323

答案C

解析如圖，當(dāng)班'=1時，N4所為直角，則點〃在線段/（不包含6、￡點）上時，△

4?為鈍角三角形；當(dāng)郎'=4時，/胡?為直角，則點〃在線段。不包含尸點）上時，XABD

1+21

為鈍角三角形.所以△/切為鈍角三角形的概率為一二=5.

bL

8.［2018?綿陽模擬］在面積為S的的邊46上任取一點P,則的面積大于a

的概率是.

答案；

解析如圖所示，在邊18上任取一點?，因為△/回與△總是等高的，所以事件“△

物"的面積大于:'等價于事件U\BP\：\AB\^.即《△陽C的面積大于胃=詈=.

B

5

9.在區(qū)間［—2,4］上隨機地取一個數(shù)x,若x滿足|x|W/的概率為?則必=.

答案3

解析由題意知力0,當(dāng)0〈冰2時，一腕瘧m,此時所求概率為一：?=］解得m

74—!(—2)6

=,舍去)；當(dāng)2W成4時，所求概率為:解得片3；當(dāng)G4時，概率為1,不

合題意，故加=3.

10.［2018?保定調(diào)研］在區(qū)間［—1,1］內(nèi)隨機取兩個實數(shù)x,y,則滿足1的概率

是________.

7

答案8-

解析點(X,力分布在如圖所示的正方形區(qū)域內(nèi)，畫出x—y-lW0表示的區(qū)域，可知

1

27

所求的概率為1-彳=鼻

4o

[B級知能提升]

1.[2018?鄭州模擬]分別以正方形4閱9的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰

影區(qū)域所示,若向該正方形內(nèi)隨機投一點，則該點落在陰影區(qū)域的概率為（）

4—JiJI—24—nJI—2

A.——B"204D-4

答案B

2n—4?！?

解析設(shè)16=2,則Sw凰=2n-4.，所求概率,故選B項.

2

2.已知P是所在平面內(nèi)一點，閑+元+2取=0,現(xiàn)將一粒黑芝麻隨機撒在△48C

內(nèi)，則該粒黑芝麻落在△聯(lián)內(nèi)的概率是（）

1121

AqB,-C,-D.-

答案D

解析由麗+元+2取=0,得我+我=一2后,設(shè)園邊中點為。，連接加，則2班=一

2湯，P為/〃中點，所以所求概率—2=4，即該粒黑芝麻落在△皈內(nèi)的概率是4.故選

J△攸'乙乙

D.

3.［2018?山東模擬］在區(qū)間［0,2］上隨機地取一個數(shù)x