人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)45函數(shù)的應(yīng)用（二） 重點(diǎn)題型高分突破

4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)

一、單選題

1.關(guān)于用二分法求方程的近似解，下列說法正確的是()

A.用二分法求方程的近似解一定可以得到f(x)=O在句內(nèi)的所有根

B.用二分法求方程的近似解有可能得到/(力=0在［a.b］內(nèi)的重根

C.用二分法求方程的近似解有可能得出/(力=0在句內(nèi)沒有根

D.用二分法求方程的近似解有可能得到/(x)=0在句內(nèi)的精確解

【答案】D

【解析】利用二分法求方程/(力=0在［。肉內(nèi)的近似解，即在區(qū)間［。㈤內(nèi)肯定有根存在，

而對(duì)于重根無法求解出來，且所得的近似解可能是,8］內(nèi)的精確解.

2.函數(shù)/(x)-4x+4的零點(diǎn)是()

A.(0,2)B.(2,0)C.2D.4

【答案】C

【解析】由f(x)-4x+4=0得，x=2,

所以函數(shù)/G)-4x+4的零點(diǎn)是2,

3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且“X)在(T1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，

則〃一1)?/⑴的值()

A.大于零B.小于零C.等于零D.不能確定

【答案】D

【解析】因?yàn)槿肆υ趨^(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且/(力在(-11)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),

若〃T)<0J⑴>0(或/(一1)>0,/(1)<0),此時(shí)/(一1)/(1)<0；若/(-1)=0(或

/(1)=0),此時(shí)/(T)/0)=O；若(^/(-1)<0,/(1)<0),此時(shí)

/(-1)/(1)>0,所以/(一力/⑴的值不能確定.

2

4.函數(shù)/(%)=ln(x+l)-嚏的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

A.(0,1)B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析]/(l)=ln(l+l)-y=ln2-2<0,/(2)=ln(2+l)-1=ln3-l>0

Io

由ra)=七+十>0,則/a)在(o，+e)上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)/(x)=ln(x+l)-；的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(1,2)

5.函數(shù)〃力=2'+2]的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(-1,0)

C.(1,2)D.(2,3)

【答案】R

【解析】/(-1)=-1<0,/(0)=1>0,且函數(shù)為增函數(shù)，

由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，/(力的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(-1,0).

6.已知函數(shù)/(%)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

-x-2xfx<0

圍()

A.(-1,0)B.[-1,0]C.(0,1)D.[0,1]

【答案】C

【解析】???ga)=f(幻一加有3個(gè)零點(diǎn),

/.g(x)=f(x)-m=0有三個(gè)實(shí)根，

即直線〃與y=/(x)的圖像有三個(gè)交點(diǎn).

作出圖像，

由圖可知，實(shí)數(shù)”的取值范圍是(0,1).

7.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)榧埃鋱D象是一條連續(xù)不斷的曲線.若/(-2)=/(1)±0,則函

數(shù)f。)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為()

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】奇函數(shù)人幻的定義域?yàn)镽,其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，

得/(O)=0,由/(-2)=/(I)。。得-/(2)=/⑴。0,

所以f(2)/⑴<0,故函數(shù)在(1,2)之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在(-2,-1)之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)在(-2,2)之間至少存在3個(gè)零點(diǎn).

8.已知定義在R上的函數(shù)“X)的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)&R,使得㈤+弁。)=0

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則稱“力是“回旋函數(shù)若函數(shù)“X)是"回旋函數(shù)”，且4=2,

貝廳(%)在［0,2022］上()

A.至多有2022個(gè)零點(diǎn)B.至多有1011個(gè)零點(diǎn)

C.至少有2022個(gè)零點(diǎn)D.至少有1011個(gè)零點(diǎn)

【答案】D

【解析】因?yàn)閒(x+2)+2/(力=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，令x=0,得/⑵+2〃0)=0.

若〃0)工0,則”2)與/(0)異號(hào)，即/⑵?/(0)<0,由零點(diǎn)存在定理得在(0,2)上至

少存在一個(gè)零點(diǎn).由于/(&+2)+2/(&)-0,得到/(2&H()(&€Z),進(jìn)而

/仕+2)/(2)=-［/(&)了<0,所以/(x)在區(qū)間(2,4),(4,6),…，(2020,2022)內(nèi)均至少

有一個(gè)零點(diǎn)，所以/(可在［0,2022］上至少有1011個(gè)零點(diǎn).

構(gòu)造函數(shù)十)=1；之；：1<2八2八五滿足""+2)+2〃加0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x

恒成立，是“回旋函數(shù)”，在［0,2022］上恰好有1011個(gè)零點(diǎn).

若"0)=0,則/(0)=/(2)=〃4)=〃6)=…=/(2022)=0,此時(shí)/(%)在［0,2022］上至少

有1012個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，/(力在［0,2022］上至少有1011個(gè)零點(diǎn)，且可能有1011個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正

確；

可能零點(diǎn)各數(shù)個(gè)數(shù)至少1012,大于1011,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于A,［解法一］取函數(shù)〃x)=O,滿足/(x+2)+2/(x)=0,但在［0,2022］上處處是零

點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.

［解法二］構(gòu)造函數(shù)/3=mW<2&+2kZ)，滿足〃x+2)+2/(x)=0對(duì)任

I-Z八X—，)，ZKSX<ZAC+GZJ

意的實(shí)數(shù)X恒成立，是“回旋函數(shù)”，在［0,2022］上恰好有2023個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.

9.對(duì)于函數(shù)/(X),若〃/)二%，則稱為函數(shù)”力的“不動(dòng)點(diǎn)”；若/(〃%))=%，則稱

?%為函數(shù)/(“)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.如果函數(shù)/(x)=W+a(awR)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，那

么實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

3131

C.-9-D.-9-

4444

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”一定是“穩(wěn)定點(diǎn)”，而函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)''恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，印不

存在非“不動(dòng)點(diǎn)”的“穩(wěn)定點(diǎn)”，

[小)=/

所以/(x)=x有解，但方程組(X產(chǎn)9)無解，

[fix2)=xl

由/(x)=x,得/_%+〃=0有解，

所以1-而20,解得心!

由/

J(x2)=xr［x；+a=x，

兩式相減，得(內(nèi)一天)(玉+%)=七一天,

因?yàn)闉楣で?，所以?=一不一】，

消去演，得x；+X］+a+l=0,

因?yàn)榉匠潭?西+。+1=0無解或僅有兩個(gè)相等的實(shí)根,

2

所以1-4(a+l)V0,解得〃之七，

31

故。的取值范圍是?

_44_

2

10.已知/(x)=j—log|X時(shí)，當(dāng)0<〃<b<c時(shí)，滿足f(a)-/S)4(c)v0,則關(guān)于以下兩

3

個(gè)結(jié)論正確的判斷是()

①函數(shù)y=/(6只有一個(gè)零點(diǎn)；

②函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)必定在區(qū)間(小b)內(nèi).

A.①②均對(duì)B.①對(duì)，②錯(cuò)

C.①錯(cuò)，②對(duì)D.①②均錯(cuò)

【答案】R

【解析】因?yàn)楹孟蛻粢徽?均為區(qū)間(0,物)上的嚴(yán)格增函數(shù)，

因此函數(shù)y=)-iog[X也是區(qū)間(0,y)上的嚴(yán)格增函數(shù)，且/⑴>0,/^<0,

所以”只有一個(gè)零點(diǎn)，①對(duì).

因?yàn)椤╝)/(b)/(c)<0,

所以J(c)的符號(hào)為兩正一負(fù)或者全負(fù)，又因?yàn)?<。<匕<和

所以必有/⑻VO,/(c)vO或者〃。)<0,/?>o,/(c)>0.

當(dāng)f(a)vO,f(b)<0,/(c)vO時(shí),零點(diǎn)在區(qū)間(c,w)內(nèi);當(dāng)/⑷<0,f(b)>Or/(c)>0

時(shí)，零點(diǎn)在區(qū)間(a,b)內(nèi)，所以②錯(cuò).

II.函數(shù)〃")=11,若函數(shù)g(x)=f(x)T(reA)有3個(gè)不同的零點(diǎn)a,b,c,則

-x+5,x>2

2"+2”+2<、的取值范圍是()

A.[16,32)B.[16,34)C.(18,32]D.(18,34)

【答案】D

【解析】作出函數(shù)y=fW的圖象和直線y=tt它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為g(x)的零點(diǎn)，如圖，

貝八一2。=2"—1，4<c<5,

2"+2'=2，2re(16,32),所以18＜2"+2"+2y4.

故選：D.

12.己知函數(shù)。若/（%）=/（七）=/（七）=/（七）（片，.，孫冬互不相等）,

?兒I11,人二\/

則歷+占十七十%的取值范圍是（）

A.（總0）B.90

C.畫）D.尺

【答案】D

【解析】作出函數(shù)），=〃6的圖象，如圖所示：

設(shè)為＜%2〈工3〈演，則耳+E=2X(-1)=-2.

因?yàn)閨log2X,|=|log2x4\t所以-log2F=log2x4,

log2x,+log2x4=log2(Xjx4)=0,所以￡A=1,即/=；.

當(dāng)|蜒2乂=1時(shí)，解得x=；或X=2,所以1＜七＜2.

設(shè)/=5+a='-+七，

因?yàn)楹瘮?shù)丫=*+,在(1,80)上單調(diào)遞增，所以;+1＜一+七4弓+2,即2〈再+演《1，

x15z2

所以0V%+工2+W+X4Kg.

二、多選題

13.用二分法求函數(shù)/(x)=ln(x+l)+x-l在區(qū)間［0,1］上的零點(diǎn)，要求精確到0.01時(shí)，所需

二分區(qū)間的次數(shù)可以為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】CD

【解析】由題意，知區(qū)間［0』的長(zhǎng)度等于1,每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

經(jīng)過〃此操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)橘M(fèi)，

用二分法求函數(shù)〃x)=ln(x+l)+x-l在區(qū)間(0,1)上近似解，要求精確到0.01,

.?.90.01,解得〃27,

14.下列說法正確的是()

A.已知方程e*=8-x的解在信任+1)(丘Z)內(nèi),則2=1

B.函數(shù)/(x)=V-2x—3的零點(diǎn)是(―1,0),(3,0)

C.函數(shù)y=3",y=log3X的圖像關(guān)于丁二不對(duì)稱

D.用二分法求方程3、3x-8=0在x?l,2)內(nèi)的近似解的過程中得到/(1.5)>0,

“1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間(1.25』.5)上

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,令/㈤―,

因?yàn)?(可在R上是增函數(shù)，K/(l)=^-7<0J(2)=e2-6>0,

所以方程e，=8-x的解在(L2),所以％=故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,令x2-21-3=0得4-1或x=3,故函數(shù)/(力的零點(diǎn)為-1和3,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,函數(shù)y=3"與函數(shù)y=log3”互為反函數(shù)，所以它們的圖像關(guān)于丁二不對(duì)稱，故C

正確：

對(duì)于選項(xiàng)D,由于〃1.25)-f(5)<0J(l)-f(1.25)>0,所以由零點(diǎn)存在性定理可得方程的根

落在區(qū)間(1.25,1.5)上，故D正確.

15.(多選)已知函數(shù)/(x)在區(qū)間［。㈤上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,若/⑷/伍)<0,

則在區(qū)間［。向上（）

A.方程/（力二0沒有實(shí)數(shù)根

B.方程f（x）=O至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.若函數(shù)，（力單調(diào)，則〃力二0必有唯一的實(shí)數(shù)根

D.若函數(shù)〃力不單調(diào)，則，（力=。至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】CD

【解析】由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，知函數(shù)/（力在區(qū)間，力］上至少有一個(gè)零點(diǎn)，

所以若函數(shù)/（“不單調(diào)，則/（M=o至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

若函數(shù)/（X）單調(diào)，則函數(shù)/（X）有唯的零點(diǎn)，即/（x）=0必有唯?的實(shí)數(shù)根，

16.已知函數(shù)/（%）=卜「一令h（x）=f（x）-k,則下列說法正確的是（）

-2+lnx,x>0

A.函數(shù)/（力的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,內(nèi)）

B.當(dāng)丘時(shí)，Bx）有3個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)％=-2時(shí)，4"）的所有零點(diǎn)之和為-1

D.當(dāng)攵?7）,-4）時(shí)，力⑴有1個(gè)零點(diǎn)

【答案】BD

【解析】/（x）的圖象如下；

由圖象可知，/（"的增區(qū)間為（T0）,（0,心），故A錯(cuò)誤

當(dāng)3］時(shí)，y=〃x）與y=Z有3個(gè)交點(diǎn)，即A（x）有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確;

當(dāng)欠=一2時(shí)，由f+2x-3=-2可得*=-1±忘，由-2+lnx=-2可得1=1

所以加。）的所有零點(diǎn)之和為-1-&+1=-75，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)"（YO,T）時(shí)，y=/（x）與y=A有1個(gè)交點(diǎn)，即人。）有1個(gè)零點(diǎn)，故D正確；

三、填空題

17.函數(shù)^="2+2狽+3,（々/0）的一個(gè)零點(diǎn)為1,則其另一個(gè)零點(diǎn)為.

【答案】-3

【解析】解法一：因?yàn)楹瘮?shù)丁=0?+2奴+3,（4。0）的一個(gè)零點(diǎn)為1,

將（1,0）代入得。+為+3=0,解得N=-1.

所以y=-2^+3.

令一X2-2X+3=0,解得玉=1,x2=-3,

所以函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)為-3.

解法二：由函數(shù)'=改2+2級(jí)+3,（。/0）的一個(gè)零點(diǎn)為1,可得方程加+2以+3=0,（。/0）的

一個(gè)根為1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得百+9=-即=-2,所以另一個(gè)根為-3.故函數(shù)的另

a

一個(gè)零點(diǎn)為-3.

故答案為：-3.

18.函數(shù)f（x）滿足以下條件:①/V）的定義域?yàn)镽,其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線;②WeR,

/（X）=/（T）；③當(dāng)石,426（0，+8）且內(nèi)工9，—----＞0：④/（*）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)寫出

Xl-X2

函數(shù)f。）的一個(gè)解析式

【答案】f（x）=x2-l（答案不唯一）

【解析】因?yàn)榻闗,/（X）=/（-X）,所以/⑶是偶函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)司,乂6（0,一）且%/七，0,

Xif

所以/（.V）在（0,+00）上為增函數(shù)，

因?yàn)?（X）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以/（X）圖象與X軸只有2個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)/（幻的一個(gè)解析式可以為"X）=X2-1,

故答案為：f{x}=x2-［（答案不唯一）

19.已知/（X）是定義域?yàn)椋▂,0）U（0,M）的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=/（x）+J/（1）=-1,當(dāng)

再＞為＞。時(shí)，）%/伍卜赴恒成立.現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：

①g(x)在(O,y)上單調(diào)遞增；②g(x)的圖象與X軸有2個(gè)交點(diǎn)；③”3)+/(-2)<，④不

等式g(力>0的解集為(T0)U(Q1).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】②③

【解析】因當(dāng)為>%>。時(shí)，百%/(再)一%>5%/(9)一看恒成立，則〃百)一~->/(^2)---恒

X2E

成立，

即f(N)+，>/(X2)+=恒成立，因此g(xj>g(w)恒成立，則g(x)在(0,y)上單調(diào)遞減，

而“6是(T,0)U(0,M)上的奇函數(shù)，y］是(-8,0)U(0,w)上的奇函數(shù)，則g(x)是

(e,0)U(0,”)上的奇函數(shù)，

因此函數(shù)g5)是(f,0)U(0,M)上的奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，

命題①不正確：

因/(1)=-1,即g(l)=f(l)+；=0,g(—l)=0,顯然g(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

于是得g(x)的圖象與％軸有2個(gè)交點(diǎn)，命題②正確；

顯然g⑶<g(2),即/(3)+gv/(2)+g,則/⑶_/(2)</因此"3)+〃_2)v*,命題

③正確：

因奇函數(shù)g(x)在(-匕0),(0,內(nèi))上單調(diào)遞減，且g(-l)=g⑴=0,

則當(dāng)XG(0,1)時(shí)，S(x)>0,當(dāng)“三(y,-l)時(shí)，S(x)>0,不等式晨到>0的解集為

(-OO,-1)VJ(0,1),命題④不正確.

故答案為：②③

20.中國(guó)古代近似計(jì)算方法源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，早在八世紀(jì)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家張隧(法號(hào)：

一行)為編制《大衍歷》發(fā)明了一種近似計(jì)算的方法——二次插值算法(又稱一行算法，牛頓

也創(chuàng)造了此算法，但是比我國(guó)張隧晚了上千年)：對(duì)于函數(shù)在不電,吃(內(nèi)vx2V當(dāng))處

的函數(shù)值分別為)1=/(%),%=/(￡)，％=〃w)，則在區(qū)間后，回上，(力可以用二次函

數(shù)/(x)=y+{(x-x)+&(x-%)(x-w)來近似代替，其中吊k=^~7>

人2\人3—人2

k?=4■,若令x、=0,9=g，&="，請(qǐng)依據(jù)上述算法，估算sin多的近似值是_______

事一百25

24

【答案】—#0.96

【解析】函數(shù)y=/（x）=sinx在％=0,x,=y,內(nèi)=4處的函數(shù)值分別為y=/（。）=。，

)’2=/仁)=1，%=/(乃)=°，

>2

故用=止±=2,k=^-=--,k2=-^—^-=~

XXn

x2-x}n七一工2乃3~\

24，吟44

故f(x)2

nTV2\2)n2冗

即sinx?—^x2+-x,2TT427r42424

所以siin—?---x+-x—=

5TVT5n525

故答案為：三.

四、解答題

21.已知函數(shù)f(x)=ln(3+x)+ln(3r).

（1）證明：函數(shù)/（X）是偶函數(shù);

⑵求函數(shù)〃x）的零點(diǎn).

【答案】（1）證明見解析；

⑵-2拒和2&

【分析】（1）先證明函數(shù)/（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再證明f（-幻=/。）即可；

（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)函數(shù)/（x）的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求解方程/（x）=0即可得到函數(shù)〃x）的

零點(diǎn).

（1）

3+x>0

證明：由）3->。'解得一3。<3,

工函數(shù)的定義域?yàn)?-3vxv3},且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

又?:/(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=/(x),:.f(力是偶函數(shù).

(2)

解：/(x)=ln(3-x)+ln(3+x)=ln(9-x2),令=ln(9_d)=o,

***9—x2=1,解得x=±20\

???函數(shù)/(人)的零點(diǎn)為-2無和2&?

22.已知函數(shù)〃h=。川-3(〃>0且"1),若函數(shù)y=/(%)的圖象過點(diǎn)(2,24).

⑴求"的值及函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)；

⑵求/(x)N6的解集.

【答案】(1)3,零點(diǎn)是0

(2)[L+oo)

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=av+/-3(a>0且HI),圖象過點(diǎn)(2,24),

所以24=/+，?3,/=27,。=3.

函數(shù)/(x)=3x+,-3=0.得x+1=1,x=0.

所以函數(shù)的零點(diǎn)是0.

(2)由/(x)>6得3x+l-3>6,即3x+/>32,

所以花1.

則f(X)次的解集為[1，+00).

23.由歷年市場(chǎng)行情知，從11月1日起的30天內(nèi)，某商品每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間

r+2O(O<r<25,ze7V),

/(天)的函數(shù)關(guān)系是p=日銷售量Q(件)與時(shí)間f(天)的函數(shù)關(guān)

45(25W30,feN),

系是Q=T+40(0vfW30/eN).

(1)設(shè)該商品的日銷售額為)，元，請(qǐng)寫出y與1的函數(shù)關(guān)系式(商品的日銷售額=該商品每件

的銷售價(jià)格x口銷售量)；

(2)求該商品的日銷售額的最大值，并指出哪一天的銷售額最大.

f-r2+2Or+8OO(O<r<25,re7V),

【卷左】rny=J)

I九(1800—45/(254/?30/wN).

(2)日銷售額的最大值為900元，且11月10日銷售額最大.

【分析】(1)根據(jù)題目條件中給出的公式，直接計(jì)算，可得答案；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合取值范圍，可得答案.

(1)

(，+20)(40-f)(0</v25jwN),

由題意知y=PQ="

45x(40-325W30JeN),

-r+20f+800(0<r<25,fwN),

即尸，

1800-45/(25^r<30,reV).

(2)

當(dāng)0<f<25,fwN時(shí)，y=-r2+20r+800=-(/-10)2+900,

所以當(dāng)f=10時(shí)，Lx=900；

當(dāng)25KEK30,ZwN時(shí)，y=1800-45/,所以當(dāng)f=25時(shí)，>2=675.

因?yàn)?00>675,所以日銷售額的最大值為900元，且11月10日銷售額最大.

24.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)X40時(shí)，/(x)=f+〃比，函數(shù)f(x)在丁軸

左側(cè)的圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)“X)的解析式;

(2)若關(guān)于x的方程/(x)-a=0有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

2

【答案】(Df(x)=彳+2x,x<0

2x,x>0

⑵(TO)

【分析】⑴利用〃-2)=0可求xwo時(shí)/(x)的解析式，當(dāng)4>0時(shí)，利用奇偶性〃刈4(一4

可求得x>0時(shí)的/(x)的解析式，由此可得結(jié)果；

(2)作出/(力圖象，將問題轉(zhuǎn)化為/(⑼與丁=。有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.

(1)

由圖象知：/(-2)=0,即4一2加=0,解得:m=2,.?.當(dāng)xWO時(shí)，f(x)=^+2x；

當(dāng)x>0時(shí)，一x<0,/.f(-x)=(-x)2-2x=x2-2x,

??"(%)為R上的偶函數(shù)，，當(dāng)x>0時(shí),/(x)=/(r)=f-2小

.r2+2x,x<0

綜上所述:/(%)=’

x2-2x,x>0

???〃力為偶函數(shù)，\/'(X)圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱，可得了(力圖象如下圖所示,

“司-。=0有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于人力與y=a有4個(gè)不同的交點(diǎn)，

由圖象可知：-即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,0).

25.已知函數(shù)"力=底+加+《”0),且/⑴=4.

⑴求證：函數(shù)“X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

⑵設(shè)巧，Z是函數(shù)“力的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求歸-目的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)［屈詞

【分析】(1)根據(jù)/⑴=-］可得c=-等-》，再代入證明判別式大于0即可;

(2)根據(jù)韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得歸-q=J(g+2j+2,進(jìn)而求得范圍即可.

(1)

-：f(］)=a+h+c=-^f：.c=--b.

/.f(x)=ax2+hx-^--b.

對(duì)于方程/(x)=0,△=從-可一學(xué)一。)=6+6/+4"=(2a+bp+2/,

恒成立.

又?！?,???函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

(2)

由不，馬是函數(shù)，(x)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，得巧，々是方程“力=0的兩個(gè)根?

?小-引的取值范圍是［"+8).

26.己知函數(shù)“"=3'+止3T為偶函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

529

(2)設(shè)函數(shù)8(幻=/。)+1-3--3的零點(diǎn)為七,求證：-</(x0)<—.

【答案】(1)4=1

⑵證明見解析

【分析】⑴由/(r)=〃x)可得答案；

(2)求出g(x),利用函數(shù)g(x)在R上單調(diào)性得OvlogJVFVlogQSvl.

再利用單調(diào)性定義判斷出/(“在(0,y)上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性可得答案.

(1)

由)(T)=」(X),得3*+夕3T=3?—32x-l=a(32x-l),

所以a=l,此時(shí)/(x)=3'+3r,xeR時(shí)，/(-x)=3r+3^=/(x),為偶函數(shù),

所以a=l；

(2)

由(1)得y(x)=3*+37,所以8(工)=3'+3-'+4-3-*-3=3'+%-3,

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在R上單調(diào)遞增,且8（1哂2）=2+唾32-3<0,

（log32.5）=2.5+log32.5-3>log3>/5-0.5=0,所以O(shè)vlogiZcx。<1嗚2.5<1,

又對(duì)任意0<N<々，/（百）―/（玉）=3“+3f-3電-3-=3“一30一方奇

=(3"一戶)(1一忐卜0,所以/&)</(%)，

即/(“在(0,e)上單調(diào)遞增，

所以川唯2)，(％)<〃1嗚2.5),

即|</(*<青

27.給出下面兩個(gè)條件：①函數(shù)"X)的圖象與直線y=-l只有一個(gè)交點(diǎn)；②函數(shù)/(X)的兩

個(gè)零點(diǎn)的差的絕對(duì)值為2.在這兩人條件中選擇一個(gè)，將下面問題補(bǔ)充完整，使函數(shù)/(力的

解析式確定.

已知二次函數(shù)/(文)=/+反+C滿足(x)=2x-l,且.

(1)求/(")的解析式；

(2)若對(duì)任意xw1,27,2/(log㈤+加40恒成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范腺

(3)若函數(shù)g(x)=(2-l)/(3')-2x3-2有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【答案】⑴選①f(x)=f-21選②〃x)=d-2x

(2)6]

【分析】(1)利用已知條件求出。、b的值，可得出f(x)=f-2/+c.

選①，由題意可得出f(l)=T,可得出。的值，即可得出函數(shù)/(力的解析式；

選②，由根與系數(shù)的關(guān)系求出。的值，即可得出函數(shù)/(X)的解析式：

(2)人=】暇凡/閆-2,3],由參變量分離法可得出根4-2/5)].,結(jié)合二次函數(shù)的基本

性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)令〃=3">0,所以關(guān)于〃的方程(2-1)/(〃)-2〃-2=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根，對(duì)實(shí)數(shù)，

的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)〃的不等式組，綜合可解得

實(shí)數(shù)，的取值范圍.

(1)

解：因?yàn)槎魏瘮?shù)/(力=次+瓜+c滿足〃x+l)-/(x)=2x—l,

/(x+l)-/(x)=a(x+l)2+b(x+])+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x-\,

所以解得[,所以〃x)=-—2x+c.

[a+b=-1[b=-2

選①，因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的圖象與直線>=-1只有一個(gè)交點(diǎn)，所以〃l)=l-2+c=T,解得c=0,

所以/(x)的解析式為/⑴二f一次

選②，設(shè)X1、巧是函數(shù)/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，則,1一?=2,且A=4-4c>0,可得c<l,

由根與系數(shù)的關(guān)系可知為+/=2,X]X2=c,

所以|內(nèi)一司=+「2『-4中2=14-4c=2,解得c=0,

所以“X)的解析式為“X)=丁-2x.

(2)

解：由2/(log3X)+"z<0,得“V-2〃k)g3X),

當(dāng)xeg,27log3xe[-2,3],令/xlogsX,則力e[-2,3],

_1

-

所以對(duì)任意XC9,27，24晚3司+〃底0恒成立，等價(jià)于相4-2/(〃在丘卜2,3]上恒成立,

一

所以〃匹[-2/(力)L=-2/(-2)=-16,所以實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為(Y>,-16].

(3)

解;因?yàn)楹瘮?shù)g(x)-(2，-1)/(3，)-2乂3*-2有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

令〃=3、>0,所以關(guān)于〃的方程(2—1)/(〃)-2〃-2=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根，

因?yàn)椤?9-21，所以⑵-1)/-4〃?-2=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根，

當(dāng)2f—l=0,即/=3時(shí)，方程可化為-2〃-2=0,解得〃=一1,不符合題意；

當(dāng)2fT>0,即經(jīng)g時(shí)，函數(shù)>=(2-1)/-4戊-2的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點(diǎn)

(。，-2),

所以方程(2-1)/-4加-2=0恒有一個(gè)正實(shí)根；

當(dāng)2"lv0,即時(shí)，要使得(2/-1)/-4加-2=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根，

?=16Z2+8(2/-l)=0廠

?2/八，解得/=-必1.

------>02

(2t-\

綜上，實(shí)數(shù)/的取值范圍為f斗也,引.

28.已知函數(shù)"力=加+反+1自工0)的圖象關(guān)于直線1=1對(duì)稱，且函數(shù)y=〃力+2x為偶

函數(shù)，函數(shù)g(x)=l-2'.

⑴求函數(shù)〃x)的表達(dá)式；

⑵求證：方程/(x)+g(x)=0在區(qū)間[0』上有唯一實(shí)數(shù)根；

⑶若存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得"m)=g(〃)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(l)f(x)=(x-l)2

⑵證明見解析

(3)(^0]

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及奇偶性即可求解。力，進(jìn)而可求解析式，

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理即可判斷，

(3)將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域，即可求解.

(1)

:/(x)-以2+尿+1的圖象關(guān)于直線x-l對(duì)稱，

---=1=>力=-2a.

2a

又"/(x)+2x=〃+(b+2)x+l為偶函數(shù)，?,?夕-2,a=l.

f(x)=x2-2x+l=(x-l)2.

(2)

設(shè)Mx)=J(A：)+g(x)=(x-l)2+l-2x,Vh(0)=l>0,〃⑴=T<0,???力(0)%()<.

又f(x)=(%-l)2,g(x)=l-2"在區(qū)間［0,1］上均單調(diào)遞減,

???秋司在區(qū)間［0』上單調(diào)遞減，

???〃(l)在區(qū)間［0,1］上存在唯一零點(diǎn).

，方程/(x)+g(x)=0在區(qū)間［0,1］上有唯一實(shí)數(shù)根.

(3)

由題可知，(月=(工一1)&0,g(x)=l-2*<l,

若存在實(shí)數(shù)如使得/(M)=g(〃),則g(〃)qo,i),

即1-2"之0,解得〃40.

，〃的取值范圍是(YO,0］.

29.若函數(shù)y=f(x)同時(shí)滿足：

①函數(shù)在整個(gè)定義域是嚴(yán)格增函數(shù)或嚴(yán)格減函數(shù)；

②存在區(qū)間［。力］,使得函數(shù)在區(qū)間可上的值域?yàn)椋廴f，從］,則稱函數(shù)〃X)是該定義域上的

“閉函數(shù)

(1)判斷〃力=工-2是不是R上的“閉函數(shù)”？若是，求出區(qū)間句；若不是，說明理由；

(2)若/(x)=-i+f(xNl)是“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，的取值范圍；

(3)若/(x)=f-2辰+2(2W2)在1,3上的最小值g代)是“閉函數(shù)"，求“、。滿足的條件.

【答案】⑴不是，理由見解析；⑵(3)/+"二2且工”后姮.

【分析】(1)利用"閉函數(shù)''的定義判斷函數(shù)〃力7-2是否滿足①②，由此可得出結(jié)論；

(2)分析可知函數(shù)M〃2)=W-m+iT在加?0,他))有兩個(gè)零點(diǎn)，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布

可得出關(guān)于實(shí)數(shù)，的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)，的取值范圍；

［192k.1

------,k〈一

(3)利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得g(2)=933，然后分4<〃工:、4<：?