3.2.2第1課時　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 導(dǎo)學(xué)案正文

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能類比橢圓幾何性質(zhì)的研究方法得到雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等幾何性質(zhì)及其代數(shù)表達(dá).2.能認(rèn)識雙曲線特征量的幾何意義.◆知識點一雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2y2a2-(a>0,b>0)圖形性質(zhì)焦點

焦距

范圍

對稱性

頂點

a,b,c的關(guān)系

離心率,e∈(1,+∞)

實軸線段A1A2,長等于2a,a叫作雙曲線的實半軸長虛軸線段B1B2,長等于2b,b叫作雙曲線的虛半軸長漸近線方程

【診斷分析】1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)雙曲線x22-y24=1的焦點在y軸上(2)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)與雙曲線y2a2-x2b2=1(a>(3)雙曲線的離心率越大,雙曲線的開口越開闊. ()2.(1)雙曲線的漸近線確定時,其標(biāo)準(zhǔn)方程能確定嗎?(2)橢圓的離心率與雙曲線的離心率的取值范圍是否相同?◆知識點二等軸雙曲線叫作等軸雙曲線,其漸近線方程為,離心率為.

【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)等軸雙曲線的離心率是2. ()(2)等軸雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程有關(guān). ()(3)等軸雙曲線的漸近線互相垂直.()◆探究點一由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)例1求雙曲線4x2-9y2=-36的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.變式(1)曲線x225+y29=1與曲線x225-k-yA.長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.離心率相等(2)已知雙曲線my2-x2=1(m∈R)與橢圓y25+x2=1有相同的焦點,則該雙曲線的漸近線方程為 (A.y=±3x B.y=±33C.y=±13x D.y=±3[素養(yǎng)小結(jié)]由雙曲線的方程研究其幾何性質(zhì)的解題步驟:(1)把雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式;(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置,確定a,b的值;(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).◆探究點二由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)與橢圓x29+y24=1有公共焦點,(2)與雙曲線x216-y29=1有共同的漸近線,并且經(jīng)過點A(2(3)過點(2,0),且與雙曲線y264-x216變式求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過點(5,3)且為等軸雙曲線;(2)兩頂點間的距離為6,漸近線方程為y=±32[素養(yǎng)小結(jié)]由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法,當(dāng)焦點位置明確時直接設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可,當(dāng)焦點位置不明確時,應(yīng)注意分類討論,也可以不分類討論直接把雙曲線方程設(shè)成mx2+ny2=1(mn<0).當(dāng)雙曲線的漸近線方程為y=±bax時,可以將雙曲線方程設(shè)為x2a2-y2◆探究點三求雙曲線的離心率的值或取值范圍例3(1)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x-3)2+y2=(2)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,O為坐標(biāo)原點,P為雙曲線右支上異于右頂點的點,若∠OPF的平分線垂直于x軸變式(1)若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±4A.53 B.C.43 D.(2)設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過左焦點F1的直線l與C在第一象限相交于一點P,若|F1P|=|F1F2|,且直線l傾斜角的余弦值為7[素養(yǎng)小結(jié)]求雙曲線的離心率時建立方程的一般方法:(1)利用雙曲線的幾何性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的等式;(2)利用焦點三角形,借助圖形特點得到關(guān)于a,b,c的等式;(3)將已知條件采用代數(shù)法轉(zhuǎn)化得到關(guān)于a,b,c的等式.由a,b,c的等式運(yùn)用解方程的方法得到離心率的值,解題時要注意離心率的取值范圍.拓展已知點F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b