3.2.1　雙曲線及其標準方程 導學案正文

3.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標準方程【學習目標】1.能直觀認識雙曲線的幾何特征,會識別雙曲線的定義和相關(guān)概念.2.能根據(jù)雙曲線的幾何特征選擇適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?根據(jù)雙曲線定義的代數(shù)表達類比導出雙曲線的標準方程.3.能識別焦點在不同坐標軸上的雙曲線的標準方程,能說出標準方程中特征量的關(guān)系,能初步應用雙曲線的定義和標準方程解決一些相關(guān)問題.◆知識點一雙曲線的定義1.雙曲線的定義:平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的等于非零常數(shù)()的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫作雙曲線的.

2.雙曲線上動點M的集合表示:P=,焦距常用表示.

【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)已知兩定點F1(-3,0),F2(3,0),滿足條件|PF1|-|PF2|=5的動點P的軌跡是雙曲線. ()(2)已知兩定點F1(-3,0),F2(3,0),滿足條件||PF1|-|PF2||=6的動點P的軌跡是雙曲線. ()(3)已知兩定點F1(-3,0),F2(3,0),滿足條件||PF1|-|PF2||=7的動點P的軌跡是雙曲線. ()◆知識點二雙曲線的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程

焦點坐標

a,b,c的關(guān)系

【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)已知方程x23-m-y2m-5=1表示焦點在y軸上的雙曲線,則m(2)在雙曲線的標準方程中,a,b,c的關(guān)系是a2=b2+c2. ()(3)雙曲線x2-y23=1的焦點在y軸上. (◆探究點一與雙曲線有關(guān)的軌跡方程例1(1)(多選題)[2024·武漢外國語學校高二月考]已知F1(-4,0),F2(4,0),下列說法中錯誤的是 ()A.平面內(nèi)到F1,F2兩點的距離相等的點的軌跡是直線B.平面內(nèi)到F1,F2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓C.平面內(nèi)到F1,F2兩點的距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線的一支D.平面內(nèi)到F1,F2兩點的距離的平方之和為12的點的軌跡是圓(2)若動圓與圓C1:x2+(y-2)2=1和圓C2:x2+(y+2)2=4都內(nèi)切,則動圓的圓心P的軌跡方程為.

變式已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B(-1,0),C(1,0),且sinC-sinB=12sinA,求頂點A的軌跡方程[素養(yǎng)小結(jié)]1.求解與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題,常見的方法有兩種:(1)列出等量關(guān)系,化簡得到方程;(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系,結(jié)合雙曲線的定義,得出對應的方程.2.求解與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題時要特別注意:(1)雙曲線的焦點所在的坐標軸;(2)檢驗所求的軌跡是雙曲線的一支還是兩支.◆探究點二雙曲線的標準方程例2求滿足下列條件的雙曲線的標準方程.(1)a=4,經(jīng)過點A1,-(2)經(jīng)過點(3,0),(-6,-3).(3)與雙曲線x24-y22=1變式根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程.(1)a=4,c=6,且焦點在x軸上;(2)與橢圓C:x215+y26=1共焦點且過點P(3)經(jīng)過點P(-3,27),Q(-62,-7).[素養(yǎng)小結(jié)]雙曲線標準方程的兩種求法:(1)定義法:根據(jù)雙曲線的定義得到相應的a,b,c,再寫出雙曲線的標準方程.(2)待定系數(shù)法:首先設出雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1或y2a2-x2特別地,若雙曲線的焦點的位置不明確,則應注意分類討論,也可以設雙曲線方程為mx2+ny2=1,注意標明條件mn<0.◆探究點三雙曲線定義的應用例3(1)設F1,F2分別是雙曲線C:x24-y23=1的左、右焦點,過F2的直線與C的右支交于P,Q兩點,則|F1P|+|F1Q|-|PQ|= ()A.5 B.6 C.8 D.12(2)已知雙曲線x24-y29=1,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,點M在雙曲線上且∠F1MF2=120°,則△F1MF變式(1)已知雙曲線x24-y29=1上一點M到左焦點F1的距離為10,則MF1的中點N到坐標原點OA.3或7 B.6或14C.3 D.7(2)設F1,F2分別是雙曲線C:x2-y2b2=1(b>0)的左、右焦點,過F2作x軸的垂線與C交于A,B兩點,若△ABF1為正三角形,則△ABF1的面積為A.43 B.4 C.33 D.3(3)[2024·湖北荊荊襄宜七校聯(lián)盟高二期中]已知雙曲線的方程為x29-y216=1,點F1,F2分別是其左、右焦點,A是圓x2+(y-5)2=4上的一點,點M在雙曲線的右支上,則|MF1[素養(yǎng)小結(jié)]雙曲線定義的兩種應用(1)求雙曲線上一點到某一焦點的距離時,若已知該點的橫、縱坐標,則根據(jù)兩點間的距離公式可求結(jié)果;若已知該點到另一焦點的距離,則根據(jù)||PF1|-|PF2||=2a求解,注意對所求結(jié)果進行必要的驗證(負數(shù)應該舍去,且所求距離應該不小于c-a).(2)雙曲線中的焦點三角形問題在雙曲線上的點P與其兩個焦點F1,F2連接而成的焦點三角形PF1F2中,令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因為|F1F2|=2c,所以有①定義:|r1-r2|=2a;②余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r③面積公式:S△PF1F2=1一般地,在△PF1F2中,通過以上三個等式,所求問題就會順利解決.◆探究點四雙曲線的實際應用例4如圖所示,B地在A地的正東方向4千米處,C地在B地的北偏東30°方向2千米處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2千米.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B,C兩地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算,從M到B,C兩地修建公路的費用都是a萬元/千米,求修建這兩條公路的最低總費用.變式如圖所示,某拱橋的截面圖可以看作雙曲線y216-x2m=1(m>0)的一部分,當拱頂M到水面的距離為4米時,水面寬AB為43米,則當水面寬度為46米時,拱頂M到水面的距離為 (A.4米 B