高中數(shù)學(xué) 第4章 §1 1.1導(dǎo)數(shù)應(yīng)用同步測試 北師大版選修1-1

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章§11.1導(dǎo)數(shù)應(yīng)用同步測試北師大版選修1-1一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A．單調(diào)增函數(shù)B．單調(diào)減函數(shù)C．在(0，eq\f(1,e))上是減函數(shù)，在(eq\f(1,e)，6)上是增函數(shù)D．在(0，eq\f(1,e))上是增函數(shù)，在(eq\f(1,e)，6)上是減函數(shù)[答案]A[解析]∵0<x<6，∴f′(x)＝1＋eq\f(1,x)>0，∴函數(shù)在(0,6)上單調(diào)遞增．2．設(shè)f(x)＝x2(2－x)，則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是()A．(0，eq\f(4,3)) B．(eq\f(4,3)，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(eq\f(4,3)，＋∞)[答案]A[解析]f(x)＝x2(2－x)＝2x2－x3，f′(x)＝4x－3x2，令f′(x)>0，得0<x<eq\f(4,3)，故選A.3．(·新課標(biāo)Ⅱ文，11)若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)[答案]D[解析]由條件知f′(x)＝k－eq\f(1,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.把函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解決問題的關(guān)鍵．4．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖像如圖所示，則y＝f(x)的圖像最有可能的是()[答案]C[分析]由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像位于x軸上方(下方)，確定f(x)的單調(diào)性，對比f(x)的圖像，用排除法求解．[解析]由f′(x)的圖像知，x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，x∈(0,2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)．只有C符合題意，故選C.5．已知對任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且當(dāng)x>0，有f′(x)>0，g′(x)>0，則當(dāng)x<0時(shí)，有()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0′，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案]B[解析]由已知f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)．∵x>0時(shí)，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上遞增．∴x<0時(shí)，f(x)遞增，g(x)遞減．∴x<0時(shí)f′(x)>0，g′(x)<0.6．設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像可能為()[答案]D[解析]函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則f′(x)在(－∞，0)上恒大于0，排除A、C；函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上先增加，再減少，最后又增加，則f′(x)在(0，＋∞)上先為正，再為負(fù)，最后又為正，故D選項(xiàng)符合．二、填空題7．函數(shù)f(x)＝x3－5x2＋3x＋6的單調(diào)遞減區(qū)間為________．[答案](eq\f(1,3)，3)[解析]f′(x)＝3x2－10x＋3＝(3x－1)(x－3)，令f′(x)<0，得eq\f(1,3)<x<3，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(eq\f(1,3)，3)．8．函數(shù)f(x)＝x3－mx2＋m－2的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3)，則m＝____________.[答案]eq\f(9,2)[解析]令f′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝eq\f(2,3)m，所以eq\f(2,3)m＝3，m＝eq\f(9,2).9．(·福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長樂二中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－3x在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[答案](－∞，0][解析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因?yàn)閒(x)＝x3－ax2－3x在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在區(qū)間[1，＋∞)上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)≤1，,f′1＝3×12－2a－3≥0，))解得a≤0，故答案為(－∞，0]．三、解答題10．(·甘肅省金昌市二中期中)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的圖像過點(diǎn)P(1,2)，且在點(diǎn)P處的切線斜率為8.(1)求a、b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．[答案](1)a＝4，b＝－3(2)增區(qū)間(－∞，－3)，(eq\f(1,3)，＋∞)，減區(qū)間(－3，eq\f(1,3))[解析](1)∵函數(shù)f(x)的圖像過點(diǎn)P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①又函數(shù)圖像在點(diǎn)P處的切線斜率為8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.解由①②組成的方程組，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)>0，可得x<－3或x>eq\f(1,3)；令f′(x)<0，可得－3<x<eq\f(1,3).∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－3)，(eq\f(1,3)，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－3，eq\f(1,3))．一、選擇題11．若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像可能是()[答案]A[解析]∵導(dǎo)函數(shù)f′(x)是增函數(shù)，∴切線的斜率隨著切點(diǎn)橫坐標(biāo)的增大，逐漸增大，故選A.12．函數(shù)f(x)＝－eq\f(x,ex)(a<b<1)，則()A．f(a)＝f(b)B．f(a)<f(b)C．f(a)>f(b)D．f(a)，f(b)的大小關(guān)系不能確定[答案]C[解析]f′(x)＝(eq\f(－x,ex))′＝eq\f(－x′·ex－－x·ex′,ex2)＝eq\f(x－1,ex).當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)為減函數(shù)，∵a<b<1，∴f(a)>f(b)．13．(·福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長樂二中聯(lián)考)設(shè)函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的函數(shù)，其中f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)<f(x)對于x∈R恒成立，則()A．f(2)>e2f(0)，f()>efB．f(2)<e2f(0)，f()>efC．f(2)<e2f(0)，f()<efD．f(2)>e2f(0)，f()<ef[答案]C[解析]∵函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,ex)的導(dǎo)數(shù)F′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，∴函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的減函數(shù)，∴F(2)<F(0)，即eq\f(f2,e2)<eq\f(f0,e0)，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f()<ef(0)．故選C.14．函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則y＝f′(x)的圖像可能是()[答案]D[解析]由f(x)的圖像知，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故選D.二、填空題15．若函數(shù)f(x)＝ax3＋x恰有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是____________．[答案]a＜0[解析]由題知f′(x)＝3ax2＋1＝0有兩個不等實(shí)根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝－12a>0，))∴a<0.16．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________．[答案](－∞，eq\f(1,2))[解析]f′(x)＝eq\f(ax＋2－ax－1,x＋22)＝eq\f(2a－1,x＋22)，由題意得x>－2時(shí)，f′(x)≤0恒成立，∴2a－1≤0，∴a≤eq\f(1,2).又當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝eq\f(\f(1,2)x＋1,x＋2)＝eq\f(1,2)，此時(shí)，函數(shù)f(x)在(－2，＋∞)上不是減函數(shù)，∴a≠eq\f(1,2).綜上可知，a的取值范圍為(－∞，eq\f(1,2))．三、解答題17．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3bx的圖像與直線12x＋y－1＝0相切于點(diǎn)(1，－11).(1)求a、b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．[答案](1)a＝1，b＝－3(2)增區(qū)間(－∞，－1)，(3，＋∞)減區(qū)間(－1,3)[解析](1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b.因?yàn)閒(x)的圖像與直線12x＋y－1＝0相切于點(diǎn)(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a＋3b＝－11,3－6a＋3b＝－12))，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.故當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，f(x)也是增函數(shù)；當(dāng)x∈(－1,3)時(shí)，f(x)是減函數(shù)．18．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a使f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．[答案](1)a≤0(2)a＝1[解析](1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f′(x)＝ex－a≥0(等號只能在有限個點(diǎn)處取得)恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立