高中數(shù)學(xué) 第三章綜合素質(zhì)檢測(cè) 北師大版選修1-1

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章綜合素質(zhì)檢測(cè)北師大版選修1-1時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(·北師大附中期中)已知f′(x0)＝a，則eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－3Δx,2Δx)的值為()A．－2a B．C．a(chǎn) D．－a[答案]B[解析]∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝a，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－3Δx,2Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0＋fx0－fx0－3Δx,2Δx)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＋eq\f(3,2)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,－3Δx)＝eq\f(a,2)＋eq\f(3a,2)＝2a，故選B.2．(·山西省太原五中月考)已知曲線y＝x3－1與曲線y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0處的切線互相垂直，則x0的值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3,3),3)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3,9),3)[答案]D[解析]由導(dǎo)數(shù)的定義容易求得，曲線y＝x3－1在x＝x0處切線的斜率k1＝3xeq\o\al(2,0)，曲線y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0處切線的斜率為k2＝－x0，由于兩曲線在x＝x0處的切線互相垂直，∴3xeq\o\al(2,0)·(－x0)＝－1，∴x0＝eq\f(\r(3,9),3)，故選D.3．f′(x)是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋1的導(dǎo)函數(shù)，則f′(－1)的值是()A．－eq\f(4,3) B．－3C．－1 D．3[答案]D[解析]因?yàn)閒′(x)＝x2＋2，所以f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.4．函數(shù)y＝eq\f(x2－1,x)的導(dǎo)數(shù)是()A．y′＝eq\f(x2－1,x) B．y′＝eq\f(x2＋1,x2)C．y′＝eq\f(x2－1,x2) D．y′＝eq\f(1－x2,x)[答案]B[解析]y′＝(eq\f(x2－1,x))′＝eq\f(x2－1′x－x′x2－1,x2)＝eq\f(2x2－x2＋1,x2)＝eq\f(x2＋1,x2).5．設(shè)正弦函數(shù)y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π,2)附近的瞬時(shí)變化率為k1、k2，則k1、k2的大小關(guān)系為()A．k1>k2 B．k1<k2C．k1＝k2 D．不確定[答案]A[解析]∵y＝sinx，∴y′＝cosx，∴k1＝cos0＝1，k2＝coseq\f(π,2)＝0，∴k1>k2.6．曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線的斜率為k，當(dāng)k＝3時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(－8，－2) B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,8))[答案]B[解析]設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，∴k＝3xeq\o\al(2,0)＝3，∴x0＝±1，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)或(1,1)．7．物體運(yùn)動(dòng)方程為s＝eq\f(1,4)t4－3t2，則t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度為()A．4 B．64C．16 D．40[答案]D[解析]∵s′＝(eq\f(1,4)t4－3t2)′＝t3－6t，∴s′(4)＝43－6×4＝40.8．(·合肥一六八中高二期中)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像過(guò)原點(diǎn)，且滿足eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，則f′(0)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2[答案]B[解析]∵f(x)圖像過(guò)原點(diǎn)，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f0＋Δx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，∴選B.9．(·煙臺(tái)質(zhì)檢)已知二次函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像大致形狀是()[答案]B[解析]依題意可設(shè)f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f′(x)＝2ax，顯然f′(x)的圖像為直線，過(guò)原點(diǎn)，且斜率2a10．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝()A．26 B．29C．212[答案]C[解析]f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′∴f′(0)＝a1a2…a8∵{an}為等比數(shù)列，a1＝2，a8＝4，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝2二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11．設(shè)f(x0)＝0，f′(x0)＝eq\f(1,2)，則eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋3Δx,Δx)＝________.[答案]eq\f(3,2)[解析]eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋3Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋3Δx－fx0,Δx)＝3eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋3Δx－fx0,3Δx)＝3f′(x0)＝eq\f(3,2).12．設(shè)f(x)＝eq\f(1,sinx)＋eq\f(1,cosx)，則f′(eq\f(π,3))＝________.[答案]－eq\f(2,3)＋2eq\r(3)[解析]f′(x)＝(eq\f(1,sinx)＋eq\f(1,cosx))′＝－eq\f(cosx,sin2x)＋eq\f(sinx,cos2x)，∴f′(eq\f(π,3))＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2)2)＋eq\f(\f(\r(3),2),\f(1,2)2)＝－eq\f(2,3)＋2eq\r(3).13．(·杭州質(zhì)檢)若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為_(kāi)_______．[答案](2，＋∞)[解析]由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x2－2x－4,x)＝2·eq\f(x2－x－2,x)＝2·eq\f(x＋1x－2,x)，f′(x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集為(2，＋∞)．14．(·棗陽(yáng)一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中聯(lián)考)若曲線y＝eq\r(x)在點(diǎn)P(a，eq\r(a))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是________．[答案]4[解析]y′＝eq\f(1,2\r(x))，切線方程為y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0得，y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0得，x＝－a，由題意知eq\f(1,2)·eq\f(\r(a),2)·a＝2，∴a＝4.15．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，且滿足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，則f′(5)＝____________.[答案]6[解析]∵f′(x)＝6x＋2f∴f′(2)＝12＋2f∴f′(2)＝－12.∴f′(x)＝6x－24.∴f′(5)＝30－24＝6.三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝ex＋xlnx；(2)y＝eq\f(sinx－x,x).[答案](1)y′＝ex＋lnx＋1(2)y′＝eq\f(x·cosx－sinx,x2)[解析](1)y′＝(ex)′＋(xlnx)′＝ex＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝ex＋lnx＋1.(2)y′＝eq\f(sinx－x′·x－x′sinx－x,x2)＝eq\f(cosx－1x－sinx＋x,x2)＝eq\f(x·cosx－sinx,x2).17．求曲線y＝f(x)＝eq\f(1,2)x2－3x＋2lnx在(3，f(3))處切線的斜率及切線方程．[答案]斜率eq\f(2,3)切線方程y＝eq\f(2,3)x－eq\f(13,2)＋2ln3[解析]由已知x>0，∴f′(x)＝x－3＋eq\f(2,x).曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為f′(3)＝eq\f(2,3).又f(3)＝eq\f(9,2)－9＋2ln3＝－eq\f(9,2)＋2ln3.∴方程為y－(－eq\f(9,2)＋2ln3)＝eq\f(2,3)(x－3)，即y＝eq\f(2,3)x－eq\f(13,2)＋2ln3.18．求過(guò)原點(diǎn)作曲線C：y＝x3－3x2＋2x－1的切線方程．[答案]x＋y＝0或23x－4y＝0[解析]設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，∵y′＝3x2－6x＋2，∴切線斜率為3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2，∴切線方程為y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2)(x－x0)∵切點(diǎn)在曲線C，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0－1， ①又切線過(guò)原點(diǎn)，∴－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2)(－x0)， ②由①②得0＝－2xeq\o\al(3,0)＋3xeq\o\al(2,0)－1，∴2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，因式分解得：(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)，∴兩個(gè)切點(diǎn)為(1，－1)，(－eq\f(1,2)，－eq\f(23,8))∴兩條切線方程為y＋1＝－1(x－1)和y＋eq\f(23,8)＝eq\f(23,4)(x＋eq\f(1,2))即x＋y＝0或23x－4y＝0.19．求滿足下列條件的函數(shù)f(x)．(1)f(x)是一元三次函數(shù)，且f(0)＝0，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(3)＝0；(2)f′(x)是一次函數(shù)，且x2f′(x)－(2x－1)f(x[答案](1)f(x)＝eq\f(1,2)x3－eq\f(9,4)x2(2)f(x)＝2x2＋2x＋1[解析](1)設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝0＝d,f′0＝0＝c,f′1＝3a＋2b＋c＝－3,f′3＝0＝27a＋6b＋c))，解之，得a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(9,4)，c＝0，d＝0.故f(x)＝eq\f(1,2)x3－eq\f(9,4)x2.(2)由于f′(x)為一次函數(shù)，則f(x)必為二次函數(shù)．令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b，代入x2f′(x)＋(－2x＋1)f(xx2(2ax＋b)＋(－2x＋1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(－b＋a)x2＋(b－2c)x＋(c由多項(xiàng)式恒等的條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＋a＝0,b－2c＝0,c－1＝0))，解之，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝2,c＝1)).所以f(x)＝2x2＋2x＋1.20．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖像都過(guò)點(diǎn)P(2,0)，且在點(diǎn)P處有公共切線，求f(x)，g(x)的表達(dá)式．[答案]f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16[解析]∵f(x)＝2x3＋ax的圖像過(guò)點(diǎn)P(2,0)，∴a＝－8，∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.對(duì)于g(x)＝bx2＋c的圖像過(guò)點(diǎn)P(2,0)，得4b＋c＝0.又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.綜上，可知f(x)＝2x3－8x，g