高中數(shù)學 綜合素質測試 新人教B版選修2-3

【成才之路】-學年高中數(shù)學綜合素質測試新人教B版選修2-3時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．(·四川理，6)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A．192種 B．216種C．240種 D．288種[答案]B[解析]分兩類：最左端排甲有Aeq\o\al(5,5)＝20種不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝96種不同的排法，由加法原理可得滿足條件的排法共有216種．2．有甲、乙兩種鋼材，從中各取等量樣品檢驗它們的抗拉強度指標如下：X110120125130135P0.10.20.40.10.2X100115125130145P0.10.20.10.40.2現(xiàn)要比較兩種鋼材哪一種抗拉強度較好，應考察哪項指標()A．期望與方差 B．正態(tài)分布C．卡方χ2 D．概率[答案]A[解析]檢驗鋼材的抗拉強度，若平均抗拉強度相同，再比較沒動情況．故選A.3．(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數(shù)項是()A．－20 B．－15C．15 D．20[答案]C[解析]本小題考查二項展開式的指定項的求法．Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(4x)6－r·(－2－x)r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)r2(12－3r)x，令12－3r＝0，∴r＝4，∴T5＝Ceq\o\al(4,6)＝15.4．設隨機變量X服從二項分布X～B(n，p)，則eq\f(DX2,EX2)等于()A．p2 B．(1－p)2C．1－p D．以上都不對[答案]B[解析]因為X～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以eq\f(DX2,EX2)＝eq\f([np1－p]2,np2)＝(1－p)2.故選B.5．(·新課標Ⅱ理，5)某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是()A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45[答案]A[解析]本題考查條件概率的求法．設A＝“某一天的空氣質量為優(yōu)良”，B＝“隨后一天的空氣質量為優(yōu)良”，則P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8，故選A.6．某小組有8名學生，從中選出2名男生，1名女生，分別參加數(shù)、理、化單科競賽，每人參加一科，共有90種不同的參賽方案，則男女生的人數(shù)應是()A．男生6名，女生2名B．男生5名，女生3名C．男生3名，女生5名D．男生2名，女生5名[答案]C[解析]設男生有n人，則女生有(8－n)人，所以Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(1,8－n)Aeq\o\al(3,3)＝90，得n(n－1)(8－n)＝30.所以n＝3.故選C.7．某校高三年級舉行一次演講比賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采用抽簽方式確定他們的演講順序，則一班3位同學恰好被排在一起，而二班2位同學沒有被排在一起的概率為()A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,20)C.eq\f(1,40) D．eq\f(1,120)[答案]B[解析]基本事件總數(shù)為Aeq\o\al(10,10)，而事件A包括的基本事件可按“捆綁法”與“插空法”求解．10個人的演講順序有Aeq\o\al(10,10)種可能，即基本事件總數(shù)為Aeq\o\al(10,10)，一班同學被排在一起，二班的同學沒有被排在一起這樣來考慮：先將一班的3位同學當作一個元素與其他班的5位同學一起排列有Aeq\o\al(6,6)種，二班的2位同學插入到上述6個元素所留7個空當中，有Aeq\o\al(2,7)種方法．依分步計數(shù)原理得不同的排法有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,7)種．∴所求概率為eq\f(A\o\al(6,6)·A\o\al(3,3)·A\o\al(2,7),A\o\al(10,10))＝eq\f(1,20).故選B.8．為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點隨機抽取了100位居民進行調查，經(jīng)過計算χ2的觀測值χ2＝99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是()A．有99%的人認為該欄目優(yōu)秀B．有99%的人認為欄目是否優(yōu)秀與改革有關C．有99%的把握認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系D．以上說法都不對[答案]C[解析]當χ2＞6.635時有99%的把握認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系．故選C.9．甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)[答案]D[解析]考查互斥事件的概率加法公式．甲獲得冠軍包括兩種情況：在接下來的比賽中，第一局甲贏和第一局甲沒贏，第二局甲贏．∴P＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(3,4)，選D.10．假設每一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨立的，已知4引擎飛機中至少有3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；2引擎飛機要2個引擎全部正常運行，飛機才可成功飛行．要使4引擎飛機比2引擎飛機更安全，則p的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))[答案]B[解析]4引擎飛機成功飛行的概率為Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4,2引擎飛機成功飛行的概率為p2，要使Ceq\o\al(3,4)(1－p)＋p4＞p2，必有eq\f(1,3)＜p＜1.故選B.11．如圖，已知面積為1的正三角形ABC三邊的中點分別為D、E、F，從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點中任取三個不同的點，所構成的三角形的面積為X(三點共線時，規(guī)定X＝0)，則E(x)＝()A.eq\f(11,40) B．eq\f(13,40)C.eq\f(7,20) D．eq\f(9,20)[答案]B[解析]由題意知X可取0，eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，1，P(X＝0)＝eq\f(3,C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝eq\f(1,4))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(X＝eq\f(1,2))＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，P(X＝1)＝eq\f(1,20).則E(X)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,20)＝eq\f(13,40).12．已知(1－2x)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和是64，則(1－2x)n(1＋x)的展開式中，x4的系數(shù)為()A．－672B．672C．－280D．280[答案]D[解析]由2n－1＝64，所以n－1＝6，n＝7.則(1－2x)7(1＋x)的展開式中含x4的項為：Ceq\o\al(4,7)(－2x)4＋Ceq\o\al(3,7)(－2x)3x＝(24Ceq\o\al(4,7)－23Ceq\o\al(3,7))x4＝280x4，所以x4的系數(shù)為280.故選D.二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)13．某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq\f(16,25)，則該隊員每次罰球的命中率為________．[答案]eq\f(3,5)[解析]設“每次罰球命中”為事件A，由題意P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(A))＋2P(A)·P(eq\x\to(A))＝eq\f(16,25)即[1－P(A)]2＋2P(A)·[1－P(A)]＝eq\f(16,25)，即得P(A)＝eq\f(3,5).14．如下圖，A、B、C、D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案共有______種．[答案]16[解析]一類：從一個島出發(fā)向其它三島各建一橋．共有Ceq\o\al(1,4)＝4種；二類：一個島最多建兩座橋如A—B—C—D與D—C—B—A這樣兩個排列對應一種建橋方法，因此共有eq\f(A\o\al(4,4),2)＝12種，據(jù)分類計數(shù)原理共有16種．15．設l為平面上過點(0,1)的直線，l的斜率等可能地?。?eq\r(2)、－eq\r(3)、－eq\f(\r(5),2)、0、eq\f(\r(5),2)、eq\r(3)、2eq\r(2)，用ξ表示坐標原點到l的距離，則隨機變量ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝____________.[答案]eq\f(4,7)[解析]求數(shù)學期望，關鍵是求出其分布列．根據(jù)題意，先確定ξ的所有可能的取值，再計算概率，從而列出分布列．當l的斜率k為±2eq\r(2)時，直線方程為±2eq\r(2)x－y＋1＝0，此時d1＝eq\f(1,3)；k＝±eq\r(3)時，d2＝eq\f(1,2)；k＝±eq\f(\r(5),2)時，d3＝eq\f(2,3)；k＝0時，d4＝1.由等可能事件的概率可得分布列如下：ξeq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(2,3)1Peq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)∴E(ξ)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,7)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,7)＋1×eq\f(1,7)＝eq\f(4,7).16．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))9的展開式中x3的系數(shù)是－84，則a＝________.[答案]1[解析]由Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)x9－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,x)))r＝(－a)rCeq\o\al(r,9)x9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系數(shù)為(－a)3Ceq\o\al(3,9)＝－84，解得a＝1.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本題滿分12分)若在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項．[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展開式中前三項是：T1＝Ceq\o\al(0,n)·(eq\r(x))n，T2＝Ceq\o\al(1,n)(eq\r(x))n－1·eq\f(1,2\r(4,x))，T3＝Ceq\o\al(2,n)(eq\r(x))n－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(4,x))))2，其系數(shù)分別是：Ceq\o\al(0,n)，eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)，eq\f(1,4)Ceq\o\al(2,n)，且2×eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(0,n)＋eq\f(1,4)Ceq\o\al(2,n)，解之得n＝1或n＝8，n＝1不符合題意應舍去，故n＝8.當n＝8時，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·(eq\r(x))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(4,x))))r＝Ceq\o\al(r,8)·eq\f(1,2r)·xeq\s\up7(\f(16－3r,4))，Tr＋1為有理項的充要條件是eq\f(16－3r,4)∈Z，所以r應是4的倍數(shù)，故r可為0,4,8，故所有有理項為T1＝x4，T5＝eq\f(35,8)x，T9＝eq\f(1,256x2).[說明]求展開式中特定項或特定項的系數(shù)，利用二項展開式的通項公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr.18．(本題滿分12分)在一次合唱中有6個女生(其中有1個領唱)和2個男生分成兩排表演．(1)每排4人，問共有多少種不同的排法？(2)領唱站在前排，男生站在后排，還是每排4人，問有多少種不同的排法？[解析](1)要完成這件事，必須分三步：第一步，先從8人中選4人站在前面，另4人站在后面，共有Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,8)種不同的排法；第二步，前面4人進行排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法；第三步，后面4人也進行排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法．三步依次完成，才算這件事完成，故由分步乘法計數(shù)原理有N＝Ceq\o\al(4,8)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝40320種不同的排法．(2)同理有N＝Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝5760種不同的排法．19．(本題滿分12分)一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有2件次品，用戶先對產(chǎn)品進行抽檢以決定是否接收．抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查(取出的產(chǎn)品不放回箱子)；若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品．(1)求這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率；(2)記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為ξ，求ξ的分布列．[解析](1)設“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件A，則P(A)＝eq\f(8×7×6,10×9×8)＝eq\f(7,15).即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為eq\f(7,15).(2)ξ的可能取值為1,2,3.P(ξ＝1)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).P(ξ＝2)＝eq\f(8,10)×eq\f(2,9)＝eq\f(8,45).P(ξ＝3)＝eq\f(8,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(28,45).∴ξ的分布列為：ξ123Peq\f(1,5)eq\f(8,45)eq\f(28,45)20.(本小題共12分)(·山東理，18)乒乓球臺面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球．規(guī)定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分．對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為eq\f(1,2)，在D上的概率為eq\f(1,3)；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為eq\f(1,5)，在D上的概率為eq\f(3,5).假設共有兩次來球且落在A、B上各一次，小明的兩次回球互不影響．求：(1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；(2)兩次回球結束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學期望．[解析](1)記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i＝0,1,3)，則P(A3)＝eq\f(1,2)，P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)；記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分”(i＝0,1,3)，則P(B3)＝eq\f(1,5)，P(B1)＝eq\f(3,5)，P(B0)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”．由題意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的獨立性和互斥性，P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,10)，所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為eq\f(3,10).(2)由題意，隨機變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨立性和互斥性，得P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,30)，P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＝eq\f(2,15)，P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(11,30)，P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,10).可得隨機變量ξ的分布列為：ξ012346Peq\f(1,30)eq\f(1,6)eq\f(1,5)eq\f(2,15)eq\f(11,30)eq\f(1,10)所以，數(shù)學期望E(ξ)＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(2,15)＋4×eq\f(11,30)＋6×eq\f(1,10)＝eq\f(91,30).21．(本題滿分12分)某城市一個交通路口原來只設有紅綠燈，平均每年發(fā)生交通事故80起，案件的破獲率為70%，為了加強該路口的管理，第二年在該路口設置了電子攝像頭，該年發(fā)生交通事故70起，共破獲56起，第三年白天安排了交警執(zhí)勤，該年發(fā)生交通事故60起，共破獲了54起．(1)根據(jù)以上材料分析，加強管理后的兩年該路口的交通狀況發(fā)生了怎樣的變化？(2)試采用獨立性檢驗進行分析，設置電子攝像頭對該路口交通肇事案件的破獲產(chǎn)生了什么樣的影響？設置電子攝像頭和交警白天執(zhí)勤的共同作用對該路口交通肇事案件的破獲產(chǎn)生了什么樣的影響？[解析](1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，沒有采取措施之前，案件的發(fā)生較多，并且破獲率只有70%，安裝電子攝像頭之后，案件的發(fā)生次數(shù)有所減少，并且破獲率提高到了80%，白天安排交警執(zhí)勤后，案件的發(fā)生次數(shù)進一步減少，并且破獲率提高到了90%.由此可知，電子攝像頭對遏制交通案件的發(fā)生起到了一定作用，并且給破案帶了一定的幫助，而安排交警執(zhí)勤對這些的影響更大．(2)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)可以繪制對應的2×2列聯(lián)表如下：破獲的案件未破獲的案件合計未采取措施562480安裝攝像頭561470合計11238150破獲的案件未破獲的案件合計未采取措施562480安裝攝像頭及交警執(zhí)勤54660合計11030140從如圖所示的條形圖容易看出，安裝電子攝像頭后，破案率有了提高，實行交警執(zhí)勤后案件的破獲率有了明顯提高，這說明兩種措施對案件的破獲都起到了一定的積極作用．先分析電子攝像頭對破案的影響可信度，令a＝56，b＝24，c＝56，d＝14，構造隨機變量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(150×56×14－24×562,80×70×112×38)≈1.974.其中n＝a＋b＋c＋d.而查表可知，P(χ2≥1.323)＝0.25.且1－0.25＝0.75＝75%，因此約有75%的把握認為，安裝電子攝像頭對案件的破獲起到了作用．再分析安裝電子攝像頭及交警執(zhí)勤的情況，同樣令a＝56，b＝24，c＝54，d＝6，則χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(140×56×6－24×542,80×60×110×