專題54：第12章壓軸題之猜想證明類- 中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通 用）（解析版）

54第12章壓軸題之猜想證明類一、單選題1．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，點(diǎn)D，E關(guān)于CB對稱，連接EB并延長，與AD的延長線交于點(diǎn)F，連接DE，CE．對于以下結(jié)論：①DE垂直平分CB；②AD=BE；③∠F不一定是直角；④EF2＋DF2=2CD2．其中正確的是()A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)D，E關(guān)于CB對稱，可得CB垂直平分DE，即可判斷①錯(cuò)誤；根據(jù)CB垂直平分DE，連接BD，可得BD=BE，證明△ACD≌△BCD，可得AD=BD，即可判斷②；結(jié)合①②證明△ACD≌△BCD≌△BCE，可得∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°，∠FED=67.5°-45°=22.5°，進(jìn)而證明角F的度數(shù)，即可判斷③；在Rt△FDE中，根據(jù)勾股定理，得EF2+DF2=DE2，根據(jù)∠DCE=90°，CD=CE，即可判斷④．【解答】①∵點(diǎn)D、E關(guān)于CB對稱，

∴CB垂直平分DE，

所以①錯(cuò)誤；

②連接BD，如圖，∵CB垂直平分DE，

∴BD=BE，

∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

在△ACD和△BCD中，，

∴△ACD≌△BCD(SAS)，

∴AD=BD，

∴AD=BE，

所以②正確；

③∵CB垂直平分DE，

∴BD=BE，CD=CE，

在△BCD和△BCE中，，

∴△BCD≌△BCE(SSS)，

∴△ACD≌△BCD≌△BCE，

∴∠ACD=∠DCB=∠ECB=45°，

∴CA=CD=CB=CE，

∴∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°，∵∠CED=∠CDE=(180°-∠DCB-∠ECB)=45°，

∴∠FED=67.5°-45°=22.5°，

∵∠CDE=∠ACD=45°，∴DE∥AC，

∴∠FDE=∠A=67.5°，

∴∠F=180°-∠FDE-∠FED=90°，

所以③錯(cuò)誤；

④在Rt△FDE中，根據(jù)勾股定理，得：

EF2+DF2=DE2，

∵∠DCE=∠DCB+∠ECB=90°，CD=CE，

∴DE2=CD2+CE2=2CD2，

∴EF2+DF2=2CD2，

所以④正確．

綜上所述：正確的是②④．

故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．2．如圖，過的對角線上一點(diǎn)作分別交于點(diǎn)分別交于點(diǎn)，那么圖中四邊形的面積與四邊形的面積的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】先證四邊形BMKQ、四邊形PKND是平行四邊形得S△ABD＝S△BCD，S△BMK＝S△BQK，S△PKD＝S△NKD，據(jù)此可得．【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，又MN∥BC，PQ∥AB，∴四邊形BMKQ、四邊形PKND是平行四邊形，∴S△ABD＝S△BCD，S△BMK＝S△BQK，S△PKD＝S△NKD，∴S1＝S2，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)及對角線將平行四邊形面積平分的性質(zhì)．3．已知的三條邊長分別為6，8，12，過任一頂點(diǎn)畫一條直線，將分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【答案】B【分析】不妨設(shè)AB=6，AC=8，BC=12，分別作三邊的垂直平分線，則可得三條，再分以AB、AC為腰和底進(jìn)行討論，可得出結(jié)論．【解答】解：不妨設(shè)AB=6，AC=8，BC=12，分別作三邊的垂直平分線，

如圖1，則BD=AD，EA=EC，F(xiàn)B=FC，可知AE、BF、AD滿足條件；

當(dāng)AB為腰時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，分別交BC、AC于點(diǎn)G、H，

以B為圓心，AB為半徑，交BC于點(diǎn)J，如圖2，則AB=AG，AB=AH，BA=BJ，滿足條件；

當(dāng)AC為腰時(shí)，如圖3，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫圓，交BC于點(diǎn)M，則CA=CM，滿足條件；

當(dāng)A為圓心AC為半徑畫圓時(shí)，與AB、BC都沒有交點(diǎn)，

因?yàn)锽C為最長的邊，所以不可能存在以BC為腰的等腰三角形，

綜上可知滿足條件的直線共有7條.

故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的判定，利用垂直平分線的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)找到滿足條件的直線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是中點(diǎn)，、分別交、于點(diǎn)、．給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠PAE=∠BAC=45°，∠B=∠C=45°，PA⊥BC，可得∠C=∠PAE，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得PA=PC，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠FPC=∠EPA，利用ASA可證明△EPA≌△FPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=CF，PE=PF，由∠EPF=90°，可得△EPF是等腰直角三角形，可判定①②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知S△EPA=S△FPC，可得S四邊形AEPF=S△APC，由S△APC=S△ABC可判定③正確；只有當(dāng)EF為△ABC的中位線時(shí)，EF=PC=PA，可判定④錯(cuò)誤；綜上即可得答案．【解答】∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠PAE=∠PAC=45°，PA=PC，AP⊥BC，∴∠C=∠PAC，∵∠EPF=∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，∴∠EPA=∠FPC，在△EPA和△FPC中，，∴△EPA≌△FPC，∴AE=CF，PE=PF，故①正確，∵∠EPF=90°，∴△EPF是等腰直角三角形，故②正確，∵△EPA≌△FPC，∴S△EPA=S△FPC，∴S四邊形AEPF=S△EPA+S△PAF=S△FPC+S△PAF=S△APC，∵PC=BC，∴S△APC=S△ABC，∴S四邊形AEPF=S△ABC，故③正確，只有當(dāng)EF為△ABC的中位線時(shí)，EF=PC=PA，故④錯(cuò)誤；綜上所述：正確的結(jié)論有①②③，共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，綜合利用了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．5．如圖，在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將沿所在直線翻折，得到，連接，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，∠C．當(dāng)時(shí)，D．長度的最小值是1【答案】C【分析】A．根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可證∠AB′P=∠CPB′，從而可證；Ｂ．根據(jù)折疊性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知PA=PB=PC=PB′,A、B、C、B′四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可求出；C．根據(jù)相似三角形的判定證得△PAC∽△CAB，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得AP的值，即可判斷錯(cuò)誤；D.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得長度的最小值，即可判斷此結(jié)論正確．【解答】在△ABC中，∠ACB=90°，

AP=BP，

∴AP=BP=CP，∠BPC=由折疊的性質(zhì)可得

CP=B′P，∠

CPB′=∠BPC=

∴

AP=B′P，

∴∠AB′P

=∠B′AP=

∴∠

AB′P=∠CPB′

∴AB′

//

CP故A正確；

∵AP=BP，

∴PA=PB′=PC=PB，

∴點(diǎn)A,B′，C，B在以點(diǎn)P為圓心，PA長為半徑的圓上

由折疊的性質(zhì)可得BC=

B′C，∴

∴∠B′PC=2∠B′AC故B正確；當(dāng)CP⊥AB時(shí)，∠APC=∠ACB∵∠PAC=∠CAB∴△PAC∽△CAB∴

∵在Rt△ABC中，AC=∴AP=故C錯(cuò)誤；

由軸對稱的性質(zhì)可知：

BC=CB′=3

∵CB′長度固定不變，

∴當(dāng)AB′+CB′有最小值時(shí)，AB′的長度有最小值

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)A、B′、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，AB′有最小值，∴AB′=AC-

B′C=4-3=1故D正確故選：C【點(diǎn)評】本題考查折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓周角的定理，根據(jù)折疊性質(zhì)得出相等的線段或相等的角是解決問題的關(guān)鍵．6．如圖，中，，是上一點(diǎn)，且，是上任一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列結(jié)論：①是等腰三角形；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ADB＝∠C＋∠DBC，然后求出∠C＝∠DBC，再根據(jù)等角對等邊可得DC＝DB，從而判斷①正確；沒有條件說明∠C的度數(shù)，判斷出②錯(cuò)誤；連接PD，利用△BCD的面積列式求解即可得到PE＋PF＝AB，判斷出③正確；過點(diǎn)B作BG∥AC交FP的延長線于G，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，然后求出四邊形ABGF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得AF＝BG，根據(jù)然后利用“角角邊”證明△BPE和△BPG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BG＝BE，再利用勾股定理列式求解即可判斷④正確．【解答】在△BCD中，∠ADB＝∠C＋∠DBC，∵∠ADB＝2∠C，∴∠C＝∠DBC，∴DC＝DB，∴△DBC是等腰三角形，故①正確；無法說明∠C＝30°，故②錯(cuò)誤；連接PD，則S△BCD＝BD?PE＋DC?PF＝DC?AB，∴PE＋PF＝AB，故③正確；過點(diǎn)B作BG∥AC交FP的延長線于G，則∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，∴∠PBG＝∠DBC，四邊形ABGF是矩形，∴AF＝BG，在△BPE和△BPG中，，∴△BPE≌△BPG（AAS），∴BG＝BE，∴AF＝BE，在Rt△PBE中，PE2＋BE2＝BP2，即PE2＋AF2＝BP2，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出矩形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．如圖，一列有規(guī)律的整點(diǎn)，其坐標(biāo)依次為，，，，，，，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第個(gè)整點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖像，到每一個(gè)橫坐標(biāo)結(jié)束，經(jīng)過整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于最后橫坐標(biāo)的平方，計(jì)算即可得到答案．【解答】補(bǔ)充作圖，如下圖，由圖可知，點(diǎn)是第1個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是第9個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是第25個(gè)點(diǎn)，，觀察圖可知，直線上共有個(gè)點(diǎn)，又因?yàn)榍?，所以?019個(gè)點(diǎn)在直線上且在點(diǎn)上方相距6個(gè)單位長度，所以第2019個(gè)點(diǎn)為故選A．【點(diǎn)評】本題主要考查坐標(biāo)的確定，能根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知：在等腰中，，BE平分，交AC于F，且于點(diǎn)E，BC邊上的中線AD交BE于G，連接DE，則下列結(jié)論正確的是（）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤【答案】B【分析】過點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，延長BA，CE交于點(diǎn)H，通過證明∠AGF=∠AFG判斷①；再證明∠ABE=∠BED，根據(jù)平行線的判定得到②；再通過證明證明△ABF≌△ACH得到BF=CH，從而證明△HEB≌△CEB，得到CE=EH，可判斷③；證明Rt△ABF≌Rt△PBF，得到AB+AF=BP+FP，再通過說明△FPC是等腰直角三角形得到FP=CP，即可判斷④；最后證明△ABF∽△DBG，得到BG和BF的比，利用BF和CE的關(guān)系判斷⑤.【解答】解：過點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，延長BA，CE交于點(diǎn)H，∵BE平分，為等腰直角三角形，D為BC中點(diǎn)，∴∠ABF=∠CBF=22.5°，AF=PF，∴∠BGD=∠AGF=∠AFG，∴AG=AF，故①正確，∵∠BEC=90°，D為BC中點(diǎn)，∴DE=BD=CD，∴∠BED=∠DBE=22.5°=∠ABE，∴AB∥DE，故②正確，∵∠CAH=∠BAF=∠BEC=90°，

∴∠ACH+∠H=90°，∠ABF+∠H=90°，

∴∠ACH=∠ABF，

在△ABF和△ACH中，，∴△ABF≌△ACH（ASA），∴BF=CH，

∵BE平分∠ABC，

∴∠HBE=∠CBE，

∵∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠BEH=90°，

在△HEB和△CEB中，，∴△HEB≌△CEB（ASA），

∴CE=EH，

∴CH=2CE，

∴BF=2CE，故③正確，在Rt△ABF和Rt△PBF中，，∴Rt△ABF≌Rt△PBF（HL），∴AB=PB，在△PFC中，∠BCF=45°，∠FPC=90°，∴FP=CP，BP+CP=BP+FP=BC=AB+AF，故④錯(cuò)誤，∵∠ABG=∠CBG，∠BAF=∠GDB=90°，∴△ABF∽△DBG，∴，即BF=BG，又∵BF=2CE，∴BG=CE，故⑤正確.故選B.【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合所學(xué)知識(shí)逐項(xiàng)判定各選項(xiàng)，并且利用已經(jīng)證明的結(jié)論來證明未知的結(jié)論.9．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下面說法正確的是（）①的面積的面積；②；③；④．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【答案】B【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等即可判斷①；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠CAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠FAG=∠ACD，根據(jù)角平分線定義即可判斷③；根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可．【解答】解：∵BE是中線，

∴AE=CE，

∴△ABE的面積=△BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確；

∵CF是角平分線，

∴∠ACF=∠BCF，

∵AD為高，

∴∠ADC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，

∴∠ABC=∠CAD，

∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，

∴∠AFG=∠AGF，故②正確；

∵AD為高，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，

∴∠ACB=∠BAD，

∵CF是∠ACB的平分線，

∴∠ACB=2∠ACF，

∴∠BAD=2∠ACF，

即∠FAG=2∠ACF，故③正確；

根據(jù)已知條件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④錯(cuò)誤；

故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，屬于中考題型．10．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作線段EF，使點(diǎn)E點(diǎn)F分別在邊AD，BC上（不與四邊形ABCD頂點(diǎn)重合），連結(jié)EB，EC設(shè)ED＝kAE，下列結(jié)論：①若k＝1，則BE＝CE；②若k＝2，則△EFC與△OBE面積相等：③若△ABE≌△FEC，則EF⊥BD．其中正確的是（）A．① B．② C．③ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)題意，不能證明△BAE≌△CDE，則①錯(cuò)誤；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，得到BF=2CF，結(jié)合面積的計(jì)算方法，即可判斷②；連接DF，不能證明四邊形DEBF是菱形，則③錯(cuò)誤；然后得到答案．【解答】解：當(dāng)k＝1時(shí)，DE=AE，不能證明△BAE≌△CDE，∴BE≠CE；故①錯(cuò)誤；當(dāng)k＝2時(shí)，DE=2AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EDO=∠FBO，∵點(diǎn)O是BO的中點(diǎn)，∴OB=OD，∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴DE=BF，∴ADDE=BCBF，∴AE=CF，∴BF=2CF，∴，∵，∴，∴，故②正確；連接DF，如圖：∵△ABE≌△FEC，∴AE=FC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，不能證明DEBF是菱形，∴EF與BD無法證明互相垂直，故③錯(cuò)誤；∴正確的選項(xiàng)只有②；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，從而分別進(jìn)行判斷．二、填空題11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分線交AC于D．過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，交BD于G，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，過點(diǎn)G作GH∥BC，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四邊形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正確的結(jié)論是__．【答案】①②④⑤【分析】①根據(jù)余角的性質(zhì)可判斷即可；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷即可；④根據(jù)菱形的判定方法判斷即可；⑤證明△ABG≌△FBG（AAS），得出∠BAE=∠BFG，證出∠BFG=∠C，再證出四邊形GFCH是平行四邊形，得出GF=CH，因此CH=DF，可判斷⑤；③當(dāng)∠C=30°時(shí)，∠ADF=2∠CDF；③不正確；即可得出答案．【解答】解：①∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠CAE=90°，∵AE⊥BC，∴∠C+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠C，①正確；②作GM⊥AB交AB于M，如圖所示：∵BD平分∠ABC，AE⊥BC，∴GM=GE，∴S△ABG：S△EBG=AB·GM：BE·GE=AB：BE；②正確；④∵∠AGD=∠ABD+∠BAE，∠ADG=∠CBD+∠C，∠BAE=∠C，∠CBD=∠ABD，∴∠AGD=∠ADG，∴AG=AD，∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，∴AD=DF，∴AG=DF，∵AE⊥BC，∴AG∥DF，∴四邊形AGFD是平行四邊形，又∵AG=AD，∴四邊形AGFD是菱形；④正確；⑤∵四邊形AGFD是菱形；∴∠AGD=∠FGD，GF=DF，∠ADB=∠FDB，∴∠AGB=∠FGB，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG（AAS），∴∠BAE=∠BFG，∵∠BAE=∠C，∴∠BFG=∠C，∴GF∥CH，∵GH∥BC，∴四邊形GFCH是平行四邊形，∴GF=CH，∴CH=DF，⑤正確；③∵四邊形AGFD是菱形∴∠ADF=2∠ADB，當(dāng)∠C=30°，∠CDF=60°，則∠ADF=120°，∴當(dāng)∠C=30°，∠ADF=2∠CDF；③不一定正確；故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．12．已知：如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，AC＝10，BD＝8，則MN＝_____．【答案】3【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BM＝DM＝5，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BN＝4，根據(jù)勾股定理得到答案．【解答】解：連接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝DM＝AC＝5，∵N是BD的中點(diǎn)，∴MN⊥BD，∴BN＝BD＝4，由勾股定理得：MN＝＝＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】此題主要考查矩形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．13．如圖，在中，平分，，，與的延長線交于，連接．過作于，交于．下列結(jié)論：①；②；③；④中，其中正確的有______（填序號(hào)）．【答案】①②③④【分析】①由，利用角平分線的性質(zhì)可得，可得，，，四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可得結(jié)論；②證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；③由，易得，由等腰三角形的性質(zhì)易得，得的面積；④由為等腰三角形易得，可得結(jié)論．【解答】解：①平分，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，故此選項(xiàng)正確；②在與中，，，，故此選項(xiàng)正確；③，，，，，故此選項(xiàng)正確；④為等腰三角形，，，故此選項(xiàng)正確；正確的有①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，綜合運(yùn)用各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．14．如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上(不與重合)，將矩形沿折疊，使點(diǎn)分別落在點(diǎn)處有下列結(jié)論：①與互余；②若平分則③若直線經(jīng)過點(diǎn)則④若直線交邊分別于當(dāng)為等腰三角形時(shí)，五邊形的周長為．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________________．【答案】①③④【分析】①根據(jù)折疊的性質(zhì)知,轉(zhuǎn)化相關(guān)角度進(jìn)行判斷；②根據(jù)折疊的性質(zhì)知,再根據(jù)平分從而得出，從而求算正切值；③直線經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)，，從而求算,再根據(jù)相似求算EF，可得結(jié)論；④當(dāng)△DMN時(shí)等腰三角形時(shí)，可得均為等腰直角三角形，從而計(jì)算相應(yīng)長度，可得結(jié)論．【解答】解：①根據(jù)折疊的知設(shè)∴∴，①正確；②根據(jù)折疊的性質(zhì)知,再根據(jù)平分∴即∴即，②錯(cuò)誤；③直線經(jīng)過點(diǎn)D：∵∴∵∴∴解得：∴∴∴，③正確；④當(dāng)△DMN時(shí)等腰三角形時(shí)，可得均為等腰直角三角形，如圖：∵∴∴五邊形的周長=④正確故答案為：①③④【點(diǎn)評】本題考查矩形折疊問題，同時(shí)與相似三角形、特殊角三角函數(shù)值、等腰三角形等相結(jié)合，轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段與角度之間的關(guān)系式解題關(guān)鍵．15．已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，軸，軸，分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)、，交坐標(biāo)軸于、，且，連接.現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①；②在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，的面積始終不變；③連接，則；④不存在點(diǎn)，使得.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是__________．【答案】①②③【分析】①由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征用函數(shù)a的代數(shù)式表示出來b，并找出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)AC=3CD，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；②根據(jù)①得出A、C的坐標(biāo)，由AB∥x軸找出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得出AB、AC的長度，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；③已知B(,)，C(a,)，D(a,0)，E(0,)四點(diǎn)坐標(biāo)，B、C、D、E四點(diǎn)坐標(biāo)，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線斜率k1=，經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線斜率k2=，得出，即④先假設(shè)，得到對應(yīng)邊成比例，列出關(guān)于a的等式，看a是否有解，即可求解．【解答】①∵A(a,b)，且A在反比例函數(shù)的圖象上，

∴∵AC∥y軸，且C在反比例函數(shù)的圖象上，

∴C(a,)又∵AC=3CD，∴AD=4CD，即∴k=2．故①正確②由①可知：A(a,)，C(a,)∵AB∥x軸，∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的函數(shù)圖象上，

∴，解得：x=，

∴點(diǎn)B(,)，

∴AB=a?=，AC=?=∴S=AB×AC=××=∴在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，△ABC面積不變，始終等于故②正確③連接DE，如圖所示∵B(,)，C(a,)∴經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線斜率k1=∵軸，軸∴D(a,0)，E(0,)∴經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線斜率k2=∴，即故③正確④假設(shè)∴∴解得∴當(dāng)時(shí)，故④錯(cuò)誤故答案為：①②③【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)的綜合題目，考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)斜率求法．三、解答題16．已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖，，，、的長滿足關(guān)系式．（1）求、的長；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形．若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，【分析】（1）由平方的非負(fù)性、絕對值的非負(fù)性解題；（2）作軸與點(diǎn)D，，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等性質(zhì)解題；（3）分三種情況討論，當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使AP=AC，或當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使CP=AC=5，或當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸時(shí)，使AC=CP時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解題．【解答】解：⑴由.可知，，∴.⑵作軸與點(diǎn)D，⑶存在.當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使AP=AC，則為等腰三角形，P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，則為等腰三角形，P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸時(shí)，使AC=CP，則為等腰三角形，，；所以存在，點(diǎn)P或或．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、絕對值的非負(fù)性、平方的非負(fù)性、勾股定理、分類討論等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．17．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也為點(diǎn)．（1）的度數(shù)為______．（2）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形？（3）能否為直角三角形？若能，請求出相應(yīng)的值：若不能，請說明理由．【答案】（1）；（2）或或；（3）或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形和折疊的性質(zhì)，算出的度數(shù)；（2）分情況討論哪兩個(gè)邊是腰，用表示出的內(nèi)角和，列式求出的值；（3）分情況討論哪個(gè)角是直角，同（2）根據(jù)的內(nèi)角和，列式求出的值．【解答】解：（1）∵，，∴，∵折疊，∴，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，，在中，，解得；當(dāng)時(shí)，，在中，，解得；當(dāng)時(shí)，，則，在中，，解得，綜上：的值為或或；（3）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，∵，∴，，解得，綜上：的值為或．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)進(jìn)行求解．18．問題提出：（1）同一平面內(nèi)的兩條線段和，已知，，則線段最大值是______；最小值是______．問題探究：（2）如圖，四邊形中，，，，且，問是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．問題解決：（自行作圖并解決）（3）在中，，，以為一邊作正方形，連接，問是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相應(yīng)最值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）5，1；（2）存在，6；（3）存在最大值，．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理、線段的和差即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后分點(diǎn)不在同一條直線上和點(diǎn)在同一條直線上兩種情況，分別利用三角形的三邊關(guān)系定理、線段和差求解即可得；（3）如圖（見解析），先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，然后分點(diǎn)不在同一條直線上和點(diǎn)在同一條直線上兩種情況，分別利用三角形的三邊關(guān)系定理、線段和差求解即可得．【解答】（1）由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，，即；②當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)的中間時(shí)，則，點(diǎn)C在點(diǎn)的中間時(shí)，則，綜上，線段AC的取值范圍為，則線段最大值是5，最小值是1，故答案為：5，1；（2）存在，求解過程如下：如圖，連接AC，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AE、BE、CE，，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，是等邊三角形，，①當(dāng)點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，，即，；②當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，，，綜上，當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，AC有最大值，最大值為6；（3）如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接EF、BF、CF，四邊形ABCD是正方形，，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，在中，，①當(dāng)點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，，，即；②當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，，綜上，當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，有最大值，最大值為．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，構(gòu)造等邊三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．19．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使，再連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交，于，兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）；（2）見解析；（3），見解析【分析】（1）延長AD至E，使DE=AD，由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）延長AB至點(diǎn)N，使BN=DF，連接CN，證出∠NBC=∠D，由SAS證明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，證出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS證明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，如圖①所示：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE＜AE＜AB+BE，∴10-6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案為：2＜AD＜8；（2）證明：延長至點(diǎn)，使，連接，，如圖所示同（1）得，，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得，（3）證明如下：延長至點(diǎn)，使，連接，如圖所示，在和中，，，，，在和中，，．，【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．20．八年級(jí)數(shù)學(xué)課上，老師出示了如圖框中的題目．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且，試確定線段與的大小關(guān)系，并說明理由．小華與同桌小明討論后，進(jìn)行了如下解答（1）特殊情況入手探索：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段與的大小關(guān)系．請你直接寫出結(jié)論：_______（填“”，“”或“”）（2）一般情況進(jìn)行論證：對原題中的一般情形，二人討論后得出（1）中的結(jié)論仍然成立，并且可以通過構(gòu)造一個(gè)三角形與全等來證明．以下是他們的部分證明過程：證明：如圖2，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．（請完成余下的證明過程）圖2（3）應(yīng)用結(jié)論解決問題：在邊長為的等邊三角形中，點(diǎn)在直線上，且，點(diǎn)在直線上，．則_______（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）；（2）見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠D=∠BED=30°，根據(jù)等角對等邊得出BE=BD，即可證得AE=DB；

（2）過點(diǎn)E作EF∥BC，先證得△AEF是等邊三角形，進(jìn)而證得∠DBE=∠EFC=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠D=∠CEF，從而證得△DBE△EFC，得出AE=DB；

（3）分兩種情況：①點(diǎn)E在線段AB上，②點(diǎn)E在BA的延長線上，再判定三角形全等，進(jìn)而求出BD的長，即可求解．【解答】（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，結(jié)論：AE=DB，

理由：∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

∴∠BCE=30°，

∵ED=EC，

∴∠D=∠BCE=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠D=∠BED=30°，

∴BD=BE，

∵AE=BE，

∴AE=DB；（2）題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB，

理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠BCE=∠CEF，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEF=∠AFE=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE=EF，

∵DE=CE，

∴∠D=∠BCE，

∴∠D=∠CEF，

∵∠ABC=∠AFE=60°，

∴∠DBE=∠EFC=120°，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE△EFC（AAS），

∴EF=DB，

∴AE=DB；（3），的邊長為，點(diǎn)可能在線段上，也可能在的延長線上，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，由（2）可知，則，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，．在和中，【點(diǎn)評】考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，本題關(guān)鍵是添加平行線，構(gòu)造全等三角形，以及熟練掌握分類討論思想．21．（1）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，如圖1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，則PB_______PC（填“”“”或“=”）；（2）探索：如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則，請幫小明說明原因．（3）應(yīng)用：如圖3，在小區(qū)三條交叉的道路AB，BC，CA上各建一個(gè)菜鳥驛站D，P，E，工作人員每天來回的路徑為P→D→E→P，①問點(diǎn)P應(yīng)選在BC的何處時(shí)，才能使PD+DE+PE最小？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，則PD+DE+PE的最小值是多少？【答案】（1）=；（2）證明見解析；（3）①當(dāng)AP⊥BC于P時(shí)，PD+DE+PE最??；②4．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，然后根據(jù)三角形的面積公式即可證出結(jié)論；（3）①過點(diǎn)A作AP⊥BC于P，分別作點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2分別交AB、AC于D、E，連接PD、PE、AP1、AP2即可；②根據(jù)三角形的面積公式即可求出AP，然后根據(jù)對稱的性質(zhì)可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP，從而證出△P1AP2是等邊三角形，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，∴PB=PC故答案為：=；（2）理由：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∵AD是∠BAC的平分線，∴DE=DF∴；（3）①過點(diǎn)A作AP⊥BC于P，分別作點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2分別交AB、AC于D、E，連接PD、PE、AP1、AP2，由對稱的性質(zhì)可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP，∴PD+DE+PE=DP1+DE+EP2=P1P2，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短和垂線段最短，即可得出此時(shí)PD+DE+PE最小，即P1P2的長即當(dāng)AP⊥BC于P時(shí)，PD+DE+PE最??；②∵S△ABC=10，BC=5，∴BC·AP=10解得：AP=4由對稱的性質(zhì)可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°∴∠P1AP2=60°∴△P1AP2是等邊三角形∴P1P2=AP1=4即PD+DE+PE的最小值是4．【點(diǎn)評】此題考查的是角平分線的性質(zhì)、對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短的應(yīng)用和等邊三角形的判定及性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)、對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的應(yīng)用和等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．如圖，鈍角中，，為上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，．（1）作于，交的延長線于．①判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．②求證；（2）若，，求的長．【答案】（1）①；證明見解析；②證明見解析；（2）【分析】（1）①由題意易得，作于，，則有，進(jìn)而問題得解；②由題意易得，進(jìn)而可得，由①知，，然后問題得證；（2）作交射線于，交的延長線于，則有，由（1）可知，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理，得，然后可求，，，最后利用勾股定理可求解．【解答】解：（1）①,理由是：∵，于，∴，∵作于，，∴，∴．②∵，∴，∴，∴，即，由①知，，∴（）．（2）作交射線于，交的延長線于∵，，∴，由（1）可知，，∵，∴，∴，由勾股定理，得，∴，∴，，∴，，，∴，∴的長為．【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．在△ABC中，AC=BC，CD是AB邊上的高．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠ACB=90°，點(diǎn)E是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CF，連接BF，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)CD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系是CD=(BE+BF)，請你證明這個(gè)結(jié)論；提出猜想：（2）如圖2，若∠ACB=60°，點(diǎn)E是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到線段CF，連接BF，猜想線段CD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系是；拓廣探索：（3）若∠ACB=α，CD=k·AB(k為常數(shù))，點(diǎn)E是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到線段CF，連接BF，請你利用上述條件，根據(jù)前面的解答過程得出類似的猜想，并在圖3中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答．【答案】（1）證明見解析；（2）CD=（BF+BE）；（3）圖形見解析，CD=k（BF+BE）【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得CD=AB，根據(jù)同角的余角相等可得∠ACE=∠BCF，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CF，然后根據(jù)SAS可證得△ACE≌△BCF，則有AE=BF，即AB=AE+BE=BF+BE即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得CD=AB，仿照（1）中證明方法即可得出線段CD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)題意畫出圖形，仿照（1）中證明過程即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=90°，∴CD=AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECF=90°，CE=CF，∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°，∠ECF=∠BCF+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠BCF，又AC=AB，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE=BF，∴AB=AE+BE=BF+BE，∴CD=AB=（BF+BE）；（2）△ABC中，AC=BC，∠ACB=60°，∴△ACB為等邊三角形，又CD⊥AB，∴AC=AB，AD=AB，∴在Rt△ACD中，CD=，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECF=60°，CE=CF，∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=60°，∠ECF=∠BCF+∠ECB=60°，∴∠ACE=∠BCF，又AC=AB，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE=BF，∴AB=AE+BE=BF+BE，∴CD=AB=（BF+BE）；（3）如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECF=α，CE=CF，∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=α，∠ECF=∠BCF+∠ECB=α，∴∠ACE=∠BCF，又AC=AB，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE=BF，∴AB=AE+BE=BF+BE，∴CD=kAB=k（BF+BE）．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)的運(yùn)用，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，借助全等三角形性質(zhì)證明AE=BF是解答的關(guān)鍵．24．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)G是射線AD上一點(diǎn)．（1）若GE⊥GF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖①所示，容易證明AE+AF＝AD．當(dāng)點(diǎn)G在線段AD外時(shí)，如圖②所示，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，猜想并證明AE，AF與AG存在的數(shù)量關(guān)系．（2）當(dāng)點(diǎn)G在線段AD上時(shí)，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）AE+AF＝AG，證明見解析；（2）存在，最小值為3+3．【分析】（1）如圖，過點(diǎn)G作HG⊥AG交AB延長線于點(diǎn)H，由等腰直角三角形可得∠DAB＝∠DAC＝45°，AG＝HG，由“ASA”可證△AGF≌△HGE，可得AF＝BH，可得結(jié)論；（2）如圖，將△ABG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB'G'，連接GG'，B'C，過點(diǎn)B'作B'N⊥AC，交CA的延長線于點(diǎn)N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AG+BG+CG＝GG'+B'G'+CG，則當(dāng)點(diǎn)B'，點(diǎn)G'，點(diǎn)G，點(diǎn)C共線時(shí)，AG+BG+CG的值最小，最小值為B'C的長，由30°角所對直角邊是斜邊一半和勾股定理可求解．【解答】解：（1）AE+AF＝AG，理由如下：如圖②，過點(diǎn)G作HG⊥AG交AB延長線于點(diǎn)H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC，∴∠DAB＝∠DAC＝45°，∴∠AHG＝∠BAD＝45°，∴AG＝HG，∴AH＝AG，∵∠EGF＝∠AGH＝90°，∴∠AGF＝