新定義型二次函數(shù)的綜合探究問(wèn)題壓軸題八種模型全攻略（老師版）

新定義型二次函數(shù)的綜合探究問(wèn)題壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】 1【考點(diǎn)二新定義型二次函數(shù)——友好同軸二次函數(shù)】 11【考點(diǎn)三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】 19【考點(diǎn)四新定義型二次函數(shù)——旋轉(zhuǎn)函數(shù)】 25【考點(diǎn)五新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】 29【考點(diǎn)六新定義型二次函數(shù)——反碟長(zhǎng)拋物線】 34【考點(diǎn)七新定義型二次函數(shù)——月牙線拋物線】 41【考點(diǎn)八新定義型二次函數(shù)——系列平移拋物線】 46【典型例題】【考點(diǎn)一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】例題：如圖①，直線l：y=mx+n（m＞0，n＜0）與x，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，過(guò)點(diǎn)A，B，D的拋物線P叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線，而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．（1）若l：y=﹣2x+2，則P表示的函數(shù)解析式為；若P：y=﹣x2﹣3x+4，則l表示的函數(shù)解析式為．（2）求P的對(duì)稱軸（用含m，n的代數(shù)式表示）；（3）如圖②，若l：y=﹣2x+4，P的對(duì)稱軸與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在l上，點(diǎn)Q在P的對(duì)稱軸上．當(dāng)以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）如圖③，若l：y=mx﹣4m，G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM．若OM=，直接寫(xiě)出l，P表示的函數(shù)解析式．【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；y=﹣4x+4．（2）P的對(duì)稱軸為x=﹣．（3）點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．（4）l表示的函數(shù)解析式為：y=﹣2x+4；P：y=﹣x2﹣x+8．【詳解】試題分析：（1）若l：y=-2x+2，求出點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出P表示的函數(shù)解析式；若P：y=-x2-3x+4，求出點(diǎn)D、A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出l表示的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)對(duì)稱軸的定義解答即可；（3）以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，則有FQ∥CE，且FQ=CE．以此為基礎(chǔ)，列方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．注意：點(diǎn)Q的坐標(biāo)有兩個(gè)，如圖1所示，不要漏解；（4）如圖2所示，作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形OGH，求出OG的長(zhǎng)度，進(jìn)而由AB=2OG求出AB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出y=mx-4m中m的值，最后分別求出l，P表示的函數(shù)解析式．試題解析：（1）若l：y=-2x+2，則A（1，0），B（0，2）．∵將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，∴D（-2，0）．設(shè)P表示的函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c，將點(diǎn)A、B、D坐標(biāo)代入得：解得，∴P表示的函數(shù)解析式為：y=-x2-x+2；若P：y=-x2-3x+4=-（x+4）（x-1），則D（-4，0），A（1，0）．∴B（0，4）．設(shè)l表示的函數(shù)解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入得：，解得，∴l(xiāng)表示的函數(shù)解析式為：y=-4x+4．（2）直線l：y=mx+n（m＞0，n＜0），令y=0，即mx+n=0，得x=-；令x=0，得y=n．∴A（-，0）、B（0，n），∴D（-n，0）．設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N（x，0），∵DN=AN，∴--x=x-（-n），∴2x=-n-，∴P的對(duì)稱軸為x=-．（3）若l：y=-2x+4，則A（2，0）、B（0，4），∴C（0，2）、D（-4，0）．可求得直線CD的解析式為：y=x+2．由（2）可知，P的對(duì)稱軸為x=-1．∵以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形，∴FQ∥CE，且FQ=CE．設(shè)直線FQ的解析式為：y=x+b．∵點(diǎn)E、點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相差1，∴點(diǎn)F、點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也是相差1．則|xF-（-1）|=|xF+1|=1，解得xF=0或xF=-2．∵點(diǎn)F在直線ll：y=-2x+4上，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，4）或（-2，8）．若F（0，4），則直線FQ的解析式為：y=x+4，當(dāng)x=-1時(shí)，y=，∴Q1（-1，）；若F（-2，8），則直線FQ的解析式為：y=x+9，當(dāng)x=-1時(shí)，y=，∴Q2（-1，）．∴滿足條件的點(diǎn)Q有2個(gè)，如圖1所示，點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q1（-1，），Q2（-1，）．（4）如圖2所示，連接OG、OH．∵點(diǎn)G、H為斜邊中點(diǎn)，∴OG=AB，OH=CD．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AB=CD，OG⊥OH，∴△OGH為等腰直角三角形．∵點(diǎn)M為GH中點(diǎn)，∴△OMG為等腰直角三角形，∴OG=OM=?=2，∴AB=2OG=4．∵l：y=mx-4m，∴A（4，0），B（0，-4m）．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（-4m）2=（4）2，解得：m=-2或m=2，∵點(diǎn)B在y軸正半軸，∴m=2舍去，∴m=-2．∴l(xiāng)表示的函數(shù)解析式為：y=-2x+8；∴B（0，8），D（-8，0）．又A（4，0），利用待定系數(shù)法求得P：y=-x2-x+8．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．【變式訓(xùn)練】1．新定義：我們把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫(xiě)出的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，過(guò)x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)M，N．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)；(2)或【分析】（1）確定的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，交換它們的位置即可得到，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式計(jì)算即可．（2）設(shè)點(diǎn)，則，，得到，根據(jù)建立方程求解即可．【詳解】（1）因?yàn)榈亩雾?xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是a，所以；因?yàn)?，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以或，因?yàn)榈呐袆e式，所以本方程無(wú)解；因?yàn)椋?，解得，所以或．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線新定義問(wèn)題，正確理解定義，熟練掌握平行線坐標(biāo)軸直線上兩點(diǎn)間距離計(jì)算方式是解題的關(guān)鍵．2．如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)也在拋物線上，且拋物線與的頂點(diǎn)不重合，那么我們稱拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．(1)請(qǐng)你根據(jù)以上信息，判斷以下三種說(shuō)法是否正確，在題后相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．①拋物線與拋物線是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．（）②與拋物線是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線有且只有一條．（）③若兩條拋物線是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，則這兩條拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)．（）(2)已知拋物線：，拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，且拋物線與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，求拋物線的解析式；(3)已知拋物線：的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，拋物線：的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，若拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，且，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)√，×，√(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線進(jìn)行一一判斷進(jìn)行解答即可；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根拋物線與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線得出在上，從而可得，解出m的值即可得出結(jié)果；（3）由拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線可得，即，從而可得，，再由可得出，即可得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)和當(dāng)兩種情況討論即可．【詳解】（1）①拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-1），當(dāng)將x=0代入得y=0，將x=1代入得y=-1，所以拋物線的頂點(diǎn)在圖像上，拋物線的頂點(diǎn)在圖像上，故答案為：√；②與拋物線是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線有無(wú)數(shù)條，比如、都與拋物線是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，故答案為：×；③∵設(shè)頂點(diǎn)不同的兩條拋物線與關(guān)聯(lián)，∴有①+②得，∴m≠p,∴，∴解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定是互為相反數(shù)．故答案為：√；（2）拋物線的頂點(diǎn)拋物線與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱頂點(diǎn)拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線在上解得：，當(dāng)時(shí)，的頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的頂點(diǎn)，（3），拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，即，，即當(dāng)時(shí)，（舍）當(dāng)，即時(shí)，，，【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，解決本題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．3．如圖1，直線與x，y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，過(guò)點(diǎn)A，B，D的拋物線P叫做直線l的關(guān)聯(lián)拋物線，直線l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．(1)若直線，則拋物線P表示的函數(shù)解析式為_(kāi)_____，若拋物線，則直線l表示的函數(shù)解析式為_(kāi)_____；(2)如圖2，若直線，G為AB中點(diǎn)，H為CD的中點(diǎn)，連接GH，取GH中點(diǎn)M，連接OM，已知．求直線l的關(guān)聯(lián)拋物線P表示的函數(shù)解析式；(3)若將某直線的關(guān)聯(lián)拋物線向右平移個(gè)單位得到拋物線，則a、m、n應(yīng)滿足的關(guān)系式為_(kāi)_____．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，得到A（1，0），B（0，2），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的全等性質(zhì)，得到OD=0B=2，從而得到D（-2，0），設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x+2)，把B的坐標(biāo)代入解析式，確定a值即可；根據(jù)，得到，解得，從而確定A（1，0），D（-4，0），根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到OB=OD=4，繼而得到B（0，4），設(shè)直線的解析式為y=kx+4，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入計(jì)算得k值即可．（2）根據(jù)，得到A（4，0），B（0，-4t），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的全等性質(zhì)，得到OD=OB=|-4t|=-4t，從而得到D（4t，0），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），根據(jù)勾股定理，得到，求得t值，繼而計(jì)算解析式即可．（3）將向左平移個(gè)單位得到關(guān)聯(lián)拋物線，確定交點(diǎn)A，D，B的坐標(biāo)，設(shè)出關(guān)聯(lián)拋物線的解析式，計(jì)算a值即可．【詳解】（1）解：∵，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=1，∴A（1，0），B（0，2），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的全等性質(zhì)，得到OD=0B=2，∴D（-2，0）．設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x+2)，把B的坐標(biāo)代入解析式，得2=-2a，解得a=-1，∴；∵，∴，解得，∴A（1，0），D（-4，0），根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到OB=OD=4，∴B（0，4）．設(shè)直線的解析式為y=kx+4，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得k+4=0，解得k=-4，∴y=-4x+4，故答案為：；．（2）解：∵，∴A（4，0），B（0，-4t），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的全等性質(zhì)，得到OD=OB=|-4t|=-4t，∴D（4t，0），∵G為AB中點(diǎn)，H為CD的中點(diǎn)，連接GH，取GH中點(diǎn)M，∴G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），根據(jù)勾股定理，得到，解得t=-2，t=2（舍去），故t=-2，∴A（4，0），B（0，8），D（-8，0），設(shè)拋物線解析式為y=a(x-4)(x+8)，把B的坐標(biāo)代入解析式，得8=-32a，解得a=，∴．（3）解：∵某直線的關(guān)聯(lián)拋物線向右平移個(gè)單位得到拋物線，∴將向左平移個(gè)單位得到關(guān)聯(lián)拋物線，∴，∵＞0，∴m＜0，∴點(diǎn)A（m+n，0），D（2m，0），B（0，-2m），解得a(m+n)=-1，故答案為：a(m+n)=-1．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的解析式，一次函數(shù)的解析式即待定系數(shù)法，拋物線的平移，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練掌握待定系數(shù)法，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，拋物線平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二新定義型二次函數(shù)——友好同軸二次函數(shù)】例題：．定義：若拋物線與拋物線的開(kāi)口大小相同，方向相反，且拋物線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，我們稱拋物線為的“友好拋物線”．（1）若的表達(dá)式為，求的“友好拋物線”的表達(dá)式；（2）已知拋物線為的“友好拋物線”．求證：拋物線也是的“友好拋物線”；（3）平面上有點(diǎn)，，拋物線為的“友好拋物線”，且拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，當(dāng)拋物線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1）的“友好拋物線”為：；（2）見(jiàn)解析；（3）或.【分析】（1）設(shè)的“友好拋物線”的表達(dá)式為：，根據(jù)可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得的值，進(jìn)而得出的“友好拋物線”；（2）先求出拋物線和的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)過(guò)的頂點(diǎn)，得出，進(jìn)而得到拋物線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，再根據(jù)與的開(kāi)口大小相同，方向相反，即可得出拋物線也是的“友好拋物線”；（3）根據(jù)“友好拋物線”的定義，得到，進(jìn)而得到的頂點(diǎn)為．根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，可得．再根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到．根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到．進(jìn)而得出拋物線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍．【詳解】解：（1）依題意，可設(shè)的“友好拋物線”的表達(dá)式為：，∵，∴的頂點(diǎn)為．∵過(guò)點(diǎn)，∴，即．∴的“友好拋物線”為：．（2）的頂點(diǎn)為，的頂點(diǎn)為，∵為的“友好拋物線”，∴．∵過(guò)的頂點(diǎn)，∴．化簡(jiǎn)得：．把代入，得．∴拋物線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)．又∵與的開(kāi)口大小相同，方向相反，∴拋物線也是的“友好拋物線”．（3）∵拋物線為的“友好拋物線”，∴．∴的頂點(diǎn)為．∵拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，∴，即．當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，∴．當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，∴．由此可知：時(shí)，拋物線與線段有公共點(diǎn)，∴拋物線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，或．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的綜合大題，讀懂“友好拋物線”的定義并根據(jù)“友好拋物線”的定義解決實(shí)際問(wèn)題、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和用方程思想解決問(wèn)題是解決此題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．【概念感知】我們把兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相間，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)稱為“友好對(duì)稱二次函數(shù)”，例如：的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為．【特例求解】（1）的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為_(kāi)_____________；的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為_(kāi)___________．【性質(zhì)探究】（2）關(guān)于“友好對(duì)稱二次函數(shù)”，下列結(jié)論正確的是___________（填入正確的序號(hào)）①二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒(méi)有“友好對(duì)稱二次函數(shù)”；②二次項(xiàng)系為的二次函數(shù)的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”是它本身；③的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為．④任意兩個(gè)“友好對(duì)稱二次函數(shù)”與y軸一定有交點(diǎn)，與x軸至少有一個(gè)二次函數(shù)有交點(diǎn)．【拓屐應(yīng)用】（3）如圖，二次函數(shù)與其“友好對(duì)稱二次函數(shù)”都與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，C分別在，上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)均為，它們關(guān)于的對(duì)稱軸的稱點(diǎn)分別力，，連接，，，．①若，且四邊形為正方形，求m的值；②若，且四邊形鄰邊之比為，直接寫(xiě)出a的值．【答案】（1）y＝x2，y＝x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值為；②a的值為－或或或【分析】（1）根據(jù)題中“友好對(duì)稱二次函數(shù)”的性質(zhì)：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)題中“友好對(duì)稱二次函數(shù)”的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得；（3）①根據(jù)題意可得：二次函數(shù)L1：，二次函數(shù)L2：，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則可得點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出線段，的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形為正方形，得出方程求解即可；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則可得點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出線段，的長(zhǎng)，根據(jù)題意：四邊形的鄰邊之比為1：2，得出或，求解即可得．【詳解】解：（1）∵，∴函數(shù)的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為；，原函數(shù)的對(duì)稱軸為：，∴，∴，，∴函數(shù)的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為，,故答案為：；；（2）∵，∴二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒(méi)有“友好對(duì)稱二次函數(shù)”，①正確；∵，∴二次項(xiàng)系數(shù)為的二次函數(shù)的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”是它本身，②正確；由定義，的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為，③正確；若，則其“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為，此時(shí)這兩條拋物線與x軸都沒(méi)有交點(diǎn)，④錯(cuò)誤；故答案為：①②③；（3）二次函數(shù)L1：的對(duì)稱軸為直線，其“友好對(duì)稱二次函數(shù)”L2：．①∵，∴二次函數(shù)L1：，二次函數(shù)L2：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∵四邊形為正方形，∴，即，解得：，（不合題意，舍去），∴m的值為；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∵四邊形的鄰邊之比為1：2，∴或，即或，解得：，，，，∴a的值為－或或或．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)拓展運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．定義：若兩條拋物線的對(duì)稱軸相同，則稱這兩條拋物線為同軸拋物線．若拋物線與拋物線：為同軸拋物線，將拋物線上的部分與拋物線上的部分合起來(lái)記作圖象G．（1）①_____（用含m的式子表示）；②若點(diǎn)在圖象G上，求m的值；（2）若，當(dāng)時(shí)，求圖象G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍；（3）正方形的中心為原點(diǎn)O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，當(dāng)圖象G與正方形有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【答案】（1）①m；②m的取值為或或；（2）當(dāng)時(shí)，圖象G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍為；（3）或．【分析】（1）①根據(jù)同軸拋物線的定義可得n=m；②分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，將代入中，當(dāng)時(shí)，把代入中，計(jì)算可解答；（2）先將m=1代入函數(shù)y中，畫(huà)出函數(shù)圖象，分別代入x=-1，x=2，x=1計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)y的值，根據(jù)圖象可得結(jié)論；（3）畫(huà)出相關(guān)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求得．【詳解】（1）①拋物線的對(duì)稱軸為：，拋物線的對(duì)稱軸為：，∵與為同軸拋物線，∴∴故答案為：m②當(dāng)時(shí)，將代入中得，，解得，，∵，∴；當(dāng)時(shí)，把代入中得：，解得，，∵，∴或.綜上所述，m的取值為或或；（2）當(dāng)時(shí)，圖象G的函數(shù)解析式為，圖象G如圖1所示，在拋物上，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，，在拋物線上，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，圖象G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍為；（3）當(dāng)或時(shí)，圖象G與正方形有3個(gè)交點(diǎn)，拋物線.拋物線，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在上時(shí)，如圖2，，（舍），.當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖3，，，∴；當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖4，，，.當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖5，，，∴.綜上所述，當(dāng)或時(shí)，圖象G與正方形有3個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，尤其是題目中的函數(shù)是分段函數(shù)，要能夠畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象的性質(zhì)去解決問(wèn)題．【考點(diǎn)三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】例題：（2023秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第十七中學(xué)?？计谀┬≠t與小杰在探究某類二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：求解體驗(yàn)：(1)已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則b＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是．抽象感悟：我們定義：對(duì)于拋物線，以y軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．問(wèn)題解決：(3)已知拋物線．①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為，…（為正整數(shù)）．求的長(zhǎng)（用含n的式子表示）．【答案】(1)；；；(2)(3)①；衍生中心的坐標(biāo)為；②【分析】（1）把代入即可求出，然后把拋物線解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可得頂點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，從而可寫(xiě)出原拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)是，從而求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，得，根據(jù)兩拋物線有交點(diǎn)，可以確定方程有解，繼而求得的取值范圍即可；（3）①先求出拋物線以及拋物線的衍生拋物線為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出衍生中心的坐標(biāo)；②根據(jù)中心對(duì)稱，由題意得出，…

分別是，…的中位線，繼而可得，，…，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：把代入，得，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∵關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是：，即，故答案為：，，；（2）∵，∴頂點(diǎn)是∵關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，∴，∵兩拋物線有交點(diǎn)，∴有解，∴有解，∴，∴；（3）①∵，∴頂點(diǎn)，代入得：①∵，∴頂點(diǎn)，代入得：②由①②得，∵，，∴，∴兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得“衍生中心”的坐標(biāo)是；②如圖，設(shè)，…，與軸分別相于，…

，，則，，…，分別關(guān)于，…，中心對(duì)稱，∴，…

分別是，…的中位線，∴，，…，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，理解題意，畫(huà)出符合題意的圖形借助數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．我們定義：對(duì)于拋物線（a≠0），以y軸上的點(diǎn)M（0，m）為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱的拋物線y'，則我們稱拋物線y'為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．（1）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），則b=_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______，該拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式是_______；（2）已知拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為y'，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）已知拋物線（a≠0）．若拋物線y關(guān)于點(diǎn)（0，k+12）的衍生拋物線為y1，其頂點(diǎn)為A1；關(guān)于點(diǎn)（0，k+22）的衍生拋物線為y2，其頂點(diǎn)為A2；…；關(guān)于點(diǎn)（0，k+n2）的衍生拋物線為yn，其頂點(diǎn)為An；…（n為正整數(shù)），直接寫(xiě)出AnAn+1的長(zhǎng)_________（用含n的式子表示）．【答案】（1），（-2，1），；（2）m≤5；（3）4n+2【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出b的值，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在拋物線上取一點(diǎn)（0，-3），求出點(diǎn)（-2，1）和（0，-3）關(guān)于（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，6），進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出衍生函數(shù)解析式，聯(lián)立即可得出結(jié)論；（3）求出拋物線頂點(diǎn)關(guān)于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），∴-1-b-3=0，∴b=-4，∴拋物線解析式為y=-x2-4x-3=-（x+2）2+1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，1）關(guān)于（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)為（2，1），即：新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），y=-x2-4x-3中，令x=0，∴y=-3，∴（0，-3）關(guān)于點(diǎn)（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），設(shè)新拋物線的解析式為y=a（x-2）2+1，∵點(diǎn)（0，5）在新拋物線上，∴5=a（0-2）2+1，∴a=1，∴新拋物線解析式為y=（x-2）2+1=x2-4x+5，故答案為-4，（-2，1），y=x2-4x+5；（2）∵拋物線y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6①，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，6），設(shè)衍生拋物線為y′=a（x-1）2+2m-6，∵拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為y′，∴a=1，∴衍生拋物線為y′=（x-1）2+2m-6=x2-2x+2m-5②，聯(lián)立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，整理得，2x2=10-2m，∵這兩條拋物線有交點(diǎn)，∴10-2m≥0，∴m≤5；（3）拋物線y=ax2+2ax-b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-a-b），∵點(diǎn)（-1，-a-b）關(guān)于點(diǎn)（0，k+n2）的對(duì)稱點(diǎn)為（1，a+b+2k+2n2），∴拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)An為（1，a+b+2k+2n2），同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2）∴AnAn+1=a+b+2k+2（n+1）2-（a+b+2k+2n2）=4n+2．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，新定義的理解和掌握，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的求法，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四新定義型二次函數(shù)——旋轉(zhuǎn)函數(shù)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：如果二次函數(shù)，（，、、是常數(shù)）與，、、是常數(shù)）滿足，，，則這兩個(gè)函致互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．例如：求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，由函數(shù)可知，，，．根據(jù)，，求出、、就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請(qǐng)思考并解決下面問(wèn)題：(1)寫(xiě)出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；(3)已知函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是、、，試求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的二次函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【答案】(1)；(2)1；(3)見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出另一個(gè)函數(shù)的、、的值，從而得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)定義得出和的二元一次方程組，從而得出答案；（3）首先求出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)新定義進(jìn)行判定．【詳解】（1）根據(jù)題意得，解得故解析式為：．（2）根據(jù)題意得∴∴．（3）根據(jù)題意得，，∴，，又且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的二次函數(shù)為∵∴兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，新定義型；涉及了待定系數(shù)法，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，正確理解題意，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．小明在學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如果二次函數(shù)（，，，是常數(shù)）與（，，，是常數(shù)）滿足，，，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小明是這樣思考的：由函數(shù)可知，，，根據(jù)，，，求出，，，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請(qǐng)參考小明的方法解決下面的問(wèn)題：(1)寫(xiě)出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；(3)已知函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是，，，試證明經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【答案】(1)(2)1(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義，可得，，，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)；（2）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”滿足，，，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得，，，根據(jù)負(fù)數(shù)偶數(shù)次冪是正數(shù)，可得答案；（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得，，，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”滿足，，，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得，，，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)．【詳解】（1）由函數(shù)可知．由，得．函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為；（2）由與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)“，得，．解得．當(dāng)時(shí)，；（3）∵當(dāng)時(shí)，解得，∴．當(dāng)時(shí)，，即．由點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是，得．設(shè)過(guò)點(diǎn)的二次函數(shù)，將代入，得，解得，過(guò)點(diǎn)的二次函數(shù)．函數(shù)可知，，．由，得．的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為．∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用（，，，是常數(shù)）與（，，，是常數(shù)）滿足，，，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”得出，，是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】例題：二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．感知特例（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，如下表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問(wèn)題（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_(kāi)______；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．【答案】（1）①2，0；②見(jiàn)解析；（2）①；②；③m=1．【分析】（1）①根據(jù)中心對(duì)稱的定義求解即可；②根據(jù)表格，描點(diǎn)，連線即可；（2）①畫(huà)出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解；②結(jié)合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；③根據(jù)“孔像拋物線”的性質(zhì)求得圖象L的頂點(diǎn)為，則圖象L′的頂點(diǎn)為(3m，)，再根據(jù)題意即可求解．【詳解】（1）∵點(diǎn)B(-1，3)與點(diǎn)B′(5，-3)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，即A(2，0)，故答案為：2，0；②描點(diǎn)，連線，得到的圖象如圖所示：（2）①當(dāng)m=?1時(shí)，拋物線L為，對(duì)稱軸為，它的“孔像拋物線”L′的解析式為，對(duì)稱軸為，畫(huà)出草圖如圖所示：∴拋物線L與它的“孔像拋物線”L′的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為：；②畫(huà)出草圖，由圖象知，這條拋物線的解析式只能是；故答案為：；③L：，設(shè)頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥軸于點(diǎn)M，“孔像拋物線”的頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)，由題意可知△PMA≌△A，得(3m，0)，所以(3m，)，∵拋物線L及“孔像拋物線”與直線y=m有且只有三個(gè)交點(diǎn)，∴=m或=m，解得m=1或0，當(dāng)m=0時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去，∴m=1．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．二次函數(shù)的圖象交x軸于原點(diǎn)O及點(diǎn)A，感知特例．…A(___,___)………(1)當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)B，O，C，A，D分別關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，如表：①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖像記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線L上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱是L的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線L的“孔像拋物線”．則此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（____,_____）探究問(wèn)題(2)①求二次函數(shù)的“孔像拋物線”的解析式（含參數(shù)m）；②當(dāng)時(shí)，若拋物線L于它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，求x的取值范圍．【答案】(1)①；②作圖見(jiàn)解析；(2)①；②（若答案為也可以）【分析】（1）①利用中心對(duì)稱的特點(diǎn)即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；②在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)即可；根據(jù)圖象直接求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；（2）①先求出“孔像拋物線”的對(duì)稱中心，然后將化為頂點(diǎn)式，再求出其孔像拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式寫(xiě)出關(guān)系式，最后化為一般式即可；②當(dāng)m＝?1時(shí)，拋物線L：y＝x2＋2x＝（x＋1）2?1，當(dāng)x≤?1時(shí)，L的函數(shù)值隨著x的增大而減小，拋物線L′：y＝?x2?6x?8＝?（x＋3）2＋1，當(dāng)x≥?3時(shí)，L′的函數(shù)值隨著x的增大而減小，找出公共部分即可．【詳解】（1）解：①∵，關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，∴點(diǎn)A為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，∴，，故答案為：；②所畫(huà)圖象如圖所示：根據(jù)圖2可知，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象的中心對(duì)稱點(diǎn)為（-4,0），即此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,0）．（2）解：①由題意可得，拋物線的“孔像拋物線”的對(duì)稱中心是則其孔像拋物線是化成一般形式為：②當(dāng)時(shí)，拋物線，對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，L的函數(shù)值隨著x的增大而減小，拋物線，對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值隨著x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，拋物線L于它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，故答案為：（若答案為也可以）．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，中心對(duì)稱性質(zhì)及應(yīng)用，新定義理解及應(yīng)用等，解題關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想思考解決問(wèn)題．【考點(diǎn)六新定義型二次函數(shù)——反碟長(zhǎng)拋物線】例題：定義：若直線與開(kāi)口向下的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離叫做這條拋物線的“反碟長(zhǎng)”．如圖，已知拋物線：與直線相交于P，Q兩點(diǎn)．

(1)拋物線的“反碟長(zhǎng)”______．(2)拋物線隨其頂點(diǎn)沿直線向上平移，得到拋物線．①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)時(shí)，拋物線的解析式是______，拋物線的“反碟長(zhǎng)”是______；②若拋物線的“反碟長(zhǎng)”是一個(gè)偶數(shù)，則其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)可能是______（填寫(xiě)所有正確的選項(xiàng)）；A．15；B．16；C．24；D．25③當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)A和拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)B，C構(gòu)成一個(gè)等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】(1)2(2)①，；②AC；③【分析】（1）由，得，即得；（2）①由拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)，得拋物線的解析式是，由，得或，，故拋物線的“反碟長(zhǎng)”是；②設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再求出“反碟長(zhǎng)”，再根據(jù)“反碟長(zhǎng)”是一個(gè)偶數(shù)判斷即可；③過(guò)A作于H，設(shè)，由,得，根據(jù)是等邊三角形，可得，即可解得或，從而．【詳解】（1）解：在中，令得，解得或，∴，∴．故答案為：2．（2）解：①∵拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)，∴拋物線的解析式是，在中，令得，解得：或，∴拋物線與直線的交點(diǎn)為和，∴拋物線的“反碟長(zhǎng)”是；故答案為：，；②設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線．令，解得或，∴拋物線的“反碟長(zhǎng)”為．∵拋物線的“反碟長(zhǎng)”是一個(gè)偶數(shù)，∴是整數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)可知，當(dāng)或24時(shí)符合題意，故A，C正確．③如圖：過(guò)A作于H，

設(shè)，則拋物線的解析式為,在中，令得,解得或，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，解得或（B，C重合，舍去）．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、涉及新定義、平移變換、等邊三角形等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點(diǎn)A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點(diǎn)M稱為碟頂，點(diǎn)M到線段AB的距離稱為碟高．（1）拋物線y=x2對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=4x2對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=ax2（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為；（2）拋物線y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；（3）將拋物線y=anx2+bnx+cn（an＞0）的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)蝶形記為Fn（n=1，2，3…），定義F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比．若Fn與Fn﹣1的相似比為，且Fn的碟頂是Fn﹣1的碟寬的中點(diǎn)，現(xiàn)將（2）中求得的拋物線記為y1，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為F1．①求拋物線y2的表達(dá)式；②若F1的碟高為h1，F(xiàn)2的碟高為h2，…Fn的碟高為hn，則hn=，F(xiàn)n的碟寬有端點(diǎn)橫坐標(biāo)為2；F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？若是，直接寫(xiě)出該直線的表達(dá)式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）4；1；；．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)定義可算出y=ax2（a＞0）的碟寬為、碟高為，由于拋物線可通過(guò)平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟寬為、碟高為，由此可得碟寬、碟高只與a有關(guān)，與別的無(wú)關(guān)，從而可得．（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)碟寬易得a的值．（3）①根據(jù)y1，容易得到y(tǒng)2．②結(jié)合畫(huà)圖，易知h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直線x=2上，可以考慮hn∥hn﹣1，且都過(guò)Fn﹣1的碟寬中點(diǎn)，進(jìn)而可得．畫(huà)圖時(shí)易知碟寬有規(guī)律遞減，由此可得右端點(diǎn)的特點(diǎn)．對(duì)于“F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？”，我們可以推測(cè)任意相鄰的三點(diǎn)是否在一條直線上，如果相鄰的三個(gè)點(diǎn)不共線則結(jié)論不成立，反之則成立，所以可以考慮基礎(chǔ)的幾個(gè)圖形關(guān)系，利用特殊點(diǎn)求直線方程即可．試題解析：（1）4；1；；．∵a＞0，∴y=ax2的圖象大致如下：其必過(guò)原點(diǎn)O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點(diǎn)為C，連接OA，OB．∵△DAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，∴OC⊥AB，∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，∴AC=OC=BC，∴xA=-yA，xB=yB，代入y=ax2，∴A（﹣，），B（，），C（0，），∴AB=，OC=，即y=ax2的碟寬為．①拋物線y=x2對(duì)應(yīng)的a=，得碟寬為4；②拋物線y=4x2對(duì)應(yīng)的a=4，得碟寬為為；③拋物線y=ax2（a＞0），碟寬為；④拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖形，∵平移不改變形狀、大小、方向，∴拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0）的準(zhǔn)碟形與拋物線y=ax2的準(zhǔn)碟形全等，∵拋物線y=ax2（a＞0），碟寬為，∴拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0），碟寬為．（2）∵y=ax2﹣4ax﹣，∴由（1），其碟寬為，∵y=ax2﹣4ax﹣的碟寬為6，∴=6，解得A=，∴y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣3（3）①∵F1的碟寬：F2的碟寬=2：1，∴=，∵a1=，∴a2=．∵y=（x﹣2）2﹣3的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），∴A（﹣1，0），B（5，0），∴F2的碟頂坐標(biāo)為（2，0），∴y2=（x﹣2）2．②∵Fn的準(zhǔn)碟形為等腰直角三角形，∴Fn的碟寬為2hn，∵2hn：2hn﹣1=1：2，∴hn=hn﹣1=（）2hn﹣2=（）3hn﹣3=…=（）n+1h1，∵h(yuǎn)1=3，∴hn=．∵h(yuǎn)n∥hn﹣1，且都過(guò)Fn﹣1的碟寬中點(diǎn)，∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在一條直線上，∵h(yuǎn)1在直線x=2上，∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直線x=2上，∴Fn的碟寬右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+．另，F(xiàn)1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)在一條直線上，直線為y=﹣x+5．分析如下：考慮Fn﹣2，F(xiàn)n﹣1，F(xiàn)n情形，關(guān)系如圖2，F(xiàn)n﹣2，F(xiàn)n﹣1，F(xiàn)n的碟寬分別為AB，DE，GH；C，F(xiàn)，I分別為其碟寬的中點(diǎn)，都在直線x=2上，連接右端點(diǎn)，BE，EH．∵AB∥x軸，DE∥x軸，GH∥x軸，∴AB∥DE∥GH，∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，∴四邊形GFEH，四邊形DCBE都為平行四邊形，∴HE∥GF，EB∥DC，∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，∴GF∥DC，∴HE∥EB，∵HE，EB都過(guò)E點(diǎn)，∴HE，EB在一條直線上，∴Fn﹣2，F(xiàn)n﹣1，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線，∴F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線．∵F1：y1=（x﹣2）2﹣3準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），F(xiàn)2：y2=（x﹣2）2準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，），∴待定系數(shù)可得過(guò)兩點(diǎn)的直線為y=﹣x+5，∴F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是在直線y=﹣x+5上．考點(diǎn)：1、等腰直角三角形；2、二次函數(shù)的性質(zhì)；3多點(diǎn)共線【考點(diǎn)七新定義型二次函數(shù)——月牙線拋物線】例題：定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖①，拋物線與拋物線組成一個(gè)開(kāi)口向下的“月牙線”，拋物線與拋物線與x軸有相同的交點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，．

(1)求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)Q，試證明：的值為定值，并求出該定值；(3)如圖②，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析，該定值為2(3)在x軸上存在點(diǎn)F，使得是以為腰的等腰三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或【分析】（1）先由求得，，可得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，將點(diǎn)，代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，可得，，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論；（3）由拋物線：可得點(diǎn)，兩條拋物線的對(duì)稱軸均為直線，進(jìn)而求得，連接，由于等腰直角三角形可知，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分別進(jìn)行討論即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)M、N，且當(dāng)時(shí)，解得，，∴，；將點(diǎn)，代入拋物線，得，解得∴拋物線的解析式為；

3分（2）證明：設(shè)，則，∴，，∴，∴的值為定值，該定值為2；（3）存在．由拋物線：可得點(diǎn)，兩條拋物線的對(duì)稱軸均為直線，∵點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，，∴，如解圖，連接，∵，∴為等腰直角三角形，∴，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)C，連接，，則，，由勾股定理可知，∴，解得：，，∴，；

②當(dāng)時(shí)，，如解圖②，由勾股定理可得，∴，此方程無(wú)解，∴此種情況不存在．綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)F，使得是以為