2023-2024學(xué)年天津市南開中學(xué)高一（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分）A．a(chǎn)c＞bcBC．a(chǎn)2＞b2D．a(chǎn)﹣c＞b﹣c34分）若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＞b，b∈R}，則A?B的充要條件是A．b≥3B．2＜b≤3C．b＜2D．b≤22n54分）不等式+（x﹣2）≥6（其中x＞2）中等號成立的條件是()A．x＝3B．x=﹣3C．x＝5D．x=﹣564分）已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|﹣a＜x≤a+4}，若B?（A∩B則a的取值范圍為()A．{a|﹣2＜a<﹣1}B．{a|a<﹣2}C．{a|a≤﹣1}D．{a|a＞﹣2}74分）正實數(shù)a，b滿足則2a+b的最小值為()84分）命題“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥4B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)＞5D．a(chǎn)≤594分）已知命題p：?x＞0命題q：彐x∈R，x2+ax+1＝0，若命題p，q都是真命題，則實A．2≤a≤4C．a(chǎn)≤﹣2或2≤a≤4D．a(chǎn)≤﹣2104分）若方程ax2+bx+c＝0的兩實根為x1、x2，集合S＝{x|x＞x1}，T＝{x|x＞x2}，P＝{x|x＜x1}，Q={x|x＜x2}，則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集為()AS∪T）∩（P∪Q）BS∩T）∩（P∩Q）CS∪T）∪（P∪Q）DS∩T）∪（P∩Q）二、填空題（每小題4分，共24分）114分）設(shè)a，b∈R，若集合，則a2﹣b=.124分）試用列舉法表示集合：A＝{x|3x﹣1≤11，x∈N}=.134分）不等式的解集為.144分）已知實數(shù)a＞b＞0，當(dāng)取得最小值時，則的值為.154分）若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y＝2xy，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍三、解答題（每小題12分，共36分）1712分）設(shè)全集為R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜6}，C＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}.（1）求A∪BCRA）∩BCRA）∩（CRB（2）若A∩C=?,求實數(shù)a的取值范圍.1812分）解關(guān)于x的不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＞0.1912分）已知a＞0，b＞0且a2+b2﹣ab＝1，記m為a+b的最大值，記n為ab的最大值.（2）若a≠0，且對任意x∈R，x+1≤ax2+bx+c≤x2﹣nx+m恒成立，求bc+3a的最大值.一、選擇題（每小題4分，共40分）【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解.故選：C.【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.A．a(chǎn)c＞bcBC．a(chǎn)2＞b2D．a(chǎn)﹣c＞b﹣c【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.【解答】解：∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此D正確.c≤0時，A不正確；a＞0＞b時，B不正確；取a=﹣1，b=﹣2，C不正確.故選：D.【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.34分）若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＞b，b∈R}，則A?B的充要條件是A．b≥3B．2＜b≤3C．b＜2D．b≤2【分析】利用兩個集合的關(guān)系即可得出答案.【解答】解：因為集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＞b，b∈R}，故選：D.【點評】此題考查了充分必要條件，考查了集合思想，屬于基礎(chǔ)題.2n【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)果即可.【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題P：?n∈N，n2＞2n，故選：A.【點評】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.54分）不等式+（x﹣2）≥6（其中x＞2）中等號成立的條件是()A．x＝3B．x=﹣3C．x＝5D．x=﹣5【分析】結(jié)合基本不等式應(yīng)用的應(yīng)用條件可得為＝x﹣2，解方程可求.【解答】解：由均值不等式知等號成立的條件為＝x﹣2，即x＝5（x=﹣1舍去）.故選：C.【點評】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用條件的配湊，屬于基礎(chǔ)題.64分）已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|﹣a＜x≤a+4}，若B?（A∩B則a的取值范圍為()A．{a|﹣2＜a<﹣1}B．{a|a<﹣2}C．{a|a≤﹣1}D．{a|a＞﹣2}【分析】由B?（A∩B）可以得到B?A，從而對集合B分類討論即可求解參數(shù)a的范圍.【解答】解：∵已知B?（A∩B又因為A∩B?B，①當(dāng)B=?時，滿足B?A，此時﹣a≥a+4，解得a≤﹣2；綜上所述，a的取值范圍為{x|a≤﹣1}.故選：C.【點評】本題考查集合間關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.74分）正實數(shù)a，b滿足則2a+b的最小值為()【分析】由已知利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解.【解答】解：因為正實數(shù)a，b滿足則2a+b2a+b3+＝3+2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a且，即ab＝2時取等號.故選：A.【點評】本題主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.84分）命題“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥4B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)＞5D．a(chǎn)≤5【分析】求出命題“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題的充要條件，然后可選出答案.【解答】解：由x2﹣a≤0可得a≥x2，當(dāng)x∈[1，2]時x2）max＝4，所以a≥4，所以命題“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題的充要條件是a≥4，所以命題“任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是C.故選：C.【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.94分）已知命題p：?x＞0命題q：?x∈R，x2+ax+1＝0，若命題p，q都是真命題，則實A．2≤a≤4C．a(chǎn)≤﹣2或2≤a≤4D．a(chǎn)≤﹣2【分析】若命題p為真命題，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范圍，若命題q為真命題，則由Δ≥0即可求出a的取值范圍，再取兩者的交集即可.【解答】解：∵命題p：為真命題，∴Δ=a2﹣4≥0，∴a≤﹣2或a≥2，∵命題p，q都是真命題，∴a≤﹣2或2≤a≤4.故選：C.【點評】本題主要考查全稱量詞命題和特稱量詞命題，屬于基礎(chǔ)題.104分）若方程ax2+bx+c＝0的兩實根為x1、x2，集合S＝{x|x＞x1}，T＝{x|x＞x2}，P＝{x|x＜x1}，Q={x|x＜x2}，則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集為()AS∪T）∩（P∪Q）BS∩T）∩（P∩Q）CS∪T）∪（P∪Q）DS∩T）∪（P∩Q）【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法可知不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集在兩根之外，規(guī)定兩根大小，然后根據(jù)集合運算與解集比較可得結(jié)論.【解答】解：不妨設(shè)x1＞x2，因不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集在兩根之外所以不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集為{x|x＜x2或x＞x1}而S∩T＝{x|x＞x1}，P∩Q＝{x|x＜x2}∴{x|x＜x2或x＞x1}S∩T）∪（P∩Q）故選：D.【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合的運算，同時考查了分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（每小題4分，共24分）【分析】利用集合相等以及a≠0，可得a+b＝0，即，代入原式可得a，b的值，進而求出答案.【解答】解：由題意可知：a≠0，故答案為：0.【點評】本題考查集合相等相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.【分析】根據(jù)3x﹣1≤1及x∈N即可得出x的值，然后用列舉法表示集合A即可.【點評】本題考查了描述法和列舉法的定義，元素與集合的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.134分）不等式的解集為.【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，可求.【解答】解：原不等式可轉(zhuǎn)化為，解得﹣故答案為：.【點評】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.144分）已知實數(shù)a＞b＞0，當(dāng)取得最小值時，則的值為4.【分析】先利用基本不等式求最值，根據(jù)取等條件得，即【解答】解：根據(jù)題意可得，,因a＞b＞0，所以a﹣b＞0，a+2b＞0，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故答案為：4.【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算能力，屬中檔題.【分析】由已知結(jié)合基本不等式中“1”的代換求解的最小值，然后結(jié)合存在性問題與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化，解一元二次不等式即可.【解答】解：因為兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y＝2xy，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即x＝1，y＝4時，等號成立.因為有解，所以，即m2﹣m﹣2＞0，【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，還考查了由不等式有解求解參數(shù)范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.164分）若函數(shù)f（xx2+（m﹣2）x+|x2m+2）x+2|的最小值為0，則m的取值范圍為(﹣∞, 【分析】討論m＝0，求得x＝1時，取得最小值0；去絕對值，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求范圍.【解答】解：當(dāng)m＝0時，f（xx2﹣2x+|x2﹣2x+2|x﹣1）2﹣1+|（x﹣1）2+1|＝2（x﹣1）2，當(dāng)x=1時，f（x）取得最小值0；當(dāng)x＝1時，f（1）＝1+m﹣2+|1﹣m﹣2+2|＝m﹣1+|m﹣1|，當(dāng)m≤1時，可得f（1）＝m﹣1+1﹣m＝0，當(dāng)m＞1時，f（1）＝2（m﹣1）＞0；f（x）＝（x﹣1）2﹣1+mx+|（x﹣1）2+1﹣mx|，當(dāng)（x﹣1）2≥mx﹣1時，f（x）＝2（x﹣1）2≥0，當(dāng)x=1時，取得最小值0，此時m≤1；當(dāng)（x﹣1）2＜mx﹣1時，f（x2（mx﹣1由題意可得2（mx﹣1）≥0恒成立.【點評】本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用絕對值的意義，考查化簡運算能力，屬于中檔題.三、解答題（每小題12分，共36分）1712分）設(shè)全集為R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜6}，C＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}.（1）求A∪BCRA）∩BCRA）∩（CRB（2）若A∩C=?,求實數(shù)a的取值范圍.【分析】（1）結(jié)合集合的交集，并集及補集運算即可求解；（2）結(jié)合交集運算對C是否為空集進行分類討論可求.【解答】解1）因為A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜6}，C＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}.所以A∪B＝{x|2＜x＜7}；（CRA）∩B＝{x|2＜x＜3}；（CRA）∩（CRB）＝CR（A∪B）＝{x|x≤2或x≥7}；（2）若A∩C=?,當(dāng)C=?,則a﹣1≥2a+1，即a≤﹣2，當(dāng)C≠?,則，解得a≥8或﹣2＜a≤1，【點評】本題主要考查了集合的交集，并集及補集運算，屬于基礎(chǔ)題.1812分）解關(guān)于x的不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＞0.【分析】討論m＝0、m＞0以及m＜0時，對應(yīng)的不等式解集的情況，求出解集即可.【解答】解：當(dāng)m＝0時，不等式化為﹣2x﹣2＞0，解得x<﹣1；當(dāng)m＞0時，不等式化為（mx﹣2x+10，解得x<﹣1，或x當(dāng)﹣2＜m＜0時，<﹣1，不等式化為（x﹣)（x+1）＜0，解得＜x<﹣1；當(dāng)m=﹣2時，不等式化為（x+1）2＜0，此時無解；當(dāng)m<﹣2時1，不等式化為（x﹣)（x+10，解得﹣1＜x<;綜上，m＝0時，不等式的解集是{x|x<﹣1}；m＞0時，不等式的解集是{x|x<﹣1，或x＞}；﹣2＜m＜0時，不等式的解集是{x|＜x<﹣1}；m=﹣2時，不等式無解；m<﹣2時，不等式的解集是{x|﹣1＜x＜}.【點評】本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)對字母系數(shù)進行分類討論，是易錯題目.1912分）已知a＞0，b＞0且a2+b2﹣ab＝1，記m為a+b