高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點精講精練(新高考專用)專題3.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【原卷版+解析】

專題3.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【核心素養(yǎng)】1.以指數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、待定系數(shù)法、換元法等，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3.與對數(shù)函數(shù)、不等式、方程等結(jié)合，考查函數(shù)的實際應(yīng)用以及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一根式和分數(shù)指數(shù)冪1．n次方根定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*個數(shù)n是奇數(shù)a＞0x＞0x僅有一個值，記為eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶數(shù)a＞0x有兩個值，且互為相反數(shù)，記為±eq\r(n,a)a＜0x不存在2.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|，n為偶數(shù).))3.分數(shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.知識點二知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)常考題型剖析?？碱}型剖析題型一：根式、指數(shù)冪的化簡與求值【典例分析】例1-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．例1-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）計算：①＝________.②＝________.【規(guī)律方法】1.化簡原則：①化根式為分數(shù)指數(shù)冪；②化負指數(shù)冪為正指數(shù)冪；③化小數(shù)為分數(shù)；④注意運算的先后順序．2.結(jié)果要求：①若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；②若題目以分數(shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示；③結(jié)果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負分數(shù)指數(shù)冪．【變式訓(xùn)練】變式1-1.計算：×0＋×－＝________.變式1-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）計算化簡：（1）＝________；（2）＝________.題型二：根式、指數(shù)冪的條件求值例2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．例2-2.已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【規(guī)律方法】根式、指數(shù)冪的條件求值，是代數(shù)式求值問題的常見題型，一般步驟是：(1)審題：從整體上把握已知條件和所求代數(shù)式的形式和特點；(2)化簡：①化簡已知條件；②化簡所求代數(shù)式；（3）求值：往往通過整體代入，簡化解題過程.如本題求值問題實質(zhì)上考查整體思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的應(yīng)用，如(x12+x【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．變式2-2.設(shè)，求的值．題型三：指數(shù)函數(shù)的解析式、求值【典例分析】例3-1．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）若函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則________.例3-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，且，，則的解析式為____________．【方法技巧】1.確定函數(shù)的解析式，常常利用“待定系數(shù)法”.2.求指數(shù)函數(shù)相關(guān)函數(shù)值，可以先求解析式，再求值，也可以利用函數(shù)的其它性質(zhì)，如函數(shù)的奇偶性，如例3-2.【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則（

）A． B． C． D．變式3-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．求函數(shù)的解析式.題型四：指數(shù)函數(shù)相關(guān)定義域、值域問題【典例分析】例4-1.【多選題】（2023·全國·高三專題練習(xí)）對任意實數(shù)，函數(shù)的圖象必過定點，的定義域為[0，2]，，則下列結(jié)論正確的是（）A．， B．的定義域為[0，1]C．的值域為[2，6] D．的值域為[2，20]例4-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______．【總結(jié)提升】指數(shù)函數(shù)相關(guān)定義域、值域問題，一般要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是函數(shù)的單調(diào)性；另外，含的復(fù)合函數(shù)問題，一般利用“換元法”轉(zhuǎn)化求解.【變式訓(xùn)練】變式4-1.（2020秋·甘肅天水·高三?？茧A段練習(xí)）若定義運算，則函數(shù)的值域是（

）A．(-∞，+∞) B．[1，+∞) C．(0.+∞) D．(0，1]變式4-2.（山東省高考真題）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則.題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【典例分析】例5-1.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則該函數(shù)在上的圖像大致是（

）A． B．C． D．例5-2.（2020·北京高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A． B．C． D．例5-3．【多選題】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A． B． C． D．例5-4.（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有兩個不同實根，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【總結(jié)提升】1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進行比較．3.識圖的三種常用方法（1）抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：=1\*GB3①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；=2\*GB3②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；=3\*GB3③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；=4\*GB3④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．=5\*GB3⑤從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.(2)抓住函數(shù)的特征，定量計算：從函數(shù)的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題．（3）根據(jù)實際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法：=1\*GB3①根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象(定量分析)；=2\*GB3②根據(jù)自變量取不同值時函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析)．4.過定點的圖象(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(0,1)，(1，a)，.特別注意，指數(shù)函數(shù)的圖象過定點（0，1）；(2)與的圖象關(guān)于y軸對稱；(3)當a＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢，當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢；簡記：撇增捺減．【變式訓(xùn)練】變式5-1.（2020·浙江紹興市陽明中學(xué)高三期中）函數(shù)y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象可能是（）A． B．C． D．變式5-2.（2020·上海高一課時練習(xí)）函數(shù)和（其中且）的大致圖象只可能是()A． B．C． D．變式5-3.（2021·北京高三其他模擬）已知函數(shù)則不等式的解集是（）A． B． C． D．變式5-4.（2021·浙江金華市·高三其他模擬）已知函數(shù)，若對于任意一個正數(shù)，不等式在上都有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．題型六：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例分析】例6-1.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例6-2.（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．例6-3.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．例6-4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(其中是常數(shù))．若當時，恒有成立，則實數(shù)的取值范圍為_______．【規(guī)律方法】1.比較冪值大小時，要注意區(qū)分底數(shù)相同還是指數(shù)相同．是用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還是用冪函數(shù)的單調(diào)性或指數(shù)函數(shù)的圖象解決．要注意圖象的應(yīng)用，還應(yīng)注意中間量0、1等的運用．2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當冪的底數(shù)不確定時，要注意討論底數(shù)的不同取值情況.3.根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷．如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b.規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．4.簡單的指數(shù)不等式的求解問題．解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類討論．5.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及單調(diào)性問題時，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．6.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求解．【變式訓(xùn)練】變式6-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（）A． B．C． D．變式6-2．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式6-3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式對任意都成立，則實數(shù)的取值范圍____________．變式6-4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，當時，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是____________.一、單選題1．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項中可能為的解析式的是（

）

A． B．C． D．3．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．4.（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．5．（2018年新課標I卷文）設(shè)函數(shù)fx=2?x?，A.?∞?，???1B.06．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則對任意非零實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．7.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則函數(shù)的值域是（）A． B．C． D．二、多選題9.【多選題】（2021·全國高三專題練習(xí)）已知（k為常數(shù)），那么函數(shù)的圖象不可能是（）A． B．C． D．三、填空題10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)且在上的最大值為，則________.11．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）設(shè).若函數(shù)的定義域為，則關(guān)于的不等式的解集為__________.12．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃┮阎瘮?shù)是上的奇函數(shù)，當時，，若關(guān)于的方程有且僅有兩個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.

專題3.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【核心素養(yǎng)】1.以指數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、待定系數(shù)法、換元法等，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3.與對數(shù)函數(shù)、不等式、方程等結(jié)合，考查函數(shù)的實際應(yīng)用以及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一根式和分數(shù)指數(shù)冪1．n次方根定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*個數(shù)n是奇數(shù)a＞0x＞0x僅有一個值，記為eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶數(shù)a＞0x有兩個值，且互為相反數(shù)，記為±eq\r(n,a)a＜0x不存在2.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|，n為偶數(shù).))3.分數(shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.知識點二知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)常考題型剖析?？碱}型剖析題型一：根式、指數(shù)冪的化簡與求值【典例分析】例1-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同底數(shù)冪的運算法則進行計算.【詳解】故選：C.例1-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）計算：①＝________.②＝________.【答案】1102【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算即可.【詳解】①原式＝.②原式=.故答案為：1；102【規(guī)律方法】1.化簡原則：①化根式為分數(shù)指數(shù)冪；②化負指數(shù)冪為正指數(shù)冪；③化小數(shù)為分數(shù)；④注意運算的先后順序．2.結(jié)果要求：①若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；②若題目以分數(shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示；③結(jié)果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負分數(shù)指數(shù)冪．【變式訓(xùn)練】變式1-1.計算：×0＋×－＝________.【答案】【解析】原式＝×1＋×－.變式1-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）計算化簡：（1）＝________；（2）＝________.【答案】0.09【分析】由分數(shù)指數(shù)冪定義計算即可得答案.【詳解】（1）＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.（2）＝＝＝故答案為：0.09；題型二：根式、指數(shù)冪的條件求值例2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)冪運算法則計算即可得到A正確；根據(jù)基本不等式得到，根據(jù)等號取等條件判斷等號不可取從而得到B正確；通過指數(shù)冪運算直接計算得到C正確；通過對平方后進行比大小即可得到D錯誤.【詳解】因為，所以，故A正確；易知，，由基本不等式得，所以，當且僅當時取等號，又因為，即，所以等號不成立，所以，故B正確；，故C正確；由，得，故D錯誤．故選：ABC例2-2.已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【答案】【解析】（1）將兩邊平方得，所以.（2）將兩邊平方得，所以.（3）由（1）（2）可得【規(guī)律方法】根式、指數(shù)冪的條件求值，是代數(shù)式求值問題的常見題型，一般步驟是：(1)審題：從整體上把握已知條件和所求代數(shù)式的形式和特點；(2)化簡：①化簡已知條件；②化簡所求代數(shù)式；（3）求值：往往通過整體代入，簡化解題過程.如本題求值問題實質(zhì)上考查整體思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的應(yīng)用，如(x12+x【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．【詳解】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．變式2-2.設(shè)，求的值．【答案】7【解析】,.題型三：指數(shù)函數(shù)的解析式、求值【典例分析】例3-1．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）若函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則________.【答案】/【分析】利用偶函數(shù)的定義即可求解.【詳解】當時，，所以，又因為為偶函數(shù)，所以．故答案為：.例3-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，且，，則的解析式為____________．【答案】【分析】根據(jù)，求出，可得函數(shù)解析式.【詳解】因為函數(shù)解析式為，則，則，由可得，，解得，所以.【方法技巧】1.確定函數(shù)的解析式，常常利用“待定系數(shù)法”.2.求指數(shù)函數(shù)相關(guān)函數(shù)值，可以先求解析式，再求值，也可以利用函數(shù)的其它性質(zhì)，如函數(shù)的奇偶性，如例3-2.【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)奇偶性定義，探討出函數(shù)的周期，即可逐項分析判斷作答.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，B正確；又函數(shù)是奇函數(shù)，則，因此，即有，于是，即函數(shù)的周期為4，有，C正確；因為是定義域為的奇函數(shù)，則，解得，A正確；當時，，所以，D錯誤．故選：ABC變式3-2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．求函數(shù)的解析式.【答案】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出的值，利用奇函數(shù)的定義可求得函數(shù)在時的解析式，綜合可得出函數(shù)在上的解析式.【詳解】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，當時，，當時，，則，所以當時，，所以.題型四：指數(shù)函數(shù)相關(guān)定義域、值域問題【典例分析】例4-1.【多選題】（2023·全國·高三專題練習(xí)）對任意實數(shù)，函數(shù)的圖象必過定點，的定義域為[0，2]，，則下列結(jié)論正確的是（）A．， B．的定義域為[0，1]C．的值域為[2，6] D．的值域為[2，20]【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像恒過定點求出m，n的值，根據(jù)的定義域求的定義域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，求出的值域.【詳解】令，得，此時，所以函數(shù)的圖象過定點，即，，故選項A正確；因為，，所以，，所以，由得，所以的定義域為[0，1]，故B正確；易知在[0，1]上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值2，當時，取得最大值6，所以的值域為[2，6]，故選項C正確，選項D錯誤．故選:ABC．例4-2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______．【答案】．【分析】利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求值域即可.【詳解】設(shè)，則，換元得，顯然當時，函數(shù)取到最小值，所以函數(shù)的值域為．故答案為：.【總結(jié)提升】指數(shù)函數(shù)相關(guān)定義域、值域問題，一般要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是函數(shù)的單調(diào)性；另外，含的復(fù)合函數(shù)問題，一般利用“換元法”轉(zhuǎn)化求解.【變式訓(xùn)練】變式4-1.（2020秋·甘肅天水·高三?？茧A段練習(xí)）若定義運算，則函數(shù)的值域是（

）A．(-∞，+∞) B．[1，+∞) C．(0.+∞) D．(0，1]【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像即可得出結(jié)論.【詳解】由題意分析得：取函數(shù)與中的較小的值，則，如圖所示（實線部分）：由圖可知：函數(shù)的值域為：.故選：D.變式4-2.（山東省高考真題）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則.【答案】【解析】若，則在上為增函數(shù),所以，此方程組無解；若，則在上為減函數(shù),所以，解得，所以.題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【典例分析】例5-1.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則該函數(shù)在上的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的知識確定正確選項.【詳解】當時，，所以在上遞減，是偶函數(shù)，所以在上遞增.注意到，所以B選項符合.故選：B例5-2.（2020·北京高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.例5-3．【多選題】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得出、的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷ACD選項，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷B選項.【詳解】由圖象可知，函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，則，且當時，，可得.對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，由題意可知，，則，所以，，D對.故選：ABD.例5-4.（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有兩個不同實根，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出函數(shù)和的圖像，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，結(jié)合圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】當時，，當時，，當時，，畫出函數(shù)的圖象，如圖：因為方程有兩個不同實根，所以函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點.由直線過，得；由直線過，得；由直線過，得；而函數(shù)不過，因此有當時，函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點.，即方程有兩個不同實根.故選：A【總結(jié)提升】1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進行比較．3.識圖的三種常用方法（1）抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：=1\*GB3①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；=2\*GB3②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；=3\*GB3③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；=4\*GB3④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．=5\*GB3⑤從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.(2)抓住函數(shù)的特征，定量計算：從函數(shù)的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題．（3）根據(jù)實際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法：=1\*GB3①根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象(定量分析)；=2\*GB3②根據(jù)自變量取不同值時函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析)．4.過定點的圖象(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(0,1)，(1，a)，.特別注意，指數(shù)函數(shù)的圖象過定點（0，1）；(2)與的圖象關(guān)于y軸對稱；(3)當a＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢，當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢；簡記：撇增捺減．【變式訓(xùn)練】變式5-1.（2020·浙江紹興市陽明中學(xué)高三期中）函數(shù)y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】就、分類討論可得正確的選項.【詳解】當時，為增函數(shù)，當時，且，故A,B不符合.當時，為減函數(shù)，當時，，故C不符合，D符合.故選：D.變式5-2.（2020·上海高一課時練習(xí)）函數(shù)和（其中且）的大致圖象只可能是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由于過點，故D選項錯誤.當時，過且單調(diào)遞增；過點且單調(diào)遞增，過且.所以A選項錯誤.當時，過且單調(diào)遞減，過點且單調(diào)遞增，過且.所以B選項錯誤.綜上所述，正確的選項為C.故選：C變式5-3.（2021·北京高三其他模擬）已知函數(shù)則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函數(shù)以及的大致圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】在同一坐標系中，作出函數(shù)以及的大致圖象，觀察的區(qū)域，由圖象可知，在區(qū)間和上，由此的解集.故選：A變式5-4.（2021·浙江金華市·高三其他模擬）已知函數(shù)，若對于任意一個正數(shù)，不等式在上都有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由不等式可知，或，結(jié)合圖象，分析可得的取值范圍.【詳解】當時，，得，，不能滿足都有解；當時，，得或，如圖，當或時，只需滿足或，滿足條件.所以，時，滿足條件.故選：A題型六：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例分析】例6-1.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D例6-2.（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D例6-3.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數(shù)性質(zhì)知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.例6-4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(其中是常數(shù))．若當時，恒有成立，則實數(shù)的取值范圍為_______．【答案】【分析】令，將原指數(shù)度等式的問題可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問題進行處理.【詳解】，令，由于，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，，于是問題轉(zhuǎn)化為：時，恒成立，下只需求時的最大值.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時遞減，上遞增，而端點和相比距離對稱軸更遠，故，于是.故答案為：【規(guī)律方法】1.比較冪值大小時，要注意區(qū)分底數(shù)相同還是指數(shù)相同．是用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還是用冪函數(shù)的單調(diào)性或指數(shù)函數(shù)的圖象解決．要注意圖象的應(yīng)用，還應(yīng)注意中間量0、1等的運用．2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當冪的底數(shù)不確定時，要注意討論底數(shù)的不同取值情況.3.根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷．如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b.規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．4.簡單的指數(shù)不等式的求解問題．解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類討論．5.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及單調(diào)性問題時，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．6.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求解．【變式訓(xùn)練】變式6-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后利用函數(shù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，所以，因為函數(shù)在R為增函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，綜上，.故選：A.變式6-2．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】確定函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，在上單調(diào)遞減，且，不等式轉(zhuǎn)化為或或，解得答案.【詳解】依題意，，，故，故函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，當時，，，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，在上單調(diào)遞減，，而，故或或，解得或，故所求不等式的解集為，故選：B.變式6-3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式對任意都成立，則實數(shù)的取值范圍____________．【答案】．【分析】分離參數(shù)，換元法求最值，可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】原不等式可化為對恒成立，令，則，所以，當時，，所以.故答案為:.變式6-4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，當時，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是____________.【答案】【分析】根據(jù)題意把不等式轉(zhuǎn)化為即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，得到在上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，均為在上的增函數(shù)，故函數(shù)是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因為，即，可得恒成立，即在上恒成立，則滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.一、單選題1．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】取特值排除即可.【詳解】因為，故A、C錯誤；又因為，故B錯誤；故選：D.2．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項中可能為的解析式的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合選項中的函數(shù)，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得對于A中，函數(shù)，當時，，當時，，其函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；對于B中，對于，當時，，不符合題意；對于C中，對于，當時，，不符合題意；對于D中，對于，當時，，不符合題意.故選：A.3．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】注意到，，后利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)單調(diào)性可比較大小.【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，又，則.綜上，.故選：A4.（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.5．（