專題08 函數(shù)基礎(chǔ)及平面直角坐標(biāo)系（講義）（原卷版）

專題08函數(shù)基礎(chǔ)及平面直角坐標(biāo)系核心知識(shí)點(diǎn)精講理解平面直角坐標(biāo)系的概念、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念；掌握不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；掌握點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律并能進(jìn)行運(yùn)用；理解掌握變量和常量的關(guān)系；掌握函數(shù)解析式及表示方法；掌握函數(shù)圖象的畫法?？键c(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系1.平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)O（即公共的原點(diǎn)）叫做直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。2.點(diǎn)的坐標(biāo)的概念點(diǎn)的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)時(shí)，（a，b）和（b，a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。考點(diǎn)2不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征1.各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一象限點(diǎn)P(x,y)在第二象限點(diǎn)P(x,y)在第三象限點(diǎn)P(x,y)在第四象限2.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征點(diǎn)P(x,y)在x軸上，x為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)在y軸上，y為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）3.兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)4.和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。5.關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于x軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)6.P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：（1）點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于（2）點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于考點(diǎn)3點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律（1）理解平面直角坐標(biāo)系和點(diǎn)坐標(biāo)的意義；（2）探索各個(gè)象限的點(diǎn)和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)其坐標(biāo)符號(hào)規(guī)律；（3）探索關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)對(duì)稱，平移等變化的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律．考點(diǎn)4變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)?？键c(diǎn)5函數(shù)解析式及表示方法1.函數(shù)的解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。2..函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)（1）解析式法：兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2）列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。（3）圖象法：用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。考點(diǎn)6由函數(shù)解析式畫其圖象的一般步驟：（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值（2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來。【題型1：實(shí)數(shù)的有概念】【典例1】（2023?蓬江區(qū)校級(jí)三模）若點(diǎn)A（n，n+2）在x軸上，則n的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．21．（2023?韶關(guān)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023?順德區(qū)校級(jí)一模）已知點(diǎn)Q（a﹣1，a+2）在x軸上，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）3．（2023?金平區(qū)三模）已知點(diǎn)A（2，1），過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）【題型2：不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征】【典例2】（2023?廣東模擬）已知點(diǎn)M（﹣2，3），點(diǎn)N（2，a），且MN∥x軸，則a的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．31．（2022?濠江區(qū)一模）若點(diǎn)A（m+1，﹣2）、點(diǎn)B（3，m﹣1），且AB∥x軸，則AB的值為（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）（?1A．﹣5 B．15 C．5 D．3．（2023?南沙區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是A（﹣2，1），AB＝5，且∠AOB＝90°．那么點(diǎn)B到x軸的距離是（）A．2 B．4 C．25 D．【題型3：點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律應(yīng)用】【典例4】（2023?中山市校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，3），B（﹣1，0）．過點(diǎn)A作AB的垂線交x軸于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作AA1的垂線交y軸于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作A1A2的垂線交x軸于點(diǎn)A3…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，則點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為．1．（2023?東莞市校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一條長(zhǎng)為2023個(gè)單位長(zhǎng)度且沒有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)A處，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的規(guī)律繞在四邊形ABCD的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，0） B．（0，2） C．（﹣1，﹣2） D．（0，1）2．（2023?東莞市一模）如圖，直線l為y=3x，過點(diǎn)作A1B1⊥x軸，與直線l交于點(diǎn)B1，以原點(diǎn)O為圓心．OB1長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A2；再作A2B2⊥x軸．交直線l于點(diǎn)B2，以原點(diǎn)O為圓心，OB2長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A3；……按此作法進(jìn)行下去，點(diǎn)An坐標(biāo)為3．（2023?惠東縣二模）如圖，點(diǎn)O（0，0），A（0，1）是正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，以對(duì)角線為邊作正方形，再以正方形的對(duì)角線作正方形，…，依此規(guī)律，則點(diǎn)A8的坐標(biāo)是．【題型4：常量與變量】【典例4】（2023?惠來縣模擬）某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)加工100個(gè)零件，如果用n表示工作效率，用t表示規(guī)定的時(shí)間，下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)100和n，t都是常量 B．?dāng)?shù)100和n都是變量 C．n和t都是變量 D．?dāng)?shù)100和t都是變量1．（2023?英德市三模）球的體積是V，球的半徑為R，則V=43πRA．變量是V，R；常量是43，πB．變量是R，π；常量是43C．變量是V，R，π；常量是43D．變量是V，R3；常量是π2．（2023?蓬江區(qū)校級(jí)三模）如圖，把兩根木條AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木條AB自由轉(zhuǎn)動(dòng)至AB′位置．在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，下面的量是常量的為（）A．∠BAC的度數(shù) B．AB的長(zhǎng)度 C．BC的長(zhǎng)度 D．△ABC的面積【題型5：函數(shù)的解析式及表示方法】【典例5】（2023?花都區(qū)一模）下表反映的是某地區(qū)電的使用量x（千瓦時(shí)）與應(yīng)繳電費(fèi)y（元）之間的關(guān)系：用電量x（千瓦時(shí)）12345…應(yīng)繳電費(fèi)y（元）0.551.11.652.22.75…以下說法錯(cuò)誤的是（）A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量 B．用電量每增加1千瓦時(shí)，電費(fèi)增加0.55元 C．若用電量為8千瓦時(shí)，則應(yīng)繳電費(fèi)4.4元 D．若所繳電費(fèi)為3.75元，則用電量為7千瓦時(shí)1．（2022?河源一模）已知兩個(gè)變量x和y，它們之間的3組對(duì)應(yīng)值如下表所示：x﹣101y321則y與x之間的關(guān)系式可能是（）A．y＝x B．y=3x C．y＝x2+x+1 D．y＝﹣2．（2021?佛山校級(jí)三模）已知y是x的函數(shù)，用列表法給出部分x與y的值．表中“▲”處的數(shù)可以是．（填一個(gè)符合題意的答案）x﹣2134y﹣362▲3．（2022?廣東）物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)：在彈性限度內(nèi)，某彈簧長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）滿足函數(shù)關(guān)系y＝kx+15．下表是測(cè)量物體質(zhì)量時(shí)，該彈簧長(zhǎng)度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系．x025y151925（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為20cm時(shí)，求所掛物體的質(zhì)量．【題型6：平方根、算術(shù)平方根和立方根】【典例6】（2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，將一圓柱形水杯杯底固定在大圓柱形容器底面中央，現(xiàn)用一個(gè)注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水，則水杯內(nèi)水面的高度h（單位：cm）與注水時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．.1.（2023?香洲區(qū)二模）一個(gè)小球沿一個(gè)斜坡上下滾動(dòng)，其速度v（單位：m/s）與時(shí)間t（單位：s）的圖象如圖所示．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．小球的初始速度為6m/s B．小球先沿斜坡向上滾動(dòng)，再沿斜坡向下滾動(dòng) C．當(dāng)3≤t≤6時(shí)，小球的速度每秒增加2m/s D．小球在整個(gè)滾動(dòng)過程中，當(dāng)t＝3時(shí)，到達(dá)斜坡的最低處2．（2023?龍華區(qū)二模）如圖是小杰同學(xué)家中的一個(gè)30min沙漏計(jì)時(shí)器，相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成勻速，從計(jì)時(shí)器開始計(jì)時(shí)到計(jì)時(shí)30min止，上面玻璃球內(nèi)的含沙量Q（cm3）與時(shí)間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致為（）A． B． C． D．3．（2022?赤坎區(qū)二模）工程隊(duì)鋪設(shè)某段公路效率是v（單位：km/天）和鋪設(shè)時(shí)間t（單位：天）之間函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．一．選擇題（共5小題）1．（2023?高要區(qū)二模）如圖，這是一個(gè)利用平面直角坐標(biāo)系畫出的某學(xué)校的示意圖，如果這個(gè)坐標(biāo)系分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，并且綜合樓和食堂的坐標(biāo)分別是（4，1）和（5，4），則教學(xué)樓的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）2．（2022?東莞市校級(jí)一模）點(diǎn)C在x軸的下方，y軸的右側(cè)，距離x軸3個(gè)單位長(zhǎng)度，距離y軸5個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣5，3）3．（2023?鶴山市模擬）如圖甲，A、B是半徑為1的⊙O上兩點(diǎn)，且OA⊥OB．點(diǎn)P從A出發(fā)，在⊙O上以每秒一個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)結(jié)束．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，弦BP的長(zhǎng)度為y，那么如圖乙圖象中可能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A．① B．④ C．①或③ D．②或④4．（2023?南海區(qū)校級(jí)三模）如表中列出的是一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值．下列各選項(xiàng)中，正確的是（）x…﹣2013…y…﹣6464…A．函數(shù)的圖象開口向上 B．函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn) C．函數(shù)的最大值大于6 D．當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)y的取值范圍是3≤y≤65．（2023?福田區(qū)模擬）函數(shù)y=1x?1中自變量A．x≥0 B．x＞1 C．x≥1 D．x≠0二．填空題（共4小題）6．（2023?惠陽(yáng)區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若P（2x+6，4﹣x）在第二象限，則x的取值范圍是．7．（2022?越秀區(qū)校級(jí)二模）若P（a+2，a﹣1）在y軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．8．（2023?金平區(qū)二模）函數(shù)y=1x+1的自變量x的取值范圍是9．（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）在函數(shù)y=2x+9x?5中，自變量x的取值范圍是一．選擇題（共8小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣1，0），以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，再以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰Rt△OA3A4，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2020的橫坐標(biāo)為（）A．﹣21009 B．21009 C．﹣21010 D．210102．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（55，0），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，255），延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C，延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A?，作正方形A2B2C2A．（32）2020 B．（32）C．4×（32）2020 D．4×（323．若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a，2a﹣1），則點(diǎn)N一定不在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E、F、G、H分別為各邊上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CG＝DH，設(shè)小正方形EFGH的面積為y，AE為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．5．如圖是底部放有一個(gè)實(shí)心鐵球的長(zhǎng)方體水槽軸截面示意圖，現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時(shí)間（x）關(guān)系的是（）A． B． C． D．6．如圖是邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD，∠DAB＝60°，過點(diǎn)A作直線l⊥AB，將直線l沿線段AB方向勻速向右平移，直至l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)停止，在平移的過程中，若菱形在直線l左邊的部分面積為y，則y與直線l平移的距離x之間的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．7．如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為CD邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB→BC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線段PE的長(zhǎng)為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（4，23） B．（4，