2題型培優(yōu).二次函數(shù)最值及綜合應(yīng)用.目標(biāo)班-.教師版

PAGE1二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)題型一：二次函數(shù)的最值題型一：二次函數(shù)的最值思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航對(duì)于二次函數(shù)（表示的最大值，表示的最小值）⑴若自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在頂點(diǎn)處時(shí)，取到最值．⑵若，如圖②，當(dāng)，；當(dāng)，．⑶若，如圖③，當(dāng)，；當(dāng)，．⑷若，且，如圖④，當(dāng)，；當(dāng)，．例題精講例題精講⑴若為任意實(shí)數(shù)，求函數(shù)的最小值；⑵若，求的最大值、最小值；⑶若，求的最大值、最小值；⑷若，求的最大值、最小值；⑸若為整數(shù)，求函數(shù)的最小值．⑴套用求最值公式（建議教師講配方法）：當(dāng)時(shí)，的最小值是．⑵由圖象可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，最小，且，當(dāng)時(shí)，最大，且．⑶由圖象可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是先減后增， ∴當(dāng)，最小，且．∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，最大，且．⑷由函數(shù)圖象開(kāi)口向上，且，故當(dāng)時(shí)，取最大值為，當(dāng)時(shí)，取最小值為．⑸∵，當(dāng)時(shí)，取最小值為．由此題我們可以得到：求二次函數(shù)在給定區(qū)域內(nèi)的最值，得看拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在給定區(qū)域內(nèi)．若在，則在頂點(diǎn)處取到一個(gè)最值，若不在，則在端點(diǎn)處取得最大值和最小值（其實(shí)求出端點(diǎn)值和頂點(diǎn)值，這三個(gè)值中最大的為最大值，最小的為最小值）．典題精練典題精練=1\*GB2⑴已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．=2\*GB2⑵當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D． （昌平二模）=1\*GB2⑴．提示：，令，當(dāng)，的最大值為．本題屬于為全體實(shí)數(shù)，求二次函數(shù)的最值，配方法要熟練掌握．=2\*GB2⑵B．提示：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且拋物線的開(kāi)口向上，故時(shí)，的最小值為．【例2】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在y軸的正半軸上，在x軸的正半軸上，已知、．作的平分線交于點(diǎn)D，連接，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)；⑵求證：；⑶拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，連接．探索：若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)M．是否存在點(diǎn)P，使線段的長(zhǎng)度有最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2012西寧)【解析】⑴證明：∵平分，∴，∵四邊形是矩形，∴．∴，∴．∴（等角對(duì)等邊）．∴點(diǎn)坐標(biāo)為． ⑵解：∵四邊形是矩形∴，．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．在和中，∴（ASA） ⑶解：存在． ∵二次函數(shù)解析式為：，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)所在直線函數(shù)關(guān)系式為，、，∴∴．∴所在直線函數(shù)解析式為：． ∵軸，∴． ∴當(dāng)時(shí)，．∴所求的點(diǎn)坐標(biāo)為．如圖，有長(zhǎng)為米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形的花圃，且花圃的長(zhǎng)可借用一段墻體（墻體的最大可用長(zhǎng)度米），當(dāng)為多少米時(shí)，圍成的花圃面積最大．（人大附練習(xí)題）設(shè)長(zhǎng)為米，則花圃的面積顯然解得，當(dāng)時(shí)，（平方米）．題型二：二次函數(shù)綜合應(yīng)用題型二：二次函數(shù)綜合應(yīng)用典題精練典題精練【例4】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)是線段上的點(diǎn)（不與，重合），過(guò)作軸交拋物線于，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，請(qǐng)用的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，連接、，是否存在，使的面積最大？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由． (2012黔東南州)【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：，則：，；∴拋物線的解析式：．（2）設(shè)直線的解析式為：，則有：，解得；故直線的解析式：．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則、；∴故．（3）如圖；∵，∴；∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為．

【例5】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：與軸、軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0，)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4，n)． (1)求的值和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t（0<t<4）．DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長(zhǎng)為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值． （2013西城一模）【解析】（1）∵直線l：經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，），∴.∴直線l的解析式為.∵直線l：經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4，n），∴.∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4，2）和點(diǎn)B（0，），∴解得∴拋物線的解析式為.（2）∵直線l：與x軸交于點(diǎn)A，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0）. ∴OA=.在Rt△OAB中，OB=1，∴AB==. ∵DE∥軸，∴∠OBA=∠FED.∵矩形DFEG中，∠DFE=90°，∴∠DFE=∠AOB=90°.∴△OAB∽△FDE.∴.∴，.∴=2(FD+FE)=.∵D（，），E（，），且，∴.∴.∵，且，∴當(dāng)時(shí)，有最大值.

【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形，頂點(diǎn)、、均在坐標(biāo)軸上，且，．（1）求過(guò)、、三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）記直線的解析式為，（1）中拋物線的解析式為，求當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍；（3）設(shè)直線與（1）中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上、兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值．（2012攀枝花）【解析】（1）∵四邊形是菱形，∴，；中，，；，即：、、、；設(shè)拋物線的解析式為：，得：，；∴拋物線：．（2）由、得直線：；由（1）得：，則：，解得：，；由圖可知：當(dāng)時(shí)，．（3）∵，∴當(dāng)?shù)街本€的距離最遠(yuǎn)時(shí)，最大；若設(shè)直線，則直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)；設(shè)直線：，當(dāng)直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，且；求得：，即直線：；可得點(diǎn)．由（2）得：，則直線：；則點(diǎn)，；∴的最大值：．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的面積最大，為．【例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．點(diǎn)P是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線交直線與點(diǎn)C，作于點(diǎn)D⑴求，及的值⑵設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為①用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)，并求出線段長(zhǎng)的最大值；②連接，線段把分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的值，使這兩個(gè)三角形的面積之比為？若存在，直接寫(xiě)出值；若不存在，說(shuō)明理由．(2012河南)【解析】⑴由，得到，∴由，得到，∴．∵經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴．設(shè)直線，與軸交于點(diǎn)，則∵軸，∴．∴⑵由⑴可知拋物線的解析式為∴，在中，∵∴當(dāng)時(shí)，有最大值．②存在滿足條件的值，或．分別過(guò)點(diǎn)，B作，垂足分別為F，G．在中，又∴當(dāng)時(shí)．解得．當(dāng)時(shí)，解得．

思維拓展訓(xùn)練(選講)思維拓展訓(xùn)練(選講)目標(biāo)班⑴已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則.⑵若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是.⑴.⑵.已知均為整數(shù)，直線與三條拋物線和交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是2,1,0，若（大興期末）由題意得：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，方程無(wú)實(shí)根.∴由得代入得解此不等式組，得因?yàn)槭钦麛?shù)，所以有于是，得∴∴∵∴∴或∴設(shè)∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值.如圖，拋物線與x軸交于,兩點(diǎn)，=1\*GB2⑴求該拋物線的解析式；=2\*GB2⑵設(shè)=1\*GB2⑴中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.=3\*GB2⑶在=1\*GB2⑴中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】=1\*GB2⑴將A(1，0)，代中得∴∴拋物線解析式為：=2\*GB2⑵存在.理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱∴直線BC與的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小∵∴C的坐標(biāo)為：(0，3)直線BC解析式為：Q點(diǎn)坐標(biāo)即為的解∴∴Q(－1，2)=3\*GB2⑶答：存在. 理由如下：設(shè)P點(diǎn)∵若有最大值，則就最大，∴＝＝ 當(dāng)時(shí)，最大值＝∴最大＝當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為已知拋物線，且在軸的正半軸上截得的線段長(zhǎng)為，對(duì)稱軸為直線．過(guò)點(diǎn)的直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，交拋物線于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與直線交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為．=1\*GB2⑴求這條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；=2\*GB2⑵判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．(大興二模)=1\*GB2⑴∵拋物線y=x2+bx，在x軸的正半軸上截得的線段的長(zhǎng)為4，可知對(duì)稱軸為直線x=2．∴A(2，0)，設(shè)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，0)，∴拋物線為y=x2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(4，0)．∴，∴．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－4）．=2\*GB2⑵S1與S2的大小關(guān)系是：S1=S2理由如下：設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線為y=kx+b(k≠0)．∴0=2k+b．∴k=b．∴y=．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x1，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2，）．當(dāng)交點(diǎn)為B1時(shí)，，．．當(dāng)交點(diǎn)為B2時(shí)，=．∴S1=S2．綜上所述，S1=S2．目標(biāo)123班如圖，一面利用墻，用籬笆圍成的矩形花圃的面積為，平行于墻的邊長(zhǎng)為．⑴若墻可利用的最大長(zhǎng)度為，籬笆長(zhǎng)為，花圃中間用一道籬笆隔成兩個(gè)小矩形，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．⑵在⑴的條件下，圍成的花圃的面積為時(shí)，求的長(zhǎng)．能否圍成面積比更大的花圃？如果能，應(yīng)該怎樣圍？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．⑶若墻可利用最大長(zhǎng)度為，籬笆長(zhǎng)，中間用道籬笆隔成小矩形，且當(dāng)這些小矩形為正方形和為正整數(shù)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出一組滿足條件的、的值．⑴由題意得：，⑵由解得：（舍去），∴時(shí)，又，又∵，拋物線的開(kāi)口向下∴當(dāng)米時(shí)，最大為平方米∴平行于院墻的一邊長(zhǎng)大于且小于等于時(shí)，就能?chē)擅娣e比平方米更大的花圃．⑶∵，即又∵為自然數(shù)時(shí)，∴∴檢驗(yàn)：當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，．已知均為整數(shù)，直線與三條拋物線和交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是2,1,0，若（大興期末）由題意得：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，方程無(wú)實(shí)根.∴由得代入得解此不等式組，得因?yàn)槭钦麛?shù)，所以有于是，得∴∴∵∴∴或∴設(shè)∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，與軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為=1\*GB2⑴求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；=2\*GB2⑵點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1:2的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；=3\*GB2⑶點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)P在何處時(shí)的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).（東城二模）=1\*GB2⑴由題意，得：解得：所以，所求二次函數(shù)的解析式為：頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為=2\*GB2⑵易求四邊形ACDB的面積為9.可得直線BD的解析式為y=2x+6設(shè)直線OM與直線BD交于點(diǎn)E，則△OBE的面積可以為3或6.=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，易得E點(diǎn)坐標(biāo)，直線OE的解析式為.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)，∴=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)．∴M點(diǎn)坐標(biāo)為=3\*GB2⑶如圖，連接，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.的面積有最大值所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，的面積有最大值，且最大值為已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為的等邊隨著頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終有BC∥x軸．=1\*GB2⑴當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，頂點(diǎn)C是否在該拋物線上？=2\*GB2⑵在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有可能被x軸分成兩部分，當(dāng)上下兩部分的面積之比為1∶8（即）時(shí)，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；=3\*GB2⑶在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)頂點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．（順義期末）=1\*GB2⑴當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)BC與y軸交于點(diǎn)D，如圖所示．∵BC∥x軸，BC=AC=，∴，．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，頂點(diǎn)C在拋物線上．=2\*GB2⑵過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）．∵，∴．∵等邊的邊長(zhǎng)為，∴．∴．∴．解方程，得．∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或．=3\*GB2⑶當(dāng)頂點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上時(shí)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為、、．

復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固題型一二次函數(shù)的最值鞏固練習(xí)某商店銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為20元/雙的手套，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種手套每天的銷(xiāo)售量w(雙)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)滿足(20≤x≤40),設(shè)銷(xiāo)售這種手套每天的利潤(rùn)為y（元）.=1\*GB2⑴求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；=2\*GB2⑵當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí),每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（海淀期末）=1\*GB2⑴.=2\*GB2⑵.∵,a=-2<0,∴當(dāng)時(shí)，.答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為每雙30元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為200元.已知，求的最大值和最小值.∵，∴當(dāng)時(shí)，取到最大值為；當(dāng)時(shí)，取到最小值為.已知：關(guān)于x的一元二次方程①.⑴求證：方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；⑵若，求證方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根為；⑶在⑵的條件下，設(shè)方程①的另一個(gè)根為.當(dāng)時(shí)，關(guān)于m的函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），平行于軸的直線與、的圖象分別交于點(diǎn)、.當(dāng)沿由點(diǎn)平移到點(diǎn)時(shí)，求的最大值.⑴證明：.∵，∴.∴方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.⑵解：由，得當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)左邊.等號(hào)右邊=0.∴左邊=右邊.∴x=1是方程①的一個(gè)實(shí)數(shù)根.⑶解：由求根公式，得.x=m或∵，∴a=m.當(dāng)x=2時(shí)，y1=2n+m2=2（m1）+m2=m2+2m2，y2=22+2m（nmm）+m（mn）=4+2m（1m）+m.如圖，當(dāng)l沿AB由點(diǎn)A平移到點(diǎn)B時(shí)，CD=y2y1==3（m+）2+由y1=y2，得m2+2m2=2m2m+4.解得m=2或m=1.∴mA=2，mB=1.∵2<<1，∴當(dāng)m=時(shí)，CD取得最大值.題型二二次函數(shù)綜合應(yīng)用鞏固練習(xí)如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．=1\*GB2⑴求拋物線的對(duì)稱軸及的值；=2\*GB2⑵在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)，使得的值最小，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；=3\*GB2⑶設(shè)點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).（平谷一模）=1\*GB2⑴拋物線的對(duì)稱軸為：直線．拋物線過(guò)點(diǎn)，則，．=2\*GB2⑵如下圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)在線段上就可使的值最?。忠?yàn)辄c(diǎn)要在對(duì)稱軸上，所以點(diǎn)應(yīng)為線段與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn)．由=1\*GB2⑴可知，拋物線的表達(dá)式為：．令，則．解得：．則點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、．設(shè)直線的表達(dá)式為，則解得所以直線的表達(dá)式為．當(dāng)時(shí)，.所以，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．=3\*GB2⑶依題意得：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大．由拋物線表達(dá)式可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．點(diǎn)的坐標(biāo)為．的最大面積．如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O及，其頂點(diǎn)為B(m,3),C是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是直線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合)，點(diǎn)D在y軸上,且EO=ED.=1\*GB2⑴求此拋物線及直線OC的解析式；=2\*GB2⑵當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到拋物線上時(shí),求BD的長(zhǎng)；=3\*GB2⑶連接AD,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AED的面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).