工科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)第六章級數(shù)教學(xué)講義

第六章級數(shù)

高等數(shù)學(xué)

安徽電氣工程學(xué)院9/27/20241本章安排10課時，每節(jié)2學(xué)時，習(xí)題課2學(xué)時。具體如下：

第1,2課時：

6.1常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)9/27/20242

教學(xué)目的：理解級數(shù)的定義，掌握級數(shù)收斂、發(fā)散的概念及其性質(zhì)，熟悉幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)的斂散性，會用級數(shù)收斂的必要條件判斷某些級數(shù)的發(fā)散。

教學(xué)重點：級數(shù)收斂發(fā)散的定義，級數(shù)收斂的必要條件。教學(xué)難點：數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)。9/27/20243

4.

通過對例1的講解，要求學(xué)生掌握等比級數(shù)的審斂法；例2,3都是拆項化簡的方法，類似題還可舉1，2個，或讓學(xué)生練習(xí)。（18）5.

給出并配以簡例說明數(shù)項級數(shù)的三個性質(zhì)。（10）6.敘述并推出級數(shù)收斂的必要條件。（10）9/27/202457.舉例4,5，例5的結(jié)論說明通項趨于零不是級數(shù)收斂的充分條件，要學(xué)生記住調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。再適當(dāng)補(bǔ)充舉例1，2。（15）

8.課堂練習(xí)：判別級數(shù)的斂散性：

1）2）（15）

9.小結(jié)，布置作業(yè)。（10）

9/27/20246第3,4課時：

6.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法

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教學(xué)目的：掌握正項級數(shù)的比較和比值判別法，掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，會判別絕對收斂和條件收斂。

教學(xué)重點：正項級數(shù)的比較審斂法和

比值審斂法。

教學(xué)難點：正項級數(shù)的比較審斂法。

9/27/20248

教學(xué)過程：1．?dāng)⑹稣椉墧?shù)定義，分析引出定理1，舉例1說明。（10）2.給出并說明比較審斂法，注意用一般項作比較，強(qiáng)調(diào)“小于收斂則收斂，大于發(fā)散則發(fā)散”〔學(xué)生往往用錯），指出比較對象：幾何級數(shù)，調(diào)和級數(shù)，P-級數(shù)等等；舉例2—5，要求學(xué)生掌握P-級數(shù)的審斂法?？裳a(bǔ)充2個例題，先讓學(xué)生思考，再與學(xué)生一起分析解答。（25）

9/27/202493．給出比值審斂法，復(fù)習(xí)一下兩個重要極限公式，羅必塔法則，再舉例7—9（ρ的三種不同情況），可補(bǔ)充1,2個例題，或讓學(xué)生練習(xí)。（25）4．舉例說明什么是交錯級數(shù)，說明萊布尼茲審斂法。舉例10，指出條件（2）是收斂的必要條件，但條件（1）不滿足，不能講該級數(shù)就一定發(fā)散。判別條件（1）有三種方法：差與0比較、比與1比較、一般項對n的導(dǎo)數(shù)與0比較。可適當(dāng)增加例題或讓學(xué)生練習(xí)。（15）9/27/2024105．先舉例說明定理5，再敘述絕對收斂和條件收斂的定義，然后舉相關(guān)例題。可補(bǔ)充交錯級數(shù)是絕對收斂的例題，也為判別某些收斂的交錯級數(shù)多了一個思路。（15）6．小結(jié)：判別級數(shù)斂散性有哪些方法，一般使用的先后次序。布置作業(yè)。（10）9/27/202411第5,6課時：

6.3冪級數(shù)9/27/202412

教學(xué)目的：掌握冪級數(shù)的概念及收斂半徑和收斂區(qū)間的求法，了解冪級數(shù)的性質(zhì)，會求簡單冪級數(shù)的和函數(shù)。

教學(xué)重點：冪級數(shù)的概念及收斂半徑和收斂區(qū)間的求法。教學(xué)難點：求冪級數(shù)的和函數(shù)。9/27/202413教學(xué)過程：1.先說明什么是冪級數(shù)及其一般形式，講清收斂（發(fā)散）點、域的概念；再講和函數(shù)的概念，用常見的等比級數(shù)舉例。（15）2.給出并說明阿貝爾定理，講敘冪級數(shù)收斂性的三種情形，指出收斂區(qū)間和收斂域的區(qū)別。（15）3.求收斂半徑的方法，定理2及證明。（10）.9/27/2024144.先舉例1,說明求收斂域的方法，可補(bǔ)充簡單的例題鞏固〔專升本考試范圍〕。其它例題求收斂區(qū)間為主，當(dāng)冪級數(shù)缺奇（偶）次項可用取絕對值，由比值審斂法求出其收斂區(qū)間，除例3外還可補(bǔ)充缺偶次項的例題。舉例4后讓學(xué)生記住：對的冪級數(shù)是如何求收斂區(qū)間的。

（20）

5.講解冪級數(shù)的性質(zhì)。（10）

9/27/202415

6.說明如何用逐項求導(dǎo)或逐項積分的方法求冪級數(shù)的和函數(shù)，舉例。使學(xué)生明白通過逐項求導(dǎo)或積分將級數(shù)轉(zhuǎn)化為可求和的幾何級數(shù)，再用逆運算求出和函數(shù)。習(xí)題中有二次逐項積分的情形說明一下。（15）7．補(bǔ)充例題或練習(xí)。（10）8．本課小結(jié)，布置作業(yè)。（5）

9/27/202416

第7,8課時：

6.4函數(shù)展開成冪級數(shù)9/27/202417

教學(xué)目的：了解泰勒級數(shù)的有關(guān)概念，熟悉幾個初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，會用間接法求較簡單函數(shù)的泰勒級數(shù)。

教學(xué)重點：用間接法將函數(shù)展開為冪級數(shù)。教學(xué)難點：將函數(shù)展開為冪級數(shù)。

9/27/202418教學(xué)過程：1．表敘泰勒公式和馬克勞林公式，舉例（15）2．說明什么是泰勒級數(shù)和馬克勞林級數(shù)，f（x）在點x處的泰勒級數(shù)與在點x處的泰勒展開式有什么不同。（本書提法與其它教材有異，參見同濟(jì)等教材）（10）3.如何把函數(shù)f（x）直接展開成x的冪級數(shù)，舉例。記住常用的展開式。（20）

9/27/2024194．舉例用間接法將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)，提醒不要忘寫收斂域。適當(dāng)補(bǔ)充例題，與習(xí)題中累似的題如：展開為（x—1）的冪級數(shù)：5.

練習(xí)：（25）

1）將f（x）=展開成x—3的冪級數(shù)；2）將f（x）=展開成x的冪級數(shù)。

（15）6．本次課小結(jié)。布置作業(yè)。

（10）

9/27/202420第9,10課時：

6.5周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)9/27/202421教學(xué)目的：掌握傅里葉系數(shù)及傅里葉級數(shù)公式和收斂定理，會將2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。

教學(xué)重點：2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。教學(xué)難點：2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。9/27/202422教學(xué)過程：1．內(nèi)容筒單介紹，學(xué)習(xí)要求；復(fù)習(xí)積分有關(guān)公式，再推證三角函數(shù)系的正交性。（20）2．用逐項積分及三角函數(shù)系的正交性推出傅里葉系數(shù)的公式。（20）

3．在復(fù)習(xí)間斷點類型的基礎(chǔ)上，給出并解釋收斂定理。說明f（x）的傅里葉級數(shù)與傅里葉展開式不是一回事。（10）9/27/2024234．舉例1，2后強(qiáng)調(diào)解題步驟，要求作出圖形、解題過程不查積分表、展開式后的收斂區(qū)間一定要寫。（30）課堂練習(xí)：將函數(shù)展為余弦級數(shù)。