初中數學++菱形的性質與判定+課件++北師大版九年級數學上冊

第一章特殊平行四邊形第1課時菱形的性質數學初中數學北師大版九年級上冊1菱形的性質與判定復習導入回憶一下，什么是平行四邊形，它有哪些性質？定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。復習導入性質：邊：平行四邊形的對邊平行且相等.角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補.對角線：平行四邊形的對角線互相平分.對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形.回憶一下，什么是平行四邊形，它有哪些性質？觀察平行四邊形圖形的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

——探究新知——

下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形，觀察這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與同伴交流。動手操作，兩人一組，將課前準備好的平行四邊形剪成菱形.探索并掌握菱形的定義測量折疊重合平行四邊形一組鄰邊相等菱形（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質。你能列舉一些這樣的性質嗎？想一想菱形的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分。（2）菱形還具有哪些特殊的性質？與同伴交流。想一想1.菱形的四條邊都相等.2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形是軸對稱圖形做一做用菱形紙片折一折，回答下列問題：（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關系？菱形是軸對稱圖形；有兩條對稱軸；兩條對稱軸互相垂直。做一做用菱形紙片折一折，回答下列問題：（2）菱形中有哪些相等的線段？菱形的四條邊相等。類比平行四邊形的性質，從邊、角、對角線、對稱性四方面有條理的將結論進行歸納.邊角對角線對稱性四條邊都相等對邊平行對角相等對角線互相垂直對角線互相平分每一條對角線平分一組對角既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相交于點O.求證:（1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.證明:（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD,AD=BC（菱形的對邊相等）.又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD.已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相交于點O.求證:（1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.又∵四邊形ABCD是菱形,（2）∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.∴OB=OD（菱形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABD中，∵OB=OD,∴AO⊥BD，即AC⊥BD.定理菱形的四條邊都相等.菱形的對角線互相垂直.例1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC

與BD相交于點O,∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長AB

和對角線AC的長。解：∵四邊形ABCD

是菱形，∴AB=AD（菱形的四條邊相等），AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），OB=OD=BD==3（菱形的對角線互相平分）.在等腰三角形

ABD

中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA=.∴AC=2OA=（菱形的對角線互相平分）1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD

相交于點O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長.【選自教材P4頁隨堂練習】

——達標檢測——

解：∵四邊形ABCD

是菱形，∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴BO=∵四邊形ABCD是菱形，∴BD=2BO=2×3=6（菱形的對角線互相平分）.∴BD

的長為6cm.1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD

相交于點O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長.【選自教材P4頁隨堂練習】

——達標檢測——

2.已知：如圖，在菱形ABCD

中，∠BAD=2∠B.求證：△ABC是等邊三角形.【選自教材P4頁習題1.1第1題】證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，又∵∠BAD=2∠B,∴∠B=60°，∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.3.如圖，在菱形ABCD

中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周長.【選自教材P4頁習題1.1第2題】證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直）AO=OC，BO=DO（菱形的對角線互相平分）.在Rt△AOD中，AO=4，DO=3，∴AD=5.∴菱形ABCD

的周長為20.4.已知：如圖，在菱形ABCD

中，對角線AC

與BD

相交于點O.求證：AC平分∠BAD和∠BCD，BD

平分∠ABC和∠ADC.【選自教材P4頁習題1.1第3題】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD

，BO=DO，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，同理：

AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.5.如圖，在菱形ABCD

中，對角線AC

與BD

相交于點O.圖中有多少個等腰三角形和直角三角形？【選自教材P5頁習題1.1第4題】有4個等腰三角形，分別是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD.有4個直角三角形，分別是△AOB、△AOD、△BOC、△COD.

——課堂小結——

有一組鄰邊相等具有平行四邊形的所有性質特殊性質對角線邊軸對稱圖形第一章特殊平行四邊形第1課時菱形的性質數學初中數學北師大版九年級上冊1菱形的性質與判定菱形的定義和性質？說一說復習導入定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.邊：四條邊相等，對邊平行.角：對角相等.對角線：對角線互相垂直平分.復習導入菱形平行四邊形滿足？條件探究新知根據菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.除此之外，你認為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形？先想一想，再與同伴交流.菱形平行四邊形滿足？條件對角線邊角探究菱形的判定條件平行四邊形的對角線滿足什么條件時，它就是菱形了？猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明嗎？已知:如圖,在□ABCD中,對角線AC與BD交于點O,AC⊥BD.求證:

□ABCD是菱形證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC又∵AC⊥BD∴BD是線段AC的垂直平分線∴BA=BC∴四邊形ABCD是菱形(菱形定義)定理對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形。已知線段AC，你能用尺規(guī)作圖的方法作一個菱形ABCD，使AC為菱形的一條對角線嗎？議一議如圖，分別以A，C

為圓心，以大于AC

為半徑作弧，兩弧交于B、D，依次連接A，B，C，D，四邊形ABCD

看上去是菱形.菱形平行四邊形滿足？條件對角線邊角探究菱形的判定條件平行四邊形的邊滿足什么條件時，它就是菱形了？猜想：四邊相等的四邊形是菱形.已知：如圖，在四邊形ABCD

中AB=BC=CD=DA,求證：四邊形ABCD

是菱形。證明：∵AB=CD，BC=DA,∴四邊形ABCD

是平行四邊形，又∵AB=BC，∴四邊形ABCD

是菱形（菱形的定義）定理四邊相等的四邊形是菱形.∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形。做一做你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎？動手試一試！例2已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD

相交于點O，AB=，OA=2，OB=1.求證：□ABCD是菱形.證明：在△AOB

中，∵AB=，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形（對角線垂直的平行四邊形是菱形）.1.畫一個菱形，使它的兩條對角線的長分別為4cm和6cm.[教材P7隨堂練習]達標檢測（1）作AC=6cm，取AC的中點O,（2）作BD⊥AC，OB=OD=2cm，（3）依次連接點A，B，C，D.2.已知：如圖，在□ABCD中，對角線AC

的垂直平分線分別與AD，AC，BC相交于點E，O，F(xiàn).求證：四邊形AFCE

是菱形.[教材P7習題1.2第1題]證明：在□ABCD中，AD∥BC，即AE∥FC.又∵EF為AC的垂直平分線，∴AC⊥EF，AO=OC，即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.∴四邊形AFCE

為平行四邊形.又∵AC⊥EF，∴四邊形AFCE

是菱形.3.已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與

BD相交于點O

，點E，F(xiàn)，G，H

分別是OA，OB，OC，OD

的中點.求證：四邊形EFGH

是菱形.[教材P7習題1.2第2題]證明：∵四邊形ABCD

是菱形，∴AD

CB，AC⊥BD.又點E，F(xiàn)，G，H

分別為OA，OB，OC，OD

的中點，∴HE∥AD且

HE=AD，F(xiàn)G∥BC且FG=BC，∴HE

GF，即四邊形EFGH為平行四邊形.又∵AC⊥BD，∴四邊形EFGH

是菱形.∥=∥=4.如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C′處，折痕DE交BC于點E，連接C′E.你能確定四邊形CDC′E的形狀嗎？證明你的結論.[教材P7習題1.2第3題]四邊形CDC′E

是菱形.證明：連接CC′，交DE

于點O.由題意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，∴△COE≌△C′OD，即EC=C′D.又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，∴四邊形CDC′E

是菱形.課堂小結菱形的判定定理菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四邊相等的四邊形是菱形.第一章特殊平行四邊形第1課時菱形的性質數學初中數學北師大版九年級上冊1菱形的性質與判定情景導入如圖所示：在□ABCD中添加一個條件使其成為菱形：添加方式1：_________________

.添加方式2：_________________

.一組鄰邊相等AC⊥BD☆回憶：菱形有哪些判定？對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四邊相等的四邊形是菱形.新課導入例3如圖，四邊形ABCD

是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD

長為10cm.求：(1)對角線AC

的長度；(2)菱形ABCD

的面積.解：(1)∵四邊形ABCD

是菱形，AC

與BD

相交于點E，∴∠AED=90°（菱形對角線互相垂直），DE=BD=×10=5（cm）（菱形對角線互相平分）.∴AE===12（cm）.∴AC=2AE=2×12=24（cm）（菱形的對角線互相平分）.(2)菱形ABCD

的面積=△ABD

的面積+△CBD

的面積=2×△ABD

的面積=2××BD×AE=2××10×12=120（cm2）.如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分ABCD是菱形嗎？為什么？做一做證明：∵等寬紙條對邊平行，∴AD∥BC，

AB∥CD，∴□ABCD

是平行四邊形，從A點作AM⊥DC交于點M,作AN⊥BC交于點N,∵是兩張等寬的紙，∴AM=AN.∵□ABCD是平行四邊形，∴∠ABN=∠ADM，∵AM⊥DC

，AN⊥BC，∴∠ANB=∠AMD=90°，∴△ABN≌△ADM，∴AB=AD,∴四邊形ABCD

是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）如圖你能用一張銳角三角形紙片ABC

折出一個菱形，使∠A成為菱形一個內角嗎？先沿著紅色線對折，使AB與AC重合；再沿著藍色線對折；最后沿著綠色線對折。【選自教材P9隨堂練習第1題】達標檢測1.菱形ABCD

的周長為40cm，它的一條對角線BD

長10cm.（1）求這個菱形的每一個內角的度數；（2）求這個菱形另一條對角線的長.解：（1）∵菱形ABCD

的周長為40cm，∴AB=BC=CD=DA=10（cm）,又∵BD=10（cm），∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BCD=60°，∠ABC=∠CDA=120°.【選自教材P9隨堂練習第1題】1.菱形ABCD

的周長為40cm，它的一條對角線BD

長10cm.（1）求這個菱形的每一個內角的度數；（2）求這個菱形另一條對角線的長.（2）∵△AEB是直角三角形，AB=10（cm），BE=5（cm），AE===（cm）.AC=2AE=（cm）【選自教材P9隨堂練習第2題】2.已知，如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，BC

的垂直平分線分別交BC和AB

于點D、E，點F

在DE延長線上，且AF=CE,求證：四邊形ACEF

是菱形.證明：由題意知，∠BCA=90°，∠BAC=60°.又∵

DE為

BC垂直平分線，∴DF∥AC，∠ECD=∠B=30°，即∠ECA=60°，∴CA=CE=AE.又∵AF=CE，∴AF=AE.∵∠FEA=∠EAC=60°=∠F，∴EF=AF=AE，∴AF=EF=CE=CA，∴四邊形ACEF

是菱形.【選自教材P9習題1.3第1題】3.已知：如圖，在菱形

ABCD中，E、F分別是AB和BC

上的點，且BE=BF，求證：(1)△ADE≌CDF；(2)∠DEF=∠DFE.證明:(1)在菱形ABCD中,∠C=∠A,AD=DC=BC=AB.∵BE=BF,∴AE=CF,

∴△ADE≌△CDF.(2)由(1)可知,DE=DF.∴∠DEF=∠DFE.【選自教材P9習題1.3第2題】4.證明：菱形的