高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專題3第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列(學(xué)生版+解析)

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1·qn－1.(3)等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d；(4)等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)《周髀算經(jīng)》中有一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影長(zhǎng)的和為37.5尺，芒種的日影長(zhǎng)為4.5尺，則冬至的日影長(zhǎng)為()A．15.5尺B．12.5尺C．10.5尺D．9.5尺(2)已知點(diǎn)(n，an)在函數(shù)f(x)＝2x－1的圖象上(n∈N*)．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.則Tn的最小值為________．【拓展訓(xùn)練】1(1)(2020·全國(guó)Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于()A．2B．3C．4D．5(2)(多選)(2020·威海模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則()A．d<0B．a(chǎn)16<0C．Sn≤S15D．當(dāng)且僅當(dāng)n≥32時(shí)，Sn<0【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)1．通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對(duì)于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對(duì)于等比數(shù)列有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n項(xiàng)和的性質(zhì)：(1)對(duì)于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外)．(2)對(duì)于等差數(shù)列，有S2n－1＝(2n－1)an.【熱點(diǎn)突破】【典例】2(1)已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，若a5＋a7－aeq\o\al(2,6)＝0，則S11的值為()A．11B．12C．20D．22(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,1＋x2)(x∈R)，若等比數(shù)列{an}滿足a1a2020＝1，則f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2020)等于()A．2020B．1010C．2D.eq\f(1,2)【拓展訓(xùn)練】2(1)(2020·全國(guó)Ⅰ)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8等于()A．12B．24C．30D．32(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S30＝130，則S40等于()A．－510 B．400C．400或－510 D．30或40【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的探索與證明等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項(xiàng)法an＝a1＋(n－1)dan＝a1·qn－1中項(xiàng)法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項(xiàng)和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．【熱點(diǎn)突破】【典例】3(2019·全國(guó)Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．【拓展訓(xùn)練】3已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是不是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)求{an}的通項(xiàng)公式．專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，若a3＝2，a7＝8，則a5等于()A．4B．－4C．±4D．52．(2020·全國(guó)Ⅱ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)等于()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－13．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1＝b1，a11＝b11.那么一定有()A．a(chǎn)6≤b6B．a(chǎn)6≥b6C．a(chǎn)12≤b12D．a(chǎn)12≥b124．在數(shù)列{an}中，a1＝2，eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，則an等于()A．2＋nlnn B．2n＋(n－1)lnnC．2n＋nlnn D．1＋n＋nlnn5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a2＝2，且對(duì)于任意n>1，n∈N*，滿足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，則()A．a(chǎn)9＝17B．a(chǎn)10＝19C．S9＝81D．S10＝916.侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是m，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度(蜘蛛網(wǎng)中正方形的周長(zhǎng)之和)為Sn，則()A．Sn無(wú)限大 B．Sn<3(3＋eq\r(5))mC．Sn＝3(3＋eq\r(5))m D．Sn可以取100m二、多項(xiàng)選擇題7．(2020·廈門模擬)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋3a5＝S7，則以下結(jié)論一定正確的是()A．a(chǎn)4＝0 B．Sn的最大值為S3C．S1＝S6 D．|a3|<|a5|8．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，記{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則下列選項(xiàng)中正確的是()A．0<q<1 B．a(chǎn)6>1C．T12>1 D．T13>1三、填空題9．(2020·江蘇)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，則d＋q的值是________．10．(2020·北京市順義區(qū)質(zhì)檢)設(shè)Sn為公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且3a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則q＝________，eq\f(S4,S2)＝________.11．(2020·濰坊模擬)九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲．在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個(gè)圓環(huán)所需移動(dòng)的最少次數(shù)，{an}滿足a1＝1，且an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an－1－1n為偶數(shù)，,2an－1＋2n為奇數(shù)，))則解下5個(gè)圓環(huán)需最少移動(dòng)________次．12．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為eq\f(3,2)，公比為－eq\f(1,2)，前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，都有A≤2Sn－eq\f(1,Sn)≤B恒成立，則B－A的最小值為________．四、解答題13．(2020·聊城模擬)在①a5＝b3＋b5，②S3＝87，③a9－a10＝b1＋b2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，________，a1＝b6，若對(duì)于任意n∈N*都有Tn＝2bn－1，且Sn≤Sk(k為常數(shù))，求正整數(shù)k的值．14．已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列，數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為eq\f(2n－1·3n＋1,2).(1)分別求出數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和為Sn，任意n∈N*，Sn≤m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1·qn－1.(3)等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d；(4)等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))【熱點(diǎn)突破】【典例】1(1)《周髀算經(jīng)》中有一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影長(zhǎng)的和為37.5尺，芒種的日影長(zhǎng)為4.5尺，則冬至的日影長(zhǎng)為()A．15.5尺B．12.5尺C．10.5尺D．9.5尺【答案】A【解析】從冬至起，十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次記為a1，a2，a3，…，a12，由題意，有a1＋a4＋a7＝37.5，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得a4＝12.5，而a12＝4.5，設(shè)公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝12.5，,a1＋11d＝4.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝15.5，,d＝－1，))所以冬至的日影長(zhǎng)為15.5尺．(2)已知點(diǎn)(n，an)在函數(shù)f(x)＝2x－1的圖象上(n∈N*)．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.則Tn的最小值為________．【答案】－30【解析】∵點(diǎn)(n，an)在函數(shù)f(x)＝2x－1的圖象上，∴an＝2n－1(n∈N*)，∴{an}是首項(xiàng)為a1＝1，公比q＝2的等比數(shù)列，∴Sn＝eq\f(1×1－2n,1－2)＝2n－1，則bn＝＝2n－12(n∈N*)，∴{bn}是首項(xiàng)為－10，公差為2的等差數(shù)列，∴Tn＝－10n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2－11n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))2－eq\f(121,4).又n∈N*，∴Tn的最小值為T5＝T6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－eq\f(121,4)＝－30.規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題的求解策略(1)抓住基本量，首項(xiàng)a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．【拓展訓(xùn)練】1(1)(2020·全國(guó)Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于()A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，則an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2×2n－1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴eq\f(2k＋11－210,1－2)＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.(2)(多選)(2020·威海模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則()A．d<0B．a(chǎn)16<0C．Sn≤S15D．當(dāng)且僅當(dāng)n≥32時(shí)，Sn<0【答案】ABC【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S10＝S20，得10a1＋eq\f(10×9,2)d＝20a1＋eq\f(20×19,2)d，化簡(jiǎn)得a1＝－eq\f(29,2)d.因?yàn)閍1>0，所以d<0，故A正確；因?yàn)閍16＝a1＋15d＝－eq\f(29,2)d＋15d＝eq\f(1,2)d，又d<0，所以a16<0，故B正確；因?yàn)閍15＝a1＋14d＝－eq\f(29,2)d＋14d＝－eq\f(1,2)d>0，a16<0，所以S15最大，即Sn≤S15，故C正確；Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(nn－30,2)d，若Sn<0，又d<0，則n>30，故當(dāng)且僅當(dāng)n≥31時(shí)，Sn<0，故D錯(cuò)誤．【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)1．通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對(duì)于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對(duì)于等比數(shù)列有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n項(xiàng)和的性質(zhì)：(1)對(duì)于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外)．(2)對(duì)于等差數(shù)列，有S2n－1＝(2n－1)an.【熱點(diǎn)突破】【典例】2(1)已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，若a5＋a7－aeq\o\al(2,6)＝0，則S11的值為()A．11B．12C．20D．22【答案】D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a5＋a7＝2a6＝aeq\o\al(2,6)，又該數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，可得a6＝2，所以由S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，可得S11＝S2×5＋1＝11a6＝22.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,1＋x2)(x∈R)，若等比數(shù)列{an}滿足a1a2020＝1，則f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2020)等于()A．2020B．1010C．2D.eq\f(1,2)【答案】A【解析】∵a1a2020＝1，∴f(a1)＋f(a2020)＝eq\f(2,1＋a\o\al(2,1))＋eq\f(2,1＋a\o\al(2,2020))＝eq\f(2,1＋a\o\al(2,1))＋eq\f(2,1＋\f(1,a\o\al(2,1)))＝eq\f(2,1＋a\o\al(2,1))＋eq\f(2a\o\al(2,1),1＋a\o\al(2,1))＝2，∵{an}為等比數(shù)列，則a1a2020＝a2a2019＝…＝a1010a1011＝1，∴f(a2)＋f(a2019)＝2，…，f(a1010)＋f(a1011)＝2，即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2020)＝2×1010＝2020.規(guī)律方法等差、等比數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題的求解策略(1)抓關(guān)系，抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解．(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．【拓展訓(xùn)練】2(1)(2020·全國(guó)Ⅰ)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8等于()A．12B．24C．30D．32【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝eq\f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝eq\f(2,1)＝2，所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S30＝130，則S40等于()A．－510 B．400C．400或－510 D．30或40【答案】B【解析】∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比數(shù)列，∴10×(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40或S20＝－30(舍)，故S40－S30＝270，∴S40＝400.【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的探索與證明等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項(xiàng)法an＝a1＋(n－1)dan＝a1·qn－1中項(xiàng)法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項(xiàng)和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．【熱點(diǎn)突破】【典例】3(2019·全國(guó)Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．(1)證明由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝eq\f(1,2)(an＋bn)．因?yàn)閍1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(2)解由(1)知，an＋bn＝eq\f(1,2n－1)，an－bn＝2n－1.所以an＝eq\f(1,2)[(an＋bn)＋(an－bn)]＝eq\f(1,2n)＋n－eq\f(1,2)(n∈N*)，bn＝eq\f(1,2)[(an＋bn)－(an－bn)]＝eq\f(1,2n)－n＋eq\f(1,2)(n∈N*)．易錯(cuò)提醒a(bǔ)eq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.【拓展訓(xùn)練】3已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是不是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)求{an}的通項(xiàng)公式．解(1)由條件可得an＋1＝eq\f(2n＋1,n)an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．理由如下：由條件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1(n∈N*)．專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，若a3＝2，a7＝8，則a5等于()A．4B．－4C．±4D．5【答案】A【解析】∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＝2，a7＝8，∴aeq\o\al(2,5)＝a3·a7＝2×8＝16，則a5＝±4，∵等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，∴a5＝4.2．(2020·全國(guó)Ⅱ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)等于()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1【答案】B【解析】方法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝eq\f(a6－a4,a5－a3)＝eq\f(24,12)＝2.由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n－1，所以eq\f(Sn,an)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n.方法二設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3q2－a3＝12，①,a4q2－a4＝24，②))eq\f(②,①)得eq\f(a4,a3)＝q＝2.將q＝2代入①，解得a3＝4.所以a1＝eq\f(a3,q2)＝1，下同方法一．3．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1＝b1，a11＝b11.那么一定有()A．a(chǎn)6≤b6B．a(chǎn)6≥b6C．a(chǎn)12≤b12D．a(chǎn)12≥b12【答案】B【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1＝b1，a11＝b11，所以a1＋a11＝b1＋b11＝2a6，所以a6＝eq\f(a1＋a11,2)＝eq\f(b1＋b11,2)≥eq\r(b1b11)＝b6.當(dāng)且僅當(dāng)b1＝b11時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)數(shù)列{bn}的公比為1.4．在數(shù)列{an}中，a1＝2，eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，則an等于()A．2＋nlnn B．2n＋(n－1)lnnC．2n＋nlnn D．1＋n＋nlnn【答案】C【解析】由題意得eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝ln(n＋1)－lnn，n分別用1,2,3，…，n－1(n≥2)取代，累加得eq\f(an,n)－eq\f(a1,1)＝lnn－ln1，即eq\f(an,n)＝2＋lnn，即an＝2n＋nlnn(n≥2)，又a1＝2符合上式，故an＝2n＋nlnn.5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a2＝2，且對(duì)于任意n>1，n∈N*，滿足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，則()A．a(chǎn)9＝17B．a(chǎn)10＝19C．S9＝81D．S10＝91【答案】D【解析】∵對(duì)于任意n>1，n∈N*，滿足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2.∴數(shù)列{an}在n>1，n∈N*時(shí)是等差數(shù)列，公差為2，又a1＝1，a2＝2，an＝2＋(n－2)×2＝2n－2(n>1，n∈N*)，∴a9＝2×9－2＝16，a10＝2×10－2＝18，S9＝1＋8×2＋eq\f(8×7,2)×2＝73，S10＝1＋9×2＋eq\f(9×8,2)×2＝91.故選D.6.侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是m，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度(蜘蛛網(wǎng)中正方形的周長(zhǎng)之和)為Sn，則()A．Sn無(wú)限大 B．Sn<3(3＋eq\r(5))mC．Sn＝3(3＋eq\r(5))m D．Sn可以取100m【答案】B【解析】由題意可得，外圍第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)m))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m))2)＝eq\f(\r(5),3)m；外圍第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(\r(5),3)m))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(5),3)m))2)＝eq\f(5,9)m；……外圍第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)))n－1m.所以蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度Sn＝4meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(5),3)＋\f(5,9)＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)))n－1))＝4m×eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)))n,1－\f(\r(5),3))<4m×eq\f(1,1－\f(\r(5),3))＝3(3＋eq\r(5))m.故選B.二、多項(xiàng)選擇題7．(2020·廈門模擬)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋3a5＝S7，則以下結(jié)論一定正確的是()A．a(chǎn)4＝0 B．Sn的最大值為S3C．S1＝S6 D．|a3|<|a5|【答案】AC【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，則an＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正確；因?yàn)镾6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正確；由于d的取值情況不清楚，故S3可能為最大值也可能為最小值，故B不正確；因?yàn)閍3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D錯(cuò)誤．8．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，記{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則下列選項(xiàng)中正確的是()A．0<q<1 B．a(chǎn)6>1C．T12>1 D．T13>1【答案】ABC【解析】由于等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，所以(a6－1)(a7－1)<0，由題意得a6>1，a7<1，所以0<q<1，A，B正確；因?yàn)閍6a7＋1>2，所以a6a7>1，T12＝a1·a2·…·a11·a12＝(a6a7)6>1，T13＝aeq\o\al(13,7)<1，所以滿足Tn>1的最大正整數(shù)n的值為12，C正確，D錯(cuò)誤．三、填空題9．(2020·江蘇)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，則d＋q的值是________．【答案】4【解析】由題意知q≠1，所以Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＋eq\f(b11－qn,1－q)＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＋eq\f(b1,1－q)－eq\f(b1qn,1－q)＝n2－n＋2n－1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)＝1，,a1－\f(d,2)＝－1，,\f(b1,1－q)＝－1，,－\f(b1,1－q)qn＝2n，))解得d＝2，q＝2，所以d＋q＝4.10．(2020·北京市順義區(qū)質(zhì)檢)設(shè)Sn為公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且3a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則q＝________，eq\f(S4,S2)＝________.【答案】310【解析】設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1，又因?yàn)?a1,2a2，a3成等差數(shù)列，所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2，解得q＝3或q＝1(舍)，eq\f(S4,S2)＝eq\f(\f(a11－34,1－3),\f(a11－32,1－3))＝eq\f(1－34,1－32)＝10.11．(2020·濰坊模擬)九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲．在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個(gè)圓環(huán)所需移動(dòng)的最少次數(shù)，{an}滿足a1＝1，且an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an－1－1n為偶數(shù)，,2an－1＋2n為奇數(shù)，))則解下5個(gè)圓環(huán)需最少移動(dòng)________次．【答案】16【解析】因?yàn)閍5＝2a4＋2＝2(2a3－1)＋2＝4a3，所以a5＝4a3＝4(2a2＋2)＝8a2＋8＝8(2a1－1)＋8＝16a1＝16，所以解下5個(gè)圓環(huán)需最少移動(dòng)的次數(shù)為16.12．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為eq\f(3,2)，公比為－eq\f(1,2)，前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，都有A≤2Sn－eq\f(1,Sn)≤B恒成立，則B－A的最小值為________．【答案】eq\f(13,6)【解析】∵等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為eq\f(3,2)，公比為－eq\f(1,2)，∴Sn＝eq\f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)),1＋\f(1,2))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，則－eq\f(1,2)≤t≤eq\f(1,4)，Sn＝1－t，∴eq\f(3,4)≤Sn≤eq\f(3,2)，∴2Sn－eq\f(1,Sn)的最小值為eq\f(1,6)，最大值為eq\f(7,3)，又A≤2Sn－eq\f(1,Sn)≤B對(duì)任意n∈N*恒成立，∴B－A的最小值為eq\f(7,3)－eq\f(1,6)＝eq\f(13,6).四、解答題13．(2020·聊城模擬)在①a5＝b3＋b5，②S3＝87，③a9－a10＝b1＋b2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，________，a1＝b6，若對(duì)于任意n∈N