高二數學舉一反三系列(人教A版2019選擇性必修第一冊)專題1.9空間向量與立體幾何全章綜合測試卷(提高篇)專項練習(原卷版+解析)

第一章空間向量與立體幾何全章綜合測試卷（提高篇）【人教A版（2019）】考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時120分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）在以下命題中：①三個非零向量a，b，c不能構成空間的一個基底，則a，b，c共面；②若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則a，b共線；③對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA?2OB?2OC，則P，④若a，b是兩個不共線的向量，且c=λa+μ⑤若a,b,c為空間的一個基底，則A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）（2023·全國·高三專題練習）已知MN是棱長為4的正方體內切球的一條直徑，點P在正方體表面上運動，則PM?PN的最大值為(A．4 B．12 C．8 D．63．（5分）（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a，其中0<a<22．則MN的長的最小值為（

A．2 B．22 C．32 4．（5分）（2023春·浙江溫州·高二校聯考期中）點A在線段BC上（不含端點），O為直線BC外一點，且滿足OA?aOB?2bOC=A．97 B．95 C．875．（5分）（2023春·高二課時練習）設空間兩個單位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p與向量OC=A．2?34 C．2?34或2+34 6．（5分）（2023春·高二課時練習）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，側面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC(0<k<1)，則()A．當k=12時，平面BPCB．當k=12時，平面APDC．對任意k∈(0,1)，直線PA與底面ABCD都不垂直D．存在k∈(0,1)，使直線PD與直線AC垂直7．（5分）（2023·陜西咸陽·?？寄M預測）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD?A1B

A．當P在平面BCC1BB．當P在線段AC上運動時，D1P與AC．使直線AP與平面ABCD所成的角為45o的點P的軌跡長度為D．若F是A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF//平面B18．（5分）（2023秋·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C①三棱錐P?A1BD中，點P到面②過點P且平行于面A1BD的平面被正方體ABCD?③直線PA1與面A④當點P為B1D1中點時，三棱錐以上命題為真命題的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023·高二單元測試）已知空間向量m=?1,2,5,A．當m⊥n時，x=2 B．當mC．當m+n=5時，x=?4 10．（5分）（2023·全國·高二專題練習）在自然界中，金剛石是天然存在的最硬的物質．如圖1，這是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結構示意圖，組成金剛石的每個碳原子都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來看，可以認為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說，圖2中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面體ABCD的棱長為4，則（

）

A．DE＝869 B．EA＋EB＋ECC．AE?BC＝0 D．11．（5分）（2023·全國·高三專題練習）已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，以正方體中心A．球O在正方體外部分的體積為2B．若點P在球O的正方體外部（含正方體表面）運動，則PAC．若點P在平面ABCD下方，則直線AP與平面A1BD．若點P?M?N在球O的正方體外部（含正方體表面）運動，則PM?PN12．（5分）（2023春·福建莆田·高二校考期中）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，M為側面A．若BM＝52，則M到直線B．若B1N⊥AC1，則N∈CC．若M∈A1D，則B1D．若M∈A1D，N∈CD1，則三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點坐標分別為A(1,1,1)，B(0,3,0)，C(?2,?1,4)，點P(?3,x,1)在平面ABC內，則實數x的值為．14．（5分）（2023春·高二課時練習）已知向量a=1,1,0，b=m,0,2，cosa,b=?1015．（5分）（2023春·江蘇常州·高二校聯考期中）一種糖果的包裝紙由一個邊長為6的正方形和2個等腰直角三角形組成（如圖1），沿AD，BC將2個三角形折起到與平面ABCD垂直（如圖2），連接EF，AE，CF，AC，若點P滿足DP=xDA+yDC+zDF且x+y+z=1，則16．（5分）（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在BD上，點①當點E是BD中點時，直線EF//平面DC②當DE=2EB時，EF⊥BD；③直線EF分別與直線BD，B1④直線EF與平面ABCD所成的角最大為π6四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知正方體ABCD?A′B′C′D′，E，F分別是上底面（1）AC（2）AE（3）AF18．（12分）（2023春·四川成都·高二校聯考期中）已知空間向量a=(1,0,1(1)若(a+b(2)若ka+b與219．（12分）（2023·江蘇·高二專題練習）棱長為2的正方體中，E、F分別是DD1、DB的中點，G在棱CD上，且CG=13CD(1)求證：EF⊥B(2)求cos<(3)求FH的長．20．（12分）（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┤鐖D1，邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB=120°，E，O，F分別是AB，BD，CD的中點.現沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，連接AC，如圖2.(1)求cos∠EOF(2)若過E，O，F三點的平面交AC于點G，求四棱錐A?OEGF的體積.21．（12分）（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是邊長為2的等邊三角形，CC1=2,D,E

(1)求證：A1C⊥平面(2)若點F為棱B1C1的中點，求點F(3)若點F為線段B1C122．（12分）（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）如圖，四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，上?下底面均是正方形，且側面是全等的等腰梯形，AB=2A(1)求證：BD1∥平面(2)求點A1到平面C(3)邊BC上是否存在點M，使得直線A1M與平面C1EF所成的角的正弦值為

第一章空間向量與立體幾何全章綜合測試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）在以下命題中：①三個非零向量a，b，c不能構成空間的一個基底，則a，b，c共面；②若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則a，b共線；③對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA?2OB?2OC，則P，④若a，b是兩個不共線的向量，且c=λa+μ⑤若a,b,c為空間的一個基底，則A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】直接利用空間基底，共面向量，共線向量的基礎知識的應用求出結果．【解答過程】空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底.①根據空間基底的定義，三個非零向量a，b，c不能構成空間的一個基底，則a，b，c共面；故命題①正確．②由空間基底的定義，若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則a，b共線，若a，b不共線，則a，b共面，一定有向量與a，b不共面；故命題②正確．③對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，當OP=2OA?2OB?2OC時，若P，A，B，C四點共面，則AP=λAB+μAC，OP?OA=λOB?④若a，b是兩個不共線的向量，且c=λa+μb(λ,μ∈R,λ,μ≠0)，則向量c與a，b⑤利用反證法：若{a設a+b=x(b+c)+y(c+a)(x,y∈R)，當x+y=0，a與b共線，真命題有3個.故選：D.2．（5分）（2023·全國·高三專題練習）已知MN是棱長為4的正方體內切球的一條直徑，點P在正方體表面上運動，則PM?PN的最大值為(A．4 B．12 C．8 D．6【解題思路】設正方體內切球的球心為O，則OM=?ON，PM?PN=【解答過程】設正方體內切球的球心為O，則OM=ON=2∴PM?PN=又點P在正方體表面上運動，∴當P為正方體頂點時，OP最大，且最大值為正方體體對角線的一半，OPmax=12×3×4故選：C.3．（5分）（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a，其中0<a<22．則MN的長的最小值為（

A．2 B．22 C．32 【解題思路】根據面面垂直性質可證得BC⊥平面ABEF，則以B為坐標原點可建立空間直角坐標系；利用空間中兩點間距離公式可表示出MN；將MN整理為a?2【解答過程】∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面ABEF，則以B為坐標原點，BA,BE,則A2,0,0，C0,0,2，F2,2,0∵CM=BN=a，∴Ma2,0,2?∴MN=2則MN=a∴當a=2時，MN最小，最小值為2故選：A.4．（5分）（2023春·浙江溫州·高二校聯考期中）點A在線段BC上（不含端點），O為直線BC外一點，且滿足OA?aOB?2bOC=A．97 B．95 C．87【解題思路】根據平面向量共線定理推論可得a+2b=1且a>0,b>0，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【解答過程】因為OA?aOB?2b又點A在線段BC上（不含端點），所以a+2b=1，且a>0,b>0，則2+a+2+2b=5，所以2==1當且僅當2(2+a)2+2b=2(2+2b)故23a+4b+1故選：D.5．（5分）（2023春·高二課時練習）設空間兩個單位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p與向量OC=A．2?34 C．2?34或2+34 【解題思路】首先根據OA為單位向量得到m2+n2=1，再利用OA與OC的夾角等于π4，得【解答過程】∵空間兩個單位向量OA=m,n,0，OB=0,n,p與向量∴∠AOC=∠BOC=π4，∵OA又OA?OC=m+n又OA為單位向量，∴m聯立m+n=62m2+∵OA=m,n,0，∴cos故選：C.6．（5分）（2023春·高二課時練習）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，側面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC(0<k<1)，則()A．當k=12時，平面BPCB．當k=12時，平面APDC．對任意k∈(0,1)，直線PA與底面ABCD都不垂直D．存在k∈(0,1)，使直線PD與直線AC垂直【解題思路】通過作輔助線，證明MP⊥平面PBC，從而證明平面BPC⊥平面PCD，可判斷A正確；利用反證的方法說明B;根據線面垂直的判定說明C;利用向量的數量積的計算說明D.【解答過程】對于A,延長BA，CD交于M點，連接MP，則BM=2AB，

A是BM的中點，AP=1∴MP⊥PB，又∵側面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，∴BC⊥平面PBM，可得BC⊥MP，PB∩BC=B,PB,BC?平面PBC,故MP⊥平面PBC，∵MP?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD,故A正確；設平面平面APD和平面PCD的交線為l，AD∥BC,AD?故BC∥平面APD，則BC∥l若平面APD⊥平面PCD，則l⊥平面PCD，則AD⊥平面PCD，即有AD⊥DC,與題意矛盾，故B錯誤；對于C，當PA⊥AB時，由于側面PAB⊥底面ABCD，交線為AB,故直線PA與底面ABCD垂直，故C錯誤；對于D，AB⊥BC，側面PAB⊥底面ABCD，故BC⊥側面PAB,設PA,AB的夾角為θ，假設存在k∈(0,1)，使直線PD與直線則PD?=k即k2cosθ+k=0,k=?1cos故選：A.7．（5分）（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD?A1B

A．當P在平面BCC1BB．當P在線段AC上運動時，D1P與AC．使直線AP與平面ABCD所成的角為45o的點P的軌跡長度為D．若F是A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF//平面B1【解題思路】由底面正方形ADD1A1的面積不變，點以D為原點，建立空間直角坐標系，設P(x,2?x,0)，則D1由直線AP與平面ABCD所成的角為45°，作PM⊥平面ABCD，得到點P設P(m,m,0)，求得平面CB1D1的一個法向量為【解答過程】對于A中：底面正方形ADD1A1的面積不變，點所以四棱錐P?AA對于B中：以D為原點，DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系，可得設P(x,2?x,0),0≤x≤2，則D1設直線D1P與A1C1因為0≤x?1≤1，當x?1=0時，可得cos當0<x?1≤1時，cosθ=所以異面直線D1P與A1

對于C中：因為直線AP與平面ABCD所成的角為45°若點P在平面DCC1D因為∠B在平面ADD1A1內，點在平面ABB1A1內，點在平面A1B1C1因為∠PAM=45°，所以PM=AM，又因為PM=AB，所以AM=AB，所以所以點P的軌跡是以A1所以點P的軌跡的長度為14綜上，點P的軌跡的總長度為π+4

對于D中，由B1設P(m,n,0),0≤m≤2,0≤n≤2，則CB設平面CB1D1的一個法向量為取a=1，可得b=?1,c=?1，所以n=(1,?1,?1)因為PF//平面B1CD，所以FP?所以FP=當x=1時，等號成立，所以D錯誤.故選：D.

8．（5分）（2023秋·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C①三棱錐P?A1BD中，點P到面②過點P且平行于面A1BD的平面被正方體ABCD?③直線PA1與面A④當點P為B1D1中點時，三棱錐以上命題為真命題的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】建立空間直角坐標系，對于①③用空間向量求解；對于②可證明三角形B1D1C為截面多邊形，求其面積即可；對于④設球心【解答過程】以A為坐標原點，分別以AB，AD，A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A1A1設B1則AP=所以P(2?t,t,2)(0≤t≤2)設面A1BD的一個法向量為則n令x1=1得對于①：P到平面A1BD的距離為對于②：連接B1C,D∴BD//B1D1，又BD?面A∴B1D同理可證B1C//又B1D1∩B所以過點P且平行于面A1BD的平面被正方體ABCD?A它是邊長為22的等邊三角形，故面積為3對于③：設直線PA1與面A1BD所成角為∵0≤t≤2,∴t2?2t+2∈[1,2]所以直線PA1與面A1對于④：當點P為B1D1中點時P(1,1,2)，設三棱錐P?∵O∴x02解得x0所以外接球半徑R滿足：R2三棱錐P?A1BD綜上：①②③④均正確.故選：D.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023·高二單元測試）已知空間向量m=?1,2,5,A．當m⊥n時，x=2 B．當mC．當m+n=5時，x=?4 【解題思路】對于A，利用空間向量垂直的坐標表示即可判斷；對于B，利用空間向量平行的性質即可判斷；對于C，先根據空間向量運算法則計算出m+【解答過程】對于A，因為m⊥n，所以m·n=對于B，因為m//n，所以存在λ∈R則?1,2,5=λ2,?4,x=2λ,?4λ,λx，即對于C，因為m+所以m+n=對于D，因為x=10，則m所以cosm故選：ABD.10．（5分）（2023·全國·高二專題練習）在自然界中，金剛石是天然存在的最硬的物質．如圖1，這是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結構示意圖，組成金剛石的每個碳原子都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來看，可以認為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說，圖2中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面體ABCD的棱長為4，則（

）

A．DE＝869 B．EA＋EB＋ECC．AE?BC＝0 D．【解題思路】由題意得E是正四面體ABCD外接球的球心．設點O是頂點A在底面的射影，取CD的中點G，AB的中點F，求得OB，AO，AE，由DE=AE可判斷A；求得EF=EG，結合EA+EB=2EF，EC+ED=2EG【解答過程】由題意得E是正四面體ABCD外接球的球心．

設點O是頂點A在底面的射影，則AO是正四面體ABCD的高，OB是△BCD的外接圓半徑，取CD的中點G，AB的中點F，連接BG，GF，則O在BG上，E在FG上，則OB=23BG=因為BE2=則AE2=對于A，DE=AE=對于B，因為AG＝BG＝32×4=23，FG⊥AB，EG所以EF=AE2則EF=EG，又EA+EB=2EF，所以EA+EB+對于C，因為AE⊥底面BCD，CD?底面BCD，所以AE⊥BC，所以AE?對于D，因為cos?所以AC?故選：BCD.11．（5分）（2023·全國·高三專題練習）已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，以正方體中心A．球O在正方體外部分的體積為2B．若點P在球O的正方體外部（含正方體表面）運動，則PAC．若點P在平面ABCD下方，則直線AP與平面A1BD．若點P?M?N在球O的正方體外部（含正方體表面）運動，則PM?PN【解題思路】對于A，結合球的體積和正方體體積公式或利用球缺的體積公式即可判斷；對于B，可取AB中點E，可將PA?PB利用向量運算轉化為PA?PB=PE+EA?PE+EB=PE2【解答過程】對于A，正方體的棱切球O的半徑R=2球O在正方體外部的體積V>V或者可根據球O在平面A1B1C1所以球O在正方體外部的體積為6V=62對于B，取AB中點E，可知E在球面上，可得EB=?EA=12BA，所以PA?PB=PE+EA?對于C，

若正方體上底面字母為ABCD，則直線AP與平面A1B1若正方體下底面字母為ABCD，設平面ABCD的中心為O1,直線AP與平面A1B1C則直線AP與平面A1B1C1D1所成角最大時，直線AP正好與平面ABCD下方球O相切，過A作平面ABCD下方球O的切線，切點為P，將正方體及其棱切球的截面畫出，如下圖所示，可得OA=32所以O1sin∠OAQ=OPOA所以直線AP與平面A1B1sin∠CAQ=對于D，PM?記向量OP與向量OM+ON的夾角為θ，OP=且OM+所以PM?令t=1+2OM?ON，所以上式可化為此時OM?ON=?故選：BD.12．（5分）（2023春·福建莆田·高二校考期中）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，M為側面A．若BM＝52，則M到直線B．若B1N⊥AC1，則N∈CC．若M∈A1D，則B1D．若M∈A1D，N∈CD1，則【解題思路】由已知可推得M為以A點為圓心，12為半徑的圓上.作圖，即可根據圓的性質得出最小值，判斷A項；先證明AC1⊥平面A1BD，結合B1N⊥AC1，即可得出B1N//平面A1BD；建立空間直角坐標系，求出平面A1BD的法向量，表示出cosn1【解答過程】對于A項，因為BM＝52，所以M在以B又M為側面AA1D1D因為，AB⊥平面AA1D1D，AB=1所以，M為以A點為圓心，12如圖1，AM1⊥A1D，則AM對于B項，如圖2，連結AC,AD因為CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD又BD⊥AC，AC?平面ACC1，CC1?所以，BD⊥平面ACC又AC1?平面AC同理可得，A1又BD?平面A1BD，A1D?平面所以，AC1⊥又B1N⊥AC1，B1?平面對于C項，以點D為坐標原點，分別以DA,DC,如圖3建立空間直角坐標系，則D0,0,0，A11,0,1，B1,1,0，B11,1,1，因為M∈A1D，設DM=λD設n1=x則n1?D取x1=1，則y1=z則cosn1,B1又2λ2?4λ+3=2所以，132λ所以，B1M與平面A1對于D項，由C項知，DA1=當MN⊥DA1，MN⊥CD1，即MN為直線DA設n2=x2,則n2?D取x2=1，則DC在n2方向上的投影向量的模為DC所以，M，N兩點之間距離的最小值為d=3故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點坐標分別為A(1,1,1)，B(0,3,0)，C(?2,?1,4)，點P(?3,x,1)在平面ABC內，則實數x的值為113【解題思路】根據題意,存在實數λ,μ使得等式AP=λ【解答過程】∵點P?3,x,1在平面ABC∴存在實數λ,μ使得等式AP=λ∴?4,x?1,0∴?4=?λ?3μx?1=2λ?2μ0=?λ+3μ故答案為：11314．（5分）（2023春·高二課時練習）已知向量a=1,1,0，b=m,0,2，cosa,b=?1010，若向量【解題思路】根據cosa,b=a?ba?【解答過程】解：因為a=1,1,0，b=所以cosa,b所以b=所以a+kb=因為向量a+kb與所以a+kb?若向量a+kb與2a+b此時a+12綜上可得k<?1.故答案為：k<?1.15．（5分）（2023春·江蘇常州·高二校聯考期中）一種糖果的包裝紙由一個邊長為6的正方形和2個等腰直角三角形組成（如圖1），沿AD，BC將2個三角形折起到與平面ABCD垂直（如圖2），連接EF，AE，CF，AC，若點P滿足DP=xDA+yDC+zDF且x+y+z=1，則【解題思路】由向量DP滿足條件可知P是平面ACF上的動點，轉化為求E到平面ACF的距離，利用補形及等體積法求解即可.【解答過程】因為點P滿足DP=xDA+y所以A,C,F,P四點共面，即P是平面ACF上的動點，所以EP的最小值即為E到平面ACF的距離.由題意，幾何體可補成邊長為6的正方體，如圖，則可知AF=AC=CF=AE=FE=CE=62設E到平面ACF的距離為?，則VE?ACF即13解得?=43所以EP的最小值為43故答案為：4316．（5分）（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在BD上，點F在①當點E是BD中點時，直線EF//平面DC②當DE=2EB時，EF⊥BD；③直線EF分別與直線BD，B1④直線EF與平面ABCD所成的角最大為π6【解題思路】建立空間直角坐標系，利用向量法對四個命題逐一分析，從而確定其中的真命題.【解答過程】設正方體的邊長為2，建立如圖所示空間直角坐標系，設BE=CF=t,0≤t≤22①，當E是BD的中點時，F是B1E1,1,0平面DCC1D1的一個法向量為由于EF?平面DCC1D1②，當DE=2EB時，BE=1E43,EF?DB=0③，E2F22t,2,EF=B2,2,0cosEFcosEFcosEF,DB=cosEF,④，平面ABCD的法向量為m=設直線EF與平面ABCD所成角為θ，sinθ=當t=22時，sinθ=13>故答案為：①②③.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知正方體ABCD?A′B′C′D′，E，F分別是上底面（1）AC（2）AE（3）AF【解題思路】（1）化簡AC（2）化簡AE→（3）化簡AF→【解答過程】（1）AC′→（2）AE→所以x=y=1（3）AF→所以x=y=118．（12分）（2023春·四川成都·高二校聯考期中）已知空間向量a=(1,0,1(1)若(a+b(2)若ka+b與2【解題思路】（1）根據空間向量共線公式列式求參即可；（2）根據空間向量垂直數量積為0列式求參即可.【解答過程】（1）∵a+b∴(a+b即3=μ(λ+4)，且?1=?μλ，1=μλ，解得λ=2（2）∵ka+b=(k+2,?1,k)又∵(ka+b19．（12分）（2023·江蘇·高二專題練習）棱長為2的正方體中，E、F分別是DD1、DB的中點，G在棱CD上，且CG=13CD(1)求證：EF⊥B(2)求cos<(3)求FH的長．【解題思路】（1）以D為坐標原點建立空間直角坐標系，首先求出相應點的坐標，再證明EF⊥（2）求出EF,C1（3）轉化為求|HF【解答過程】（1）解：如圖，以D為原點，DA,DC,DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系則D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C因為EF=(1,1,?1),所以EF?所以EF⊥故EF⊥B（2）解：因為C1G因為|EF|=3所以cos<（3）解：因為H是C1G又因為F(1,1,0)，所以HF=(1,?|FH即FH=2220．（12分）（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）如圖1，邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB=120°，E，O，F分別是AB，BD，CD的中點.現沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，連接AC，如圖2.(1)求cos∠EOF(2)若過E，O，F三點的平面交AC于點G，求四棱錐A?OEGF的體積.【解題思路】（1）證明OA⊥平面BCD，建立空間直角坐標系，得到OE=0,?3（2）計算平面OEGF的法向量為n=?3,3,3，再計算A到平面【解答過程】（1）連接OA，OC，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，OA⊥BD，OA?平面ABD，故OA⊥平面BCD，分別以OC，OD，OA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A0,0,1，B0,?3,0，因為E，F分別是AB，CD的中點，所以OE=0,?3所以cos∠EOF=（2）連接EG，FG，AF，設平面OEGF的法向量為n=(x,y,z)，則n?OE即?32y1+12z1設A到平面OEGF的距離為?，而AE=0,?3依題意得四邊形OEGF是一個菱形，∠EOF∈0,π，所以S四邊形所以VA?OEGF21．（12