捕魚業(yè)持續(xù)收獲的效益問題

PAGE1捕魚業(yè)持續(xù)收獲的效益問題天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)朱保軍摘要為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（漁業(yè)）的開發(fā)必須適度。而在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中,我們要使商業(yè)活動(dòng)在一段時(shí)期內(nèi)達(dá)到最大收益,因此我們要合理的開發(fā)資源，這時(shí),我們不僅要考慮商業(yè)活動(dòng)的當(dāng)前經(jīng)濟(jì)效益,還要考慮生態(tài)效益及由此產(chǎn)生的對(duì)整體經(jīng)濟(jì)效益的影響。本文就是對(duì)漁業(yè)這類可再生資源的開發(fā)問題進(jìn)行研究，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件matlab進(jìn)行求解。 針對(duì)問題一，建立產(chǎn)量模型，在該模型中建立捕撈情況下魚場(chǎng)魚量方程和捕撈方程，對(duì)方程和討論其平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性如下：， 針對(duì)問題二，對(duì)產(chǎn)量模型進(jìn)行延伸可求出最大的持續(xù)產(chǎn)量情況下的穩(wěn)定平衡點(diǎn)，最大持續(xù)產(chǎn)量和保持漁場(chǎng)魚量穩(wěn)定在的捕撈率。再建立效益模型，可求出利潤,最大捕強(qiáng)度，最大利潤下的漁場(chǎng)穩(wěn)定魚量及單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量。最后，建立捕撈過度模型，可求出盲目捕撈下的漁場(chǎng)穩(wěn)定魚量為。穩(wěn)定平衡點(diǎn)持續(xù)產(chǎn)量捕撈強(qiáng)度產(chǎn)量模型效益模型捕撈過度關(guān)鍵字：產(chǎn)量模型效益模型捕撈過度matlab一、問題提出 問題一分析：主要是列出、的方程，可知是一階微分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性分析，當(dāng)時(shí)，為方程的穩(wěn)定點(diǎn)，若，則對(duì)于方程是穩(wěn)定的；若，則對(duì)于方程是不穩(wěn)定的。同理對(duì)于的方程。 問題二分析：列出產(chǎn)量模型主方程，分析出最大的持續(xù)產(chǎn)量情況下的穩(wěn)定平衡點(diǎn)，最大持續(xù)產(chǎn)量和保持漁場(chǎng)魚量穩(wěn)定在的捕撈率；再列出效益模型,分析出利潤,最大捕強(qiáng)度，最大利潤下的漁場(chǎng)穩(wěn)定魚量及單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量；最后，列出捕撈過度模型,分析出盲目捕撈下的漁場(chǎng)穩(wěn)定魚量為及其和時(shí)的情況。五、模型建立 問題一：產(chǎn)量模型：在無捕撈條件下的增長服從logistic規(guī)律即（1） 單位時(shí)間的捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比，比例常數(shù)表示單位時(shí)間捕撈率，即。（2） 根據(jù)以上并記得到捕撈情況下漁場(chǎng)魚量滿足的方程（3）我們不需要解方程（3）以得到的動(dòng)態(tài)變化，只希望知道漁場(chǎng)的穩(wěn)定魚量和保持穩(wěn)定的條件，并由此來確定最大持續(xù)產(chǎn)量。為此可以直接求方程（3）的平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性。令得到兩個(gè)平衡點(diǎn)，（4）不難算出所以若（5）有，故點(diǎn)穩(wěn)定，點(diǎn)不穩(wěn)定;，則結(jié)果正好相反。又因?yàn)?，故同的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性。問題二： 產(chǎn)量模型的延伸：進(jìn)一步討論漁場(chǎng)魚量穩(wěn)定在的前提下，如何控制捕撈強(qiáng)度使持續(xù)產(chǎn)量最大的問題。用圖解法非常簡(jiǎn)單地得到結(jié)果。作出拋物線和直線，如上圖。注意到在原點(diǎn)的切線為，所以在條件（5）下必與有交點(diǎn)，的橫坐標(biāo)就是平衡點(diǎn)。 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為穩(wěn)定條件下單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量，由圖立刻知道，當(dāng)與在拋物線頂點(diǎn)相交時(shí)可獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量，此時(shí)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)為（6）且單位時(shí)間的最大持續(xù)產(chǎn)量為（7）而由（4）式不難算出保持漁場(chǎng)魚量穩(wěn)定在的捕撈率為（8）綜上所述，產(chǎn)量模型的結(jié)論是將捕撈率控制在固有增長率的一半，更簡(jiǎn)單一些?？梢哉f使?jié)O場(chǎng)魚量保持在最大魚量的一半時(shí)，能夠獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量。效益模型：從經(jīng)濟(jì)角度看不應(yīng)追求產(chǎn)量最大，而應(yīng)考慮效益最佳。則，（9）單位時(shí)間利潤問（10）在穩(wěn)定條件下，以（4）式代入（10）式，得(11)用微分法容易求出使利潤達(dá)到最大的捕撈強(qiáng)度為(12)將代入（4）式，可得最大利潤下的漁場(chǎng)穩(wěn)定量及單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量為（13）（14）將（12）~（14）式與產(chǎn)量模型中的（6）~（8）式相比較可以看出，在最大效益原則下捕撈率和持續(xù)產(chǎn)量有所減少，而漁場(chǎng)應(yīng)保持的穩(wěn)定魚量有所增加，并且減少或增加的部分隨著捕撈成本增長而變大，隨著銷售價(jià)格的增長而變小，這結(jié)果是符合實(shí)際情況的。 捕撈過度：上面的效益模型是以計(jì)劃捕撈為基礎(chǔ)的。如果漁場(chǎng)向眾多盲目的經(jīng)營者開放，那么即使只有微薄的利潤，經(jīng)營者也會(huì)蜂擁而去，這種情況稱為盲目捕撈。這種捕撈方式將導(dǎo)致捕撈過度，下面討論這個(gè)模型。 （11）式給出了利潤與捕撈強(qiáng)度的關(guān)系,令的解為，可得（15）當(dāng)時(shí)，利潤，盲目的經(jīng)營者們會(huì)加大捕撈強(qiáng)度；若時(shí)，利潤，他們當(dāng)然要減小強(qiáng)度。所以是盲目捕撈的臨界強(qiáng)度。 也可由圖解法確定。在下圖中以為橫坐標(biāo)，按（11）式畫出和，它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為。由（15）式或由圖容易知道，存在的必要條件（即）是(16)即售價(jià)大于成本。并且由（15）式可知，成本越低，售價(jià)越高，則越大。 將（15）代入（4）式，得到盲目捕撈下的漁場(chǎng)穩(wěn)定魚量為（17）完全由成本-價(jià)格比決定，隨著價(jià)格的上升和成本的下降，將迅速減少，出現(xiàn)捕撈過度。 比較（12）和（15）式知，,即盲目捕撈強(qiáng)度比最大效益下捕撈強(qiáng)度大一倍。 從（15）式和上圖還可以得到，當(dāng)時(shí)，,如圖中,稱經(jīng)濟(jì)學(xué)捕撈過度;當(dāng)時(shí)，，如圖中，稱生態(tài)學(xué)捕撈過度。綜上所訴得穩(wěn)定平衡點(diǎn)持續(xù)產(chǎn)量捕撈強(qiáng)度產(chǎn)量模型效益模型捕撈過度六、模型改進(jìn) 為了研究漁業(yè)的產(chǎn)量、效益及捕撈過度的問道，首先在對(duì)魚的自然增長和捕撈情況的合理假設(shè)下，建立漁場(chǎng)魚量的基本方程（3），并利用平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析確定了保持漁場(chǎng)魚量穩(wěn)定的條件。產(chǎn)量、效益和捕撈過度的3個(gè)模型在穩(wěn)定的前提下步步深入，數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程十分簡(jiǎn)單，卻得到了在定性關(guān)系上與實(shí)際情況完全符合的結(jié)果。但如果改變對(duì)魚的自然增長和人工捕撈的假設(shè)，模型及結(jié)果將隨之變化。七、參考文獻(xiàn)【1】趙靜，但琦,《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第3版）》高等教育出版社【2】姜啟源、謝金星、葉俊,《數(shù)學(xué)模型（第三版）》高等教育出版社，2003【3】劉來福，《最優(yōu)捕魚策略問題答案評(píng)述》，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1997年1月八、附錄圖一clc;clear;ezplot('y=-x.^2+4*x',[0,4],[0,5])text(3.5,0.4,'y=f(x)')text(4,-0.3,'N')holdonx1=0:0.01:2y1=4*x1plot(x1,y1,'r:')text(1.2,4.5,'y=rx')holdonx2=0:0.01:3y2=2*x2plot(x2,y2,'b')text(2.1,4.1,'P*')holdonx3=0:0.01:4y3=x3plot(x3,y3,'b')text(3.15,3,'P')text(3.3,3.1,'y=h(x)=Ex')holdonx4=3y4=0:0.05:3plot(x4,y4,'r:')text(3.05,-0.2,'x0')holdonx5=2y5=0:0.05:4plot(x5,y5,'r:')text(2.1,-0.3,'x0*=N/2')holdonx6=0:0.05:3y6=3plot(x6,y6,'r:')text(-0.2,3,'h')holdonx7=0:0.05:2y7=4plot(x7,y7,'r:')text(-0.3,4,'hm')圖二clc;clear;ezplot('y=-x.^2+4*x',[0,4],[0,5])text(4,-0.3,'r')text(3.5,1,'T(E)')holdonx1=0:0.01:2y1=4*x1plot(x1,y1,'r:')text(1.2,4.5,'pNE')holdonx2=0:0.01:3y2=3*x2plot(x2,y2,'b')text(1.6,4.3,'S(E)=cE')holdonx3=0:0.01:4y3=x3plot(x3,y3,