高二年級新課程教案：《高二數(shù)學·選修2-1課程教案》

PAGE1PAGE空間向量與立體幾何(復習二)【學情分析】：學生能用向量計算空間角、空間距離。但有時建立的坐標系并非直角。由于法向量的方向有兩個，導致計算的角的大小與實際情況不一致，不善于取舍、修正。【教學目標】：（1）知識目標：運用空間向量計算空間角及空間距離計算。適當運用傳統(tǒng)方法。（2）過程與方法目標：總結歸納，講練結合，以練為主。（3）情感與能力目標：提高學生的計算能力和空間想象能力?！窘虒W重點】：。計算空間角。【教學難點】：計算空間角，角的取舍。【課前準備】：投影【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一、復習1。兩條異面直線所成的角，轉化為分別與這兩條異面直線共線的兩個向量的夾角（或補角）。（要特別關注兩個向量的方向）2。直線與平面所成的角，先求直線與平面的法向量的夾角（取銳角）再求余角。3。二面角的求法：方法一：轉化為分別是在二面角的兩個半平面內且與棱都垂直的兩條直線上的兩個向量的夾角（注意：要特別關注兩個向量的方向）如圖：二面角α-l-β的大小為θ，A，B∈l，ACα，BDβ,AC⊥l，BD⊥l則θ=<,>=<,方法二：轉化為求二面角的兩個半平面的法向量夾角（或補角）。4。點P到平面的距離：先在內任選一點Q，求出PQ與平面的夾角θ則這里只用向量解題，沒包括傳統(tǒng)的解法。二、實例例2．如圖，三棱錐P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，點E，點F分別是PC，AP的中點. （1）求證：側面PAC⊥側面PBC； （2）求異面直線AE與BF所成的角； （3）求二面角A—BE—F的平面角.解：（1）∵PB⊥平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC，又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC∴側面PAC⊥側面PBC.（2）以BP所在直線為z軸，CB所在直線y軸，建立空間直角坐標系，由條件可設（3）平面EFB的法向量=(0,1,1)，平面ABE的法向量為=（1，1，1）例3．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點.（I）用向量方法求直線EF與MN的夾角；（II）求直線MN與平面ENF所成角的余弦值；（III）求二面角N—EF—M的平面角的余弦值.解：建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyz，則有E（，0，1，），F(xiàn)（1，，0），M（，1，1），N（1，，1）.（1）∵EF=（，，-1），MN=（，-，0），∴EF·MN=（，，-1）·（，-，0）=-+0=0.∴EF⊥MN，即直線EF與MN的夾角為90°.（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），∴FN·MN=0，∴FN⊥MN.∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.所成角的余弦為零。（3）二面角M—EF—N的平面角的余弦值為.此處可引導特色班的學生嘗試傳統(tǒng)的方法來解題。三、小結（見一）四、作業(yè)1．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分別是BA、BC的中點，G是AA1上一點，且AC1⊥EG.（Ⅰ）確定點G的位置；（Ⅱ）求直線AC1與平面EFG所成角θ的大小.解：（Ⅰ）以C為原點，分別以CB、CA、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），設G（0，2，h），則∴－1×0+1×（－2）+2h=0.∴h=1，即G是AA1的中點.（Ⅱ）設是平面EFG的法向量，則所以平面EFG的一個法向量m=（1，0，1）∵∴，即AC1與平面EFG所成角為2．在三棱柱ABC—A1B1C1中，四邊形A1ABB1是菱形，四邊形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.（Ⅰ）求證：平面CA1B⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求直線A1C與平面BCC1B1所成角的余弦值；（Ⅲ）求點C1到平面A1CB的距離.答案：（Ⅰ）先證BC⊥平面A1ABB1，∴平面CA1B⊥平面AA1BB1，（Ⅱ）（Ⅲ）C1到平面A1BC的距離為.教學與測試（基礎題）1．空間四邊形中，，，則<>的值是（）A．B．C．－D．答：D。2．2．若向量，則這兩個向量的位置關系是___________。答：垂直。3．如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中.（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）求點到平面的距離.解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設.∵為平行四邊形，（II）設為平面的法向量，的夾角為，則∴到平面的距離為4．如圖，在長方體，中，，點在棱上移動.（1）證明：；（2）當為的中點時，求點到面的距離；（3）等于何值時，二面角的大小為.解：以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則（1）（2）因為為的中點，則，從而，，設平面的法向量為，則也即，得，從而，所以點到平面的距離為（3）設平面的法向量，∴由令，∴依題意∴（不合，舍去），.∴時，二面角的大小為.（中等題）5．如圖，在三棱柱中，側面，為棱上異于的一點，，已知，求：（Ⅰ）異面直線與的距離；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.解：（I）以為原點，、分別為軸建立空間直角坐標系. 由于， 在三棱柱中有 , 設 又側面，故.因此是異面直線的公垂線，則，故異面直線的距離為.（II）由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角.6．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，是上一點，.已知求（Ⅰ）異面直線與的距離；（Ⅱ）二面角的大小.解：（Ⅰ）以為原點，、、分別為軸建立空間直角坐標系.由已知可得設由，即由，又，故是異面直線與的公垂線，易得，故異面直線,的距離為.（Ⅱ）作，可設.由得即作于，設，則由，又由在上得因故的平面角的大小為向量的夾角.故即二面角的大小為

§2．1曲線與方程§2．1．1曲線與方程【學情分析】：學生在必修模塊中已經學過直線與圓的方程，熟練掌握了直線的方程、圓的方程的常用形式，能解決直線與圓的有關問題，對解析幾何的研究方法與思路有一定的了解，這些對本節(jié)學習有很大幫助?！窘虒W目標】：知識與技能了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系，領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念及其關系，并能作簡單的判斷與推理；過程與方法在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結合、函數(shù)與方程、化歸與轉化等數(shù)學思想，以及坐標法、待定系數(shù)法等常用的數(shù)學方法；體會研究解析幾何的基本思想和解決解析幾何問題的方法.情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生實事求是、合情推理、合作交流及獨立思考等良好的個性品質，以及主動參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神【教學重點】：理解曲線與方程的有關概念與相互聯(lián)系【教學難點】：定義中規(guī)定兩個關系（純粹性和完備性）【課前準備】：多媒體、實物投影儀【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一．復習、引入1、問題：(1)求如圖所示的直線的方程,并說明曲線上的點與方程之間的關系；觀察、思考，求得方程為引導學生分析：（1）如果點是這條直線上的任意一點，則它到兩坐標軸的距離相等，即，那么它的坐標是方程的解。（2）如果是方程的解，即，則以這個解為坐標的點到兩坐標軸的距離相等，它一定在這條直線上。通過學生已熟悉的兩種曲線引入，有利于學生在已有知識基礎上開展學習；提出新問題，創(chuàng)設情景，引發(fā)學習興趣。二．復習、引入(2)仿照（1）說明：以為圓心，以r為半徑的圓與方程的關系⑴設M(xo,yo)是圓上任一點，則它到圓心的距離等于半徑，即，即：，這就是說，(xo,yo)是此方程的解；⑵如果(xo,yo)是方程的解，則可以推得，即點M(xo,yo)到圓心的距離等于半徑，點M在圓上。引導學生在前一個例子的基礎上類比歸納，得出結論，使他們理解幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一，為“依形判數(shù)”和“就數(shù)論形”的相互轉化奠定了扎實的基礎．這正體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，對解析幾何教學有著深遠的影響．三．講解定義1．在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（純粹性）(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．（完備性）那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線2.討論：曲線可以看作是由點組成的集合，記作C；一個關于x,y的二元方程的解可以作為點的坐標，因而二元方程的解也描述了一個點集，記作F請大家思考：如何用集合C和點集F間的關系來表達“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個關系，進而重新表述以上定義關系(1)指集合C是點集F的子集，關系(2)指點集F是點集合C的子集．這樣根據(jù)集合的性質，可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”與“方程的曲線”，即：3．練習：下列方程表示如圖所示的直線C，對嗎？為什么？（1）;（2）;（3）|x|-y=0.上題供學生思考，口答．解：方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲線C的方程．第（1）題中曲線C上的點不全都是方程的解，如點(-1,-1)等，即不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”這一結論；第(2)題中，盡管“曲線C上的坐標都是方程的解”，但以方程的解為坐標的點不全在曲線C上，如點(2，-2)等，即不符合“以方程的解為坐標的點都在曲線上”這一結論；第(3)題中，類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”，“以方程的解為坐標的點都在曲線上”．事實上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲線應該是下圖的三種情況：上述概念是本課的重點和難點，讓學生自己通過討論歸納出來，老師再說清楚這兩大性質(純粹性和完備性)的含義，使學生初步理解這個概念通過引導學生運用集合的表述，使學生對曲線和方程的關系的理解得到加深和強化，在記憶中上也趨于簡化通過反倒加深對定義的理解。四．例題1．例1：證明與兩條坐標軸的距離的積是常數(shù)的點的軌跡方程是證明：（1）如圖，設是軌跡上的任意一點，因為點M與x軸的距離為，與y軸的距離為，所以：，即是方程的根；（2）設點的坐標是方程的根，則：，即，而、是點到橫軸、縱軸的距離，因此點到這兩條直線的距離的積是常數(shù)k，點是曲線上的點。由（1）（2）可知，是與兩條坐標軸的距離的積為常數(shù)的點的軌跡方程通過例題鞏固定義。五．練習1．教科書P37練習1、2六．小結曲線與方程的關系如何證明、判斷曲線為方程的曲線，方程為曲線的方程曲線上的點所組成的集合與方程的解所組成的集合有什么關系？五、作業(yè)教科書習題2.1A組1、2練習與測試：1．如果曲線C上的點滿足方程F（x,y)=0，則以下說法正確的是（）A.曲線C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲線是CC.坐標滿足方程F(x,y)=0的點在曲線C上D.坐標不滿足方程F（x,y)=0的點不在曲線C上2.判斷下列結論的正誤，并說明理由.（1）過點A（3，0）且垂直于x軸的直線的方程為x=0;(2)到x軸距離為2的點的直線方程為y=-2;(3)到兩坐標軸的距離乘積等于1的點的軌跡方程為xy=1;(4)△ABC的頂點A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D為BC中點，則中線AD的方程為x=03.方程（3x-4y-12)·［log2(x+2y)-3］=0的曲線經過點A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個4.已知點A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3secθ,tanθ),其中在曲線上的點的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.45．證明動點P(x，y)到定點M(-a，0)的距離等于a(a＞0)的軌跡方程是6.如果兩條曲線的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它們的交點M（x0,y0)，求證：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲線也經過M點.（λ為任意常數(shù)）練習與測試解答：1.分析：判定曲線和方程的對應關系，必須注意兩點：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性；（2）以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有點和解一一對應，才能說曲線的方程，方程和曲線解：由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性.故選D2.分析：判斷所給問題的正誤，主要依據(jù)是曲線的方程及方程的曲線的定義，即考查曲線上的點的純粹性和完備性.解：（1）滿足曲線方程的定義.∴結論正確（2）因到x軸距離為2的點的直線方程還有一個；y=2，即不具備完備性.∴結論錯誤.（3）到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程應為｜x｜·｜y｜=1,即xy=±1.∴所給問題不具備完備性∴結論錯誤（4）中線AD是一條線段，而不是直線，∴x=0(-3≤y≤0),∴所給問題不具備純粹性.∴結論錯誤.3.分析：方程表示的兩條直線3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但應注意對數(shù)的真數(shù)大于0，∴x+2y＞0解：由對數(shù)的真數(shù)大于0，得x+2y＞0.∴A(0,-3)、C()不合要求將B（0，4）代入方程檢驗，不合要求.將D（4，0）代入方程檢驗，合乎要求.故選B.4.分析：由曲線上的點與方程的解的關系，只要把點的坐標代入方程，若滿足這個方程，說明這是這個方程的解，這個點就在該方程表示的曲線上.解：將點A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D（3secθ,tanθ)代入方程檢驗，只有點A和點B滿足方程.故選B.5．仿照課本例子，分兩種情況易證6.分析：只要將M點的坐標代入方程.F1(x,y)+λF2(x,y)=0，看點M的坐標是否滿足方程即可證明：∵M(x0,y0)是曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點，∴F1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R)∴M(x0,y0)在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲線上.評述：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也稱為過曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點的曲線系方程

§2．1．2求曲線的方程【學情分析】：通過上節(jié)課的學習，領會了“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念及其關系，并能作簡單的判斷與推理；對坐標法求點的軌跡方程有一定了解；【教學目標】：知識與技能了解什么叫軌跡，并能根據(jù)所給的條件，選擇恰當?shù)闹苯亲鴺讼登笄€的軌跡方程畫出方程所表示的曲線能利用曲線的方程研究曲線的性質過程與方法在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結合、函數(shù)與方程、化歸與轉化等數(shù)學思想，以及坐標法、待定系數(shù)法等常用的數(shù)學方法；了解求點的軌跡方程的幾種常用方法體會研究解析幾何的基本思想和解決解析幾何問題的方法.情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生實事求是、合情推理、合作交流及獨立思考等良好的個性品質，以及主動參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神【教學重點】：求曲線方程的方法、步驟【教學難點】：利用方程研究曲線的性質【課前準備】：多媒體、實物投影儀【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一．復習、引入1、“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義：在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（純粹性）(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．（完備性）那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線通過學生已熟悉的兩種曲線引入，有利于學生在已有知識基礎上開展學習；提出新問題，創(chuàng)設情景，引發(fā)學習興趣。二．坐標法與解析幾何主要研究問題1.坐標法在笛卡爾以前，人們對代數(shù)方程已經有了一定的研究，但是對于二元方程的研究較少，因為大家認識到二元方程的解都是不確定的對于這種“不定方程”，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，大多數(shù)人都認為研究它是沒有意義的，是不必要的。笛卡爾卻對對這個“沒有意義的課題”賦予了新的生命，他沒有把看成是未知數(shù)，而是創(chuàng)造性地把看成是變量(從此，變量引入了數(shù)學)，讓連續(xù)地變，則對每一個確定的的值，一般來說都可以從方程算出相應的值(這就是函數(shù)思想的萌芽)然后，他把這些點的集合便構成了一條曲線C由這樣得出的曲線C和方程有非常密切的關系：曲線上每一個點的一對坐標都是方程的一個實數(shù)解；反之，方程的每一個實數(shù)解對應的點都在曲線上這就是說，曲線上的點集和方程的實數(shù)解集具有一一對應的關系這個“一一對應”的關系導致了曲線的研究也可以轉化成對曲線的研究這種通過研究方程的性質，間接地來研究曲線性質的方法叫做坐標法（就是借助于坐標系研究幾何圖形的方法）2．解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問題在數(shù)學中，用坐標法研究幾何圖形的知識形成的一門學科，叫解析幾何它是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學學科，產生于十七世紀初期，法國數(shù)學家笛卡爾是解析幾何的奠基人另一位法國數(shù)學家費馬也是解析幾何學的創(chuàng)立者他們創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學史上具有劃時代的意義：一是在數(shù)學中首次引入了變量的概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來了解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學開端的標志，為數(shù)學的應用開辟了廣闊的領域3．平面解析幾何研究的主要問題（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；（2）通過方程，研究平面曲線的性質能過對數(shù)學史的介紹激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。三．例題1．例2：設A、B兩點的坐標分別是（－1,－1），（3,7），求線段AB的垂直平分線的方程解：如圖設點M（x，y）是線段AB的垂直平分線上的任意一點，也就是屬于集合：由兩點間的距離公式，點M的條件可表求為：上式兩邊平方，并整理得：①我們證明方程①是線段AB的垂直平分線的方程。由求方程的過程可知，垂直平分線上的每一點的坐標都是方程①的解；設點的坐標是方程①的解，即，即點到A、B的距離分別是所以，即點M在線段AB的垂直平分線上由（1）、（2）可知，方程①是線段AB的垂直平分線的方程2．討論，求簡單的曲線方程的一般步驟是怎樣的？引導學生歸納求曲線的方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序實?shù)對表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件P的點M的集合；（3）用坐標表示條件P（M），列出方程;（4）化方程為最簡形式；（5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點一般地，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當說明。3．例3：已知一條直線和它上方的一個點F，點F到的距離是2，一條曲線也在的上方，它上面的每一點到F的距離減去到的距離的差都是2,建立適當?shù)淖鴺讼担筮@條曲線的方程。引導學生分析探索解題思路，由學生板演解題過程解：如圖，取直線為x軸，過點F且垂直于直線為y軸，建立坐標系xOy設點M（x，y）是曲線上任意一點，作軸，垂足為B，則點M屬于集合由兩點間距離公式，點M適合的條件可表示為①將①式移項后兩邊平方，得化簡得因為曲線在x軸的上方，所以．雖然原點的坐標（0,0）是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應是（）它的圖形是關于y軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點．學生通過討論歸納，培養(yǎng)學生總結歸納能力及合作交流精神。例題鞏固。五．練習1．教科書P37練習32．設A、B兩點的坐標是(1，0)、(-1,0),若，求動點M的軌跡方程解：設M的坐標為，M屬于集合P=｛Ｍ｜｝.由斜率公式，點M所適合的條件可表示為，整理后得(≠±1)

下面證明(x≠±1)是點M的軌跡方程(1)由求方程的過程可知，M的坐標都是方程(x≠±1)的解；(2)設點的坐標是方程(x≠±1)的解，

即，∴由上述證明可知，方程(x≠±1)是點M的軌跡方程說明：所求的方程后面應加上條件ｘ≠±１六．小結1.求簡單的曲線方程的一般步驟2.求動點的軌跡方程中的注意點：（1）.注意方程的純粹性和完備性即不多不少。（2）.注意平面幾何知識的運用。（3）.注意要求是求軌跡方程還是軌跡3.求點的軌跡的常用方法1.直接法;2.定義法（和幾何法聯(lián)系）3.相關點法;4.參數(shù)法五、作業(yè)教科書習題2.1A組3、4、5B組1、2練習與測試：1.由動點P向圓引兩條切線、，切點分別為、，，動點軌跡方程是2．已知A﹑B﹑D三點不在一條直線上，且A（-2，0），B（2，0），||=2，=eq\f(1,2)(+).則E點的軌跡方程是；3．已知點H（－6，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足當點P在y軸上移動時，則點M的軌跡方程為4．求點P到點F（4，0）的距離比它到直線+5=0的距離小1的點的軌跡方程5．過點P(2,4)作互相垂直的直線,，若交軸于A，交軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程6．已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線練習與測試解答：1.由圓的幾何性質知、組成一個以，，且的直角三角形，故，∴點軌跡方程為2．x2+y2=1解：設E(x，y)，=+，則四邊形ABCD為平行四邊形，而=eq\f(1,2)(+)，∴E為AC的中點，∴OE為ΔABD的中位線，∴||=eq\f(1,2)||=1，∴E點的軌跡方程是x2+y2=13．（）解：設點M的坐標為由由點Q在x軸的正半軸上，得.故，所求點的軌跡方程為：（）4．解：設P為所求軌跡上任意一點，∵點P到F的距離比它到直線+5=0的距離小1.故點P到F（4，0）的距離與點P到直線+4=0的距離｜PD｜相等∴｜PF｜=｜PD｜∴=｜-(-4)｜∴5．解法一：設M為所求軌跡上任一點，∵M為AB中點，∴A（2,0),B(0,2),∵⊥且,過點P（2，4），∴PA⊥PB∴∵=(x≠1),=∴·=-1即+2-5=0(≠1)當=1時，A（2，0）、B（0，4）,此時AB中點M的坐標為（1，2），它也滿足方程+2-5=0.∴所求點M的軌跡方程為+2-5=0解法二：連結PM.設M,則A（2,0),B(0,2)∵⊥,∴△PAB為直角三角形∴｜PM｜=｜AB｜即化簡：+2-5=0∴所求點M的軌跡方程為+2-5=06．解以AB所在直線為x軸，以AB垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，設|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0)設M(x,y）是軌跡上任意一點則由題設，得=λ,坐標代入，得=λ,化簡得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)當λ=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸)(2)當λ≠1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0點M的軌跡是以(－，0）為圓心，為半徑的圓

§3.1空間向量及其運算§3.1.1空間向量及其加減運算【學情分析】：向量是一種重要的數(shù)學工具，它不僅在解決幾何問題中有著廣泛的應用，而且在物理學、工程科學等方面也有著廣泛的應用。在人教A版必修四中，讀者已經認知了平面向量，現(xiàn)在，學習空間向量時要注意與平面向量的類比，體會空間向量在解決立體幾何問題中的作用。【教學目標】：（1）知識與技能：理解和掌握空間向量的基本概念，向量的加減法（2）過程與方法：通過高一學習的平面向量的知識，引申推廣，理解和掌握向量的加減法（3）情感態(tài)度與價值觀：類比學習，注重類比、推廣等思想方法的學習，運用向量的概念和運算解決問題，培養(yǎng)學生的開拓創(chuàng)新能力?！窘虒W重點】：空間向量的概念和加減運算【教學難點】：空間向量的應用【課前準備】：Powerpoint課件【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一．情景引入（1）一塊均勻的正三角形的鋼板所受重力為500N，在它的頂點處分別受力F，F(xiàn)，F(xiàn)，每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60，且|F|=|F|=|F|=200N，這塊鋼板在這些力的作用下將會怎樣運動？這三個力至少多大時，才能提起這塊鋼板？（2）八抬大轎中每個轎夫對轎子的支持力具有怎樣的特點？從實際生活的例子出發(fā)，使學生對不共面的向量有一個更深刻的認識。說明不同在一個平面內的向量是隨處可見的。二．新舊知識比較讓我們將以前學過的向量的概念和運算回顧一下，看它們是只限于平面上呢？還是本來就適用于空間中。請學生自行閱讀空間向量的相關概念：空間向量定義、模長、零向量、單位向量、相反向量、相等向量。請學生比較與平面向量的異同。向量概念的關鍵詞是大小和方向，所以它應既適用于平面上的向量，也適合于空間中的向量，二者的區(qū)別僅僅在于：在空間中比平面上有更多的不同的方向。因此平面幾何中的向量概念和知識就可以遷移到空間圖形中。（1）空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內，成為同一平面內的兩個向量。如圖，對于空間任何兩個向量，可以從空間任意一點O出發(fā)作，即用同一平面內的兩條有向線段來表示通過比較，既復習了平面向量的基本概念，又加強了對空間向量的認識，注重類比學習，提高學生舉一反三的能力。三．類比推廣、探求新知（2）在平面圖形中向量加減法的可以通過三角形和平行四邊形法則，同樣對于空間任意兩個向量都看作同一平面內的向量，它們的加法、減法當然都可以按照平面上的向量的加法和減法來進行，不需要補充任何新的知識，具體做法如下：如圖，可以從空間任意一點O出發(fā)作，并且從出發(fā)作，則.探索1：空間三個以上的非零向量能否平移至一個明面上？探索2：多個向量的加法能否由兩個向量的加法推廣？思考《選2-1》課本P92探究題歸納：向量加（減）法滿足交換律和結合律。例1：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡下列向量表達式，并標出化簡結果的向量。(如圖)讓學生知道，數(shù)學中研究的向量是自由向量，與向量的起點無關，這是數(shù)學中向量與物理中矢量的最大區(qū)別?？臻g三個或更多的向量相加，不能同時將這些向量都用同一個平面上的有限線段來表示，但仍然可以用將它們依次用首尾相接的有向線段來表示，得到它們的和。比如：三個向量的和,一般地,空間中多個依次用首尾相接的有向線段相加的結果等于起點和終點相連的有向線段。我們常常把向量的這種性質簡稱為“封口向量”。四．練習鞏固1．課本P92練習1-32．如圖，在三棱柱中，M是的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：（1）;（2）;（3）解：（1）（2）（3）鞏固知識，注意區(qū)別加減法的不同處.五．拓展與提高1．已知空間四邊形，連結，設分別是的中點，化簡下列各表達式，并標出化簡結果向量：（1）；（2）；（3）．加深對相等向量和加減法的理解六．小結1．空間向量的概念：2．空間向量的加減運算反思歸納七．作業(yè)課本P106習題3.1，A組第1題（1）、（2）練習與測試：（基礎題）1．舉出一些實例，表示三個不在同一平面的向量。2．說明數(shù)字0與空間向量0的區(qū)別與聯(lián)系。答：空間向量0有方向，而數(shù)字0沒有方向；空間向量0的長度為0。3．三個向量a,b,c互相平行，標出a+b+c.‘解：分同向與反向討論（略）。4．如圖，在三棱柱中，M是的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：（1）;（2）;（3）解：（1）（2）（3）（中等題）5．如圖，在長方體中，，點E,F分別是的中點，試用向量表示和解：。6．在上題圖中，試用向量表示和解：==，=--=--

§3.1.2空間向量的數(shù)乘運算【學情分析】：本節(jié)，空間向量的數(shù)乘運算共有4個知識點：空間向量的數(shù)乘、共線向量或平行向量、方向向量與共面向量、空間向量的分解定理這一節(jié)是全章的重點，有了第一節(jié)空間向量加減法的基礎，我們就很容易把平面向量及其運算推廣到空間向量由于本教材學習空間向量的主要目的是，解決一些立體幾何問題，所以例習題的編排也主要是立體幾何問題當我們把平面向量推廣到空間向量后，很自然地要認識空間向量的兩個最基本的子空間：共線向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推廣到空間然后由這兩個定理推出空間直線和平面的向量表達式有了這兩個表達式，我們就可以很方便地使用向量工具解決空間的共線和共面問題【教學目標】：（1）知識與技能：掌握空間向量的數(shù)乘運算（2）過程與方法：進行類比學習，會用空間向量的運算意義和運算律解決立幾問題（3）情感態(tài)度與價值觀：會用平面的向量表達式解決共面問題【教學重點】：空間向量的數(shù)乘運算及運算律【教學難點】：用向量解決立幾問題【課前準備】：Powerpoint課件【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一．溫故知新1、空間向量的數(shù)乘運算，其模長是的倍（1）當時，與同向（2）當時，與反向2、空間向量的數(shù)乘分配律和結合律（1）分配律：（2）結合律：3、共線向量或平形向量類似于平面向量共線，對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使1、方向向量如果為經過已知點A且平行于已知非零向量的直線，對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式．其中向以數(shù)乘向量及其運算律為突破口，與平面向量進行比較學習，為下面引出共面向量作鋪墊。二．新課講授量叫做直線的方向向量.在上取，則上式可化為證明：對于空間內任意一點O，三點共線由此可見，可以利用向量之間的關系判斷空間任意三點共線，這與利用平面向量判斷平面內三點共線是一樣的。回顧平面向量的基本定理：共面向量定理如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序實數(shù)組，使得，這就是說，向量可以由不共線的兩個向量線性表示。由此可以得到空間向量共面的證明方法2、空間平面ABC的向量表示式空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數(shù)對x，y使得：，或對空間任意一點O有：。推論：已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，則點P與點A，B，C共面的充要條件是證明：方向向量的引入是為了更好的說明三點共線的向量充要條件，作為特色班，可以根據(jù)實際情況補充證明過程。回顧平面向量的基本定理可以發(fā)現(xiàn)，平面中的基底理論成了空間向量關系的一種特殊情況——共面的證明方法，這正是由特殊到一般，由簡單到復雜的一種推廣，對今后理解空間向量的基底理論也是有一定輻射作用的。P與點A，B，C共面本探究可以在老師的啟發(fā)下，給學生自己證明，不同層次可以酌情考慮是否證明。三．典例講練例1．一直平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O做射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，且使，求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面分析：欲證E，F(xiàn)，G，H四點共面，只需證明，，共面。下面我們利用，，共面來證明。證明：因為，所以，，，，由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以，因此，由向量共面的充要條件知E，F(xiàn)，G，H四點共面進一步：請學生思考如何證明：面AC//面EG四．練習鞏固1、如圖，已知空間四邊形ABCD，連結AC，BD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，化簡下列各表達式，并標出化簡結果的向量。（1）（2）（3）2、課本P96練習2-33、已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，用向量方法證明（1）E、F、G、H四點共面（2）AC∥平面EFGH鞏固知識，注意向量運算律的使用.3、略解：（1）（2）得EF∥AC，AC平面EFGH，則AC∥平面EFGH五．拓展與提高ABCDABCDEFNM求證：MN//平面CDE證明：=又與不共線根據(jù)共面向量定理，可知共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE注意用空間向量的思想去解決立體幾何問題的轉化方法.六．小結1．空間向量的數(shù)乘運算2．空間向量的運算意義和運算律解決立幾問題3．平面的向量表達式解決共面問題歸納知識反思方法，特點。七．作業(yè)課本P106習題3.1，A組第1題（3）、（4），第2題練習與測試：（基礎題）1．已知空間四邊形，連結，設分別是的中點，化簡下列各表達式，并標出化簡結果向量：（1）；AD（2）；AG（3）．MG（中等題）2、在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A．有相同起點的向量 B．等長向量 C．共面向量 D．不共面向量3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（） A．B．C．D．

§3.1.3空間向量的數(shù)量積運算【學情分析】：本小節(jié)首先把平面向量數(shù)量積運算推廣到空間向量數(shù)量積運算學生已有了空間的線、面平行和面、面平行概念，這種推廣對學生學習已無困難但仍要一步步地進行，學生要時刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴大到空間一個向量已是空間的一個平移，要讓學生在空間上一步步地驗證向量的數(shù)量積運算這樣做，一方面復習了平面向量、學習了空間向量，另一方面可加深學生的空間觀念【教學目標】：（1）知識與技能：掌握掌握空間向量的夾角的概念，空間向量數(shù)量積的定義和運算律（2）過程與方法：類比學習，注重類比、推廣等思想方法的學習和使用，掌握立體幾何中的三垂線定理及其逆定理的證明（3）情感態(tài)度與價值觀：進一步學習向量法在證明立體幾何中的應用，培養(yǎng)學生的開拓創(chuàng)新能力和舉一反三的能力?！窘虒W重點】：空間向量的數(shù)量積運算【教學難點】：空間向量的數(shù)量積運算在解決立體幾何中的應用【課前準備】：課件【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一．溫故知新1、平面向量的數(shù)量積（1）設是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即＝（2）夾角：．（3）運算律；；復習舊知識，為新知識做鋪墊，讓學生可以非常容易的接收空間向量的數(shù)量積概念。二．新課講授1、夾角定義：是空間兩個非零向量，過空間任意一點O，作，則叫做向量與向量的夾角，記作規(guī)定：特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作。2、數(shù)量積（1）設是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即＝（2）夾角：．（3）運算律；；思考：1、若，是否有成立？2、若，是否有，或成立？3、向量數(shù)量積是否有結合律成立？注意夾角的表示方法和意義，垂直的表示。注意向量運算和代數(shù)運算的差別。三．典例講練在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。已知：PO，PA分別是平面的垂線，斜線，AO是PA在平面內的射影，且，求證：證明：取直線的方向向量，同時取向量，。因為，所以。因為，且，所以因此。又因為，所以這個命題叫做三垂線定理，思考其逆定理如何證明三垂線定理的逆定理：在平面內德一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內的射影垂直。例2．，是平面內的兩條相交直線，如果，，求證：證明：在內作任一直線個，分別在，，，，上取非零向量，，，。因為與相交，所以向量，不平行，由向量共面的充要條件知，存在惟一的有序實數(shù)對，使將上式兩邊與向量作數(shù)量積，得因為，，所以所以，即這就證明了直線垂直于平面內的任意一條直線，所以注重向量在垂直、共面中的使用的意識的培養(yǎng)。四．練習鞏固1．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，則AB1與C1B所成角的大小為（）（A）（B）（C）（D）2、如圖，在平行六面體ABCD-A’B’C’D’中，AB=4，AD=3，AA’=5，BAD=，BAA’=DAA’=，求A’C的長。3、如圖，線段AB，BD在平面內，BDAB，線段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D間的距離。注意的使用五．拓展與提高1、如圖在正方體AC1中，M、N分別是AA1、BB1的中點，求直線CM與D1N所成的角。六．小結（1）夾角、空間向量數(shù)量積、運算律（2）三垂線定理及其逆定理（3）夾角、距離的求法回顧方法七．作業(yè)課本P106，習題3.1A組，第3題、第4題、第5題練習與測試：（基礎題）1．已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分別是OA、BC的中點，G是MN的中點。求證OG⊥BC分析：要證OG⊥BC，只需證明。把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示略解：（中等題）２．已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60o（1）證明CC1⊥BD（2）當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD？并證明分析：取為運算的基向量，則。注意向量間的方向對夾角的影響略證（2）設，菱形邊長為a，則，解得當時，

§3.1.4空間向量的正交分解及坐標表示【學情分析】：本小節(jié)首先把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理這種推廣對學生學習已無困難但仍要一步步地進行，學生要時刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴大到空間這樣做，一方面復習了平面向量、學習了空間向量，另一方面可加深學生的空間觀念讓學生從二維到三維發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學生的探索創(chuàng)新能力?！窘虒W目標】：（1）知識與技能：掌握空間向量基本定理，會判斷空間向量共面（2）過程與方法：正交分解推導入手，掌握空間向量基本定理（3）情感態(tài)度與價值觀：認識將空間向量的正交分解，能夠將空間向量在某組基上進行分解【教學重點】：空間向量正交分解，空間向量的基本定理地使用【教學難點】：空間向量的分解【課前準備】：課件【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一．溫故知新回顧平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此為基礎，推導空間向量的正交分解和基本定理二．新課講授1．空間向量的正交分解設，，是空間的三個兩兩垂直的向量，且有公共起點O。對于空間任意一個向量，設Q為點P在，所確定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，所確定的平面上，存在實數(shù)z，使得而在，所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序實數(shù)對，使得從而由此可知，對空間任一向量，存在一個有序實數(shù)組{}，使得，稱，，為向量在，，上的分向量。2．空間向量的基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組，使由此定理，若三向量不共面，那么空間的任一向量都可由線性表示，我們把{}叫做空間的一個基底，叫做基向量?？臻g任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組，使記推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數(shù)，使以平面向量的基本定理為基礎，層層遞進，得到空間向量的正交分解形式。注意介紹單位正交基、正交基、基的特殊與一般的關系，以幫助學生理解概念。三．典例講練例1．如圖，已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量解：∴向量的分解過程中注意向量的運算的正確使用。四．練習鞏固1、如圖，在正方體中，，點E是AB與OD的交點,M是OD/與CE的交點，試分別用向量表示和解：課本P102練習1、2、3五．拓展與提高1．設A、B、C、D是空間任意四個點，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個向量 （） A．互不相等 B．至多有兩個相等 C．至少有兩個相等D．有且只有兩個相等2．若a、b、c是空間的一個基底，下列各組①la、mb、nc(lmn≠0)；②a+2b、2b+3c、3a－9c；③a+2b、b+2c、c+2a；④a+3b、3b+2c、－2a+4c中，仍能構成空間基底的是 （）A．①②B．②③C．①③D．②④3．已知分別是空間四邊形的邊的中點，（1）用向量法證明四點共面；（2）用向量法證明：//平面；（3）設是和的交點，求證：對空間任一點，有充分認識基底的特征，即線性無關的三個向量就可以構成空間的一個基底。六．小結1．正交分解的推導和空間向量基本定理2．如何將向量用坐標表示3．任意空間向量在某組基底下的分解七．作業(yè)課本P106習題3.1第6題練習與測試：（基礎題）1如圖，在正方體中，，點E是AB與OD的交點,M是OD/與CE的交點，試分別用向量表示和解：2．設向量是空間一個基底，則一定可以與向量構成空間的另一個基底的向量是 （） A． B． C． D．3．設A、B、C、D是空間任意四個點，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個向量 （） A．互不相等 B．至多有兩個相等 C．至少有兩個相等D．有且只有兩個相等4．若a、b、c是空間的一個基底，下列各組 ①la、mb、nc(lmn≠0)； ②a+2b、2b+3c、3a－9c； ③a+2b、b+2c、c+2a； ④a+3b、3b+2c、－2a+4c 中，仍能構成空間基底的是 （） A．①② B．②③ C．①③ D．②④5．設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足，，，則△BCD是()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定6．已知S是△ABC所在平面外一點，D是SC的中點，若＝，則x＋y＋z＝．7．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED，以｛，，｝為基底，則＝．（中等題）8．已知四面體中，兩兩互相垂直，則下列結論中，不一定成立的是（） (1).(2). (3).(4).不一定成立的是.9.已知非零向量不共線，如果，求證：A、B、C、D共面。

§3.1.5空間向量運算的坐標表示【學情分析】：平面向量有座標表示，空間向量也有座標表示，在上一節(jié)中，單位正交分解就能夠完成向量坐標向空間直角坐標系坐標的轉化?，F(xiàn)在，通過本節(jié)的學習，我們可以將向量的地定性公式定量化，在解題特別是在解決立體幾何問題的過程中，可以大大簡化問題的難度?！窘虒W目標】：（1）知識與技能：能用坐標表示空間向量（2）過程與方法：由平面坐標運算類別空間坐標運算，掌握空間向量的坐標運算（3）情感態(tài)度與價值觀：類比學習，注重類比，運用向量的運算解決問題，培養(yǎng)學生的開拓能力?！窘虒W重點】：空間向量的坐標運算【教學難點】：空間向量的坐標運算【課前準備】：課件【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一．溫故知新平面向量的坐標運算二．新課講授1．空間向量的直角坐標運算律（1）若，，則，，，（2）若，，則．一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。2．數(shù)量積：即=3．夾角：．4．模長公式：若，則．5．平行與垂直：6．距離公式：若，，則，或．注重類比學習，舉一反三，在平面向量中有坐標運算，空間向量中也有，運算規(guī)律和結論的本質是一樣的。三．典例講練例1．如圖，在正方體中，，分別是，的一個四等分點，求與所成的角的余弦值。解：不妨設正方體的棱長為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標系，則，，，所以，，，所以，因此，與所成角的余弦值是例2．如圖，正方體中，，分別是，的中點，求證：證明：不妨設正方體的棱長為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標系，則，所以，又，，所以，所以，因此，即將空間向量的運算與向量的坐標表示結合起來，不僅可以解決夾角和距離的計算問題，而且可以使一些問題的解決變得簡單。四．練習鞏固課本P105練習1，2，3五．拓展與提高1．如圖在正方體AC1中，M、N分別是AA1、BB1的中點，求直線CM與D1N所成的角。2．已知三角形的頂點A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），這個三角形的面積是（）A. B.C.2 D.3．已知點A（1，2，3），B=（2，1，2），P（1，1，2）在直線OP（或延長線上）取一點P，使最小，求S的坐標及最小值.解：設S（k,k,2k)為OP上一點，則=(1－k,2－k,3－2k)=(2－k,1－k,2－2k)∴=(1－k)(2－k)+(2－k)(1－k)+(3－2k)(2－2k)=6k2－16k+10=6(k－)2－∴k=時，=－此時=（）學習注意觸類旁通，舉一反三，引進向量的坐標運算式把定性的向量定量化的有效辦法。這樣可以把向量問題轉化為代數(shù)問題六．小結1．空間向量的直角坐標運算律2．數(shù)量積與夾角3．模長與距離4．平行于垂直七．作業(yè)課本P106習題3.1，A組第8、9、11題練習與測試：（基礎題）1．已知向量的夾角為（） A．0°B．45° C．90°D．180°2．已知（） A．B．5，2C．D．-5，-2（中等題）3.已知，，求：（1）線段的中點坐標和長度；（2）到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件解：（1）設是線段的中點，則．∴的中點坐標是，．（2）∵點到兩點的距離相等，則,化簡得：,所以，到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件是．點評：到兩點的距離相等的點構成的集合就是線段AB的中垂面，若將點的坐標滿足的條件的系數(shù)構成一個向量，發(fā)現(xiàn)與共線。4,。分析：可用公式來求面積解：∵，，∴，，，∴，∴所以．5．已知，則向量與的夾角是（）A．90°B．60° C．30°D．0°6．已知，則的最小值是（）A．B． C．D．7．已知，則的取值范圍是（）A.B.C.D.

§3.2.1直線的方向向量與平面的法向量【學情分析】：教學對象是高二的學生，學生已經具備空間向量與立方體幾何的相關知識,所以本節(jié)課是通過這些知識理解空間的幾個元素點、直線、平面的位置的向量表示，并且用向量及其運算表示線線、線面、面面間的位置關系,可以比較順利地進行教學.在教學中，師生共同探索發(fā)現(xiàn)用向量及其運算表示線線、線面、面面間的位置關系并予于應用,在起點高的班級中是可行的.【教學目標】：（1）知識與技能：理解直線的方向向量和平面的法向量；會用向量及其運算表示線線、線面、面面間的位置關系.（2）過程與方法：在解決問題中，通過數(shù)形結合的思想方法，加深對相關知識的理解。（3）情感態(tài)度與價值觀：開始體會把立方體幾何幾何轉化為向量問題優(yōu)勢。【教學重點】：平面的法向量.【教學難點】：用向量及其運算表示線線、線面、面面間的位置關系.【課前準備】：Powerpoint課件【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一、復習引入兩個非零向量共線的充要條件是什么？什么叫直線的方向向量？回顧平面向量基本定理。為探索新知識做準備.二、探究新知一、點、直線、平面的位置的向量表示1.思考：如何確定一個點在空間的位置？如圖，在空間中，我們取一點O作為基點，那么空間中任意一點P的位置就可以用向量來表示．稱向量為點的位置向量?；c●基點●O●Pl2.思考：在空間中給定一個定點A和一個定方向（向量），能確定一條直線在空間的位置嗎？lPPAA

如圖，點A和不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出l上的任意一點P。3.思考：給定一個定點和兩個定方向（向量），能確定一個平面在空間的位置嗎？OPOP如圖，點O和、不僅可以確定平面的位置，還可以具體表示出內的任意一點P.4.思考：給定一個定點和一個定方向（向量），能確定一個平面在空間的位置嗎？法向量：若，則叫做平面的法向量。AA如圖，過點A，以為法向量的平面是完全確定的.二、線線、線面、面面間的位置關系與向量運算的關系設直線l、m的方向向量分別為、，平面的法向量分別為.探究1：平行關系1,線線平行:2,線面平行:3,面面平行:探究2：垂直關系1,線線垂直:2,線面垂直:3,面面垂直:探究3：夾角1,線線夾角:2,線面夾角:3，面面夾角：

要求學生自己尋找空間中的幾何元素點、直線、平面的位置的向量表示方法。聯(lián)系平面向量基本定理來理解。學生記住法向量的概念。通過對對稱軸不同作法的探討，拓展學生的思維.讓學生對每一種關系都進行探究，找到相應的向量關系和運算公式。通過向量理解這些關系式，而不是機械記憶它們。三、練習鞏固1．設直線l，m的方向向量分別為，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)，m的位置關系：答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行。2.設平面的法向量分別為，根據(jù)下列條件判斷平面的位置關系：答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦為。鞏固知識，培養(yǎng)技能.四、拓展與提高第4題1．已知點是平行四邊形所在平面外一點，如果，，第4題（1）求證：是平面的法向量；（2）求平行四邊形的面積．（1）證明：∵，，∴，，又，平面，∴是平面的法向量．（2），，∴，∴，∴，∴．引導學生進行應用.對法向量作理解.鞏固以往知識，培養(yǎng)運算技能.五、小結點、直線、平面的位置的向量表示。線線、線面、面面間的位置關系的向量表示。反思歸納六、作業(yè)A，預習課本114－119的例題。B，書面作業(yè):1，2，練習與測試：（基礎題）1，與兩點和所成向量同方向的單位向量是

。解：向量，它的模則所求單位向量為。2，從點沿向量的方向取長為6的線段，求點坐標。解：設點坐標為，由題設有；由可得。則，于是所求坐標為。3，設直線l，m的方向向量分別為，判斷l(xiāng)，m的位置關系。解：因為（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以兩直線垂直。4，設平面的法向量分別為，判斷平面的位置關系。解：易知所給二法向量平行，故平面平行。（中等題）5，已知空間四點坐標分別為A（1，0，0）、B（1，1，0）、E（1，1/2，1）、F（0，1/2，0），求平面AEF的單位法向量。解：設平面AEF的法向量為則有為平面AEF的單位法向量。6，如圖所示建立坐標系，有分別求平面SAB與平面SDC的法向量，并求出它們夾角的余弦。解：因為y軸平面SAB，所以平面SAB的法向量為設平面SDC的法向量為，由

§3.2.2空間角與距離的計算舉例【學情分析】：教學對象是高二的學生，學生已經具備空間向量與立方體幾何的相關知識,上次課已經學習了直線的方向向量和平面的法向量，所以本節(jié)課是通過舉例來求空間的距離和角。我們可以將空間中的有關距離和角的問題，轉化為空間向量的數(shù)量積來解決?！窘虒W目標】：（1）知識與技能：能用向量方法進行有關距離的計算；能用向量方法解決線線、線面與面面的夾角的計算問題.（2）過程與方法：在解決問題中，通過數(shù)形結合的思想方法，加深對相關知識的理解。（3）情感態(tài)度與價值觀：體會把立方體幾何幾何轉化為向量問題優(yōu)勢，培養(yǎng)探索精神?！窘虒W重點】：將空間角與距離的計算轉化為向量的夾角與模來計算.【教學難點】：將空間角與距離的計算轉化為向量的夾角與模來計算..【課前準備】：Powerpoint課件【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一、復習引入兩個向量的數(shù)量積如何運算？向量的模與向量的數(shù)量積是什么關系？向量的加法法則。為探索新知識做準備.二、探究與練習一、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”學生回顧用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”，與老師共同得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形問題）二、例題例1：如圖1：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？解：如圖1，設化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，進行向量運算A1A1B1C1D1ABCD圖1回到圖形問題這個晶體的對角線的長是棱長的倍。思考：（1）本題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關系？分析:（2）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于,那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎?分析:∴這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。（3）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結為求兩點間的距離）分析：面面距離點面距離向量的?；貧w圖形解：∴∴所求的距離是練習:如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長都是1，點D，E分別是邊OA，BC的中點，連結DE，計算DE的長OAOABCDE圖2例2：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為a和b,CD的長為c,AB的長為d。求庫底與水壩所成二面角的余弦值ABABCD圖3解：如圖化為向量問題根據(jù)向量的加法法則進行向量運算設向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角。因此回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為思考：（1）本題中如果夾角可以測出，而AB未知，其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？分析：∴可算出AB的長。（2）如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？分析：如圖，設以頂點A為端點的對角線長為d，三條棱長分別為a,b,c,各棱間夾角為.A1BA1B1C1D1ABCD（3）如果已知一個四棱柱的各棱長都等a，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？分析：二面角平面角向量的夾角回歸圖形C1CAC1CA1B1D1ADEFB解：如圖，在平面AB1內過A1作A1E⊥AB于點E，在平面AC內作CF⊥AB于F?！嗫梢源_定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。練習：（1）如圖4，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長。B圖B圖4ACD2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABABCA1B1C1圖5讓學生通過回顧尋找將立體幾何問題轉化為向量問題的步驟。例1的圖形比較規(guī)范，容易把握，可以讓學生很好地體會向量解題的優(yōu)勢。提醒學生不能缺少這一步。轉化為向量。這是例題1的推廣，方法類似，學生進一步體會.讓學生體會空間距離的轉化。及時進行類比訓練，鞏固所學方法和技能。例2是關于角的有關問題，引導學生找到相應的向量進行轉化。以下設計與例1類似。三、拓展與提高如圖6，在棱長為a的正方體中，E,F分別是棱AB,BC上的動點，且AE=BF。（1）求證：；（2）當三棱錐的體積取最大值時，求二面角的正切值。O’C’B’O’C’B’A’OABCEF圖6學生進行提高訓練應用.四、小結用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。面面距離點面距離向量的?；貧w圖形二面角平面角向量的夾角回歸圖形反思歸納五、作業(yè)課本P121第2、4題。練習與測試：（基礎題）正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1，則側棱與底面所成的角為（）A．75°B．60°C．45°D．30°答：C。2．如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點。那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．答：B。3，把正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A、B、C、D四點為頂點的棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為）A．90°B．60°C，45°D．30°答：C。4，已知是兩條異面直線的公垂線段，，則所成的角為．答：或。（中等題）5，一條線段夾在一個直二面角的兩個面內，它和兩個面所成的角都是30°，這條線段與這個二面角的棱所成的角為。答：·B1PACDA1C1D1B·B1PACDA1C1D1BOH· （Ⅰ）求直線與平面所成的角的三角函數(shù)值； （Ⅱ）設點在平面上的射影是，求證：．解：（1）連BP，則角APB為直線與平面所成的角，（2）所以

§3.2.3利用向量解決平行與垂直問題【學情分析】：教學對象是高二的學生，學生已經具備空間向量與立方體幾何的相關知識,前面又學習了用向量表示線線、線面、面面間的位置關系與向量運算的關系，所以本節(jié)課是通過運用這些關系解決立體幾何中的平行與垂直問題。本次課內容不難理解，但學生自己做題時往往會遇到一個如何轉化的問題，因此，教學中應重點抓住轉換思想來進行.【教學目標】：（1）知識與技能：繼續(xù)理解用向量表示空間中平行與垂直的關系和方法；會用向量法和坐標法等方法解決立體幾何中的平行與垂直問題.（2）過程與方法：在解決問題中，通過數(shù)形結合與問題轉化的思想方法，加深對相關內容的理解。（3）情感態(tài)度與價值觀：體會把立方體幾何幾何轉化為向量問題優(yōu)勢，培養(yǎng)探索精神。【教學重點】：向量法與坐標法. 【教學難點】：立體幾何中的平行與垂直問題向向量問題的轉化.【課前準備】：Powerpoint課件【教學過程設計】：教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”.平行與垂直關系的向量表示。為學習新知識做準備.二、探究新知一、用向量處理平行問題ADADCBEFNM分析：先復習共面向量定理。要解決問題，可以考慮將向量用向量線性表示出來。評注：向量p與兩個不共線的向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以證明線面平行問題。本題用的就是向量法。（圖略）分析：面面平行線面平行線線平行。評注：由于三種平行關系可以相互轉化，所以本題可用邏輯推理來證明。用向量法將邏輯論證轉化為問題的算法化，在應用向量法時需要合理建立空間直角坐標系，方能減少運算量。本題選用了坐標法。思考：一般應如何建立空間直角坐標系？二、用向量處理垂直問題（圖略）分析：線面垂直線線垂直。評注：本題若用一般法證明，容易證A’F垂直于BD，而證A’F垂直于DE，或證A’F垂直于EF則較難，用建立空間坐標系的方法能使問題化難為易。例4，證明：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（三垂線定理）ABCDO已知：如圖,OB是平面的斜線，O為斜足，ABCDO求證：證明：例1是一道線面平行問題，需要利用共面向量定理來證明。同時介紹解決問題的向量法。聯(lián)系共線向量來理解。例2是關于面面平行的問題，聯(lián)系幾何定理與向量平行。同時介紹解決問題的坐標法。例3是線面垂直問題，圖形和例2一樣是正方體，可進一步訓練坐標法。讓學生體會坐標法的優(yōu)勢。用向量法證明三垂線定理。三、練習鞏固分別用向量法和坐標法解決以下問題：向量法：所以，結論成立。坐標法：證明：（圖略）鞏固知識，培養(yǎng)技能.四、小結利用向量解決平行與垂直問題向量法：利用向量的概念技巧運算解決問題。坐標法：利用數(shù)及其運算解決問題。兩種方法經常結合起來使用。反思歸納五、作業(yè)1，直三棱柱中，角ACB是直角，AC＝1，CB＝，側棱=1，側面的兩條對角線交點為D，的中點為M，求證CD平面BDM。2，課本p.116第2題。練習與測試：（基礎題）1，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，則（

）A．+－

B．－+C．－++

D．－+－答：D2，若向量、（

）A．

B．

C．

D．以上三種情況都可能答：B3，一空間四邊形ABCD的對邊AB與CD，AD與BC都互相垂直，用向量證明：AC與BD也互相垂直．證明：.

又，即.……①.又，即.……②由①+②得：即..4，如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點．（1）求證：EF∥平面PAD；（2）求證：EF⊥CD；證：如圖，建立空間直角坐標系A－xyz，設AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，則：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c)

∵E為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點

∴E(a,0,0)，F(xiàn)(a,b,c)(1)∵＝(0,b,c)，＝(0,0,2c)，＝(0,2b,0)∴＝(＋)∴與、共面又∵E?平面PAD

∴EF∥平面PAD．∵＝(-2a,0,0)

∴·＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0

∴CD⊥EF．（較難題）5，對于任何空間四邊形，試證明它的一對對邊中點的連線段與另一對對邊平行于同一平面。分析要證明EF、BC、AD平行于同一平面DF（E、F分別為AB、CD的中點），只要證明相應AEC向量EF與AD、BC共面即可。B證明：如圖，利用多邊形加法法則可得，=++，=++…①。又E、F分別是AB、CD的中點，故有=-，=-…②將②代入①后，兩式相加得2=+，∴=EQ\F(1,2)+EQ\F(1,2)即與、共面，∴EF與AD、BC平行于同一平面。注：本題若用立體幾何知識去證明，有一定的難度，由此體會向量法證明的優(yōu)越性。6，如圖，已知a⊥α,a⊥b,b￠α,求證b∥α。證明：在α內作不共線向量m,nb∵a、m、n不共面，∴b=xa+ym+zn。a兩邊同乘a得a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·nm∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0n得x·a·a=0而a≠0,∴x=0,即b=ym+zn∴b、m、n為共面向量，又b￠α,b∥α。7，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B上的點，F(xiàn)是AC上的點，且A1E=2EB，CF=2AF，求證：EF∥平面A1B1CD。D1C1證明：=++…（1）=1+++…（2）A1B1（1）×2+（2）并注意到=-2，DC=-2，=-，F(xiàn)E得=EQ\F(1,3)-EQ\F(1,3)AB而EF￠平面A1B1CD，∴EF∥平面A1B1CD?！?，、為共面向量。

§3.2.4坐標法中解方程組求向量的有關問題【學情分析】：教學對象是高二的學生，學生已經具備空間向量與立方體幾何的相關知識,前面已經學習了直線的方向向量和平面的法向量，并且對坐標法也有一定的認識，本節(jié)課是進一步通過坐標法來解決立體幾何的一些問題。我們可以將這些問題，轉化為空間向量的代數(shù)運算和方程組來解決?！窘虒W目標】：